NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

Accueil / Dictionnaire / Rubriques / Index / Références / Nouveautés

ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 09/02/2009

 

 -Ý- RUBRIQUE: PARADOXES

§  Paradoxes classiques

§  Menteur

§   

§   

§  Achille

§   

Sommaire de cette page

 

>>> LIMITE ASYMPTOTIQUE

>>> PARADOXE

>>> LES GRECS

>>> SOLUTION

Pages voisines

 

§  Raisonnement

§  Logique formelle

§  Intelligence artificielle

§  Outils de la logique

§  Anniversaires


 

ACHILLE & LA TORTUE

 

Achille ne peut jamais atteindre la tortue!

À moins que …

 

 Il faut avoir assimilé les concepts de l'infini, du zéro et, en résumé, des limites

pour résoudre ce paradoxe

 

 

-Ý-LIMITE ASYMPTOTIQUE

§  Comme l'avion qui atterrit, la courbe asymptotique se rapproche sans cesse d'une ligne droite.

 

§  A mesure que cette courbe et la ligne convergent, la distance qui les sépare est continuellement divisée de moitié.

 

§  Mais quel que soit le point atteint, il restera toujours une moitié à faire, et ceci, même à l'infini

 

§  Paradoxe de la ligne asymptotique!

§  Paradoxe d'Achille et la tortue

 

 

Antinomies de Zénon d'Élée

 Grec, vers 500 avant J.-C.

La flèche n'atteint jamais sa cible

§  Chaque fois que la flèche a parcouru la moitié de son chemin,

§  Il lui en reste une autre moitié à parcourir

Achille ne rattrape jamais  la tortue

§  La  tortue est partie en avance (eh, oui!)

§  Elle est déjà loin lorsqu'Achille se met à courir

§  Au moment où Achille atteint le point où elle se trouvait, la tortue a fait du chemin

§  Chaque fois qu'Achille passe par le point où se trouvait la tortue

§  Celle-ci, pendant ce temps, progresse …

Voir Nombre 0,5 / Zénon d'Élée

 

 

-Ý- PARADOXE

Achille et la tortue - Exemple numérique

§  La tortue est déjà en position 1 au départ

§  Achille va-t-il remonter le handicap ?

ü  Achille progresse vers la position 1

ü  pendant ce temps, la tortue continue son bonhomme de chemin et se trouve en 1 + 1/2

 

Illustration

 

§  Les positions successives de la tortue sont le suivantes

 

Étapes

Progression de la tortue

Position de la tortue

1

1/2

= 0, 50000

3/2

= 1, 5000

2

1/4

= 0, 25000

7/4

= 1, 7500

3

1/8

= 0, 12500

15/8

= 1, 8750

4

1/16

= 0, 062500

31/16

= 1, 9375

5

1/32

= 0, 031250

63/32

= 1, 9688

6

1/64

= 0, 015625

127/64

= 1, 9844

7

1/128

= 0, 0078125

255/128

= 1, 9922

8

1/256

= 0, 0039062

511/256

= 1, 9961

9

1/512

= 0, 0019531

1023/512

= 1, 9980

10

1/1024

= 0, 00097656

2047/1024

= 1, 9990

 

§  La tortue progresse; certes de moins en moins, mais elle progresse

ü  Achille est toujours un coup derrière; certes de moins en moins loin, mais derrière

 

Voir  Somme des inverses des puissances de 2

 

 

-Ý- LES GRECS

§  Les Grecs n'avaient pas d'explication à ce paradoxe

ü  La  marche continue de la tortue, découpée ainsi en une infinité d'étapes, devait durer toujours

ü  Ou, dit autrement:
en un temps fini, Achille ne rattrape jamais la tortue

v C'est l'infini qui est la cause du paradoxe

v Les Grecs n'avaient pas le zéro pour le résoudre

 

 

-Ý- SOLUTION

Chaque terme est comme un voyage

dont la destination serait zéro

 

Zéro - La biographie d'une idée dangereuse - Charles SEIFE

 

§  Le premier à formaliser les choses pour éviter le paradoxe est d'Alembert,

ü  puis vinrent Cauchy, Bolzano et Weierstrass

§   L'idée consiste à dire que

Ø  quel que soit l'écart que l'on décide entre Achille et la tortue

Ø  il existe une étape pour laquelle Achille et la tortue sont assez proches pour tenir dans cet écart

v à l'étape 10, par exemple, il y a 1/1000 d'écart seulement

v mais, en étant encore plus exigeant, il est possible de penser à l'étape 10100, et même davantage …

§  Le paradoxe disparaît en faisant appel à la notion de limite

ü  Une étape quelconque représente une série de pas

Ø  elle représente une distance finie

Ø  pour exprimer le devenir de cette série, ces mathématiciens ont eu recours à une notation particulière: la limite

 

Voir Nombre 2

 

§  C'est une manière de calculer qui évite de manipuler

v  les dangereux infinis

v  et zéro

 

Suite en Infinitésimaux

 


-Ý-

Voir

§  Autres paradoxes

§  Logique - Index

Site

§  Paradoxes