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Mathématiques et réalité

vendredi 1er juillet 2016, par Robert Paris

Mathématiques et réalité

Pythagore :

« Tout est nombre. »

« Les nombres régissent l’univers, tout est arrangé d’après les nombres. Les nombres contiennent le secret des chiffres et Dieu est l’harmonie universelle. »

Platon dans « L’épinomis » :

« Les nombres sont le plus haut degré de la connaissance. Le nombre est la connaissance même. »

« La première et la plus importante science est celle du nombre en soi, en excluant le calcul vulgaire. Cette science explique comment il est engendré par le pair et l’impair, quelles sont ses vertus et comment il communique sa nature à toute chose… Si l’on comprend ces merveilles, on se rend compte qu’elles n’ont pu être inventées par l’homme, mais qu’elles procèdent d’une inspiration d’en haut. »

« La géométrie est la connaissance de ce qui est toujours. »

Aristote dans « Métaphysique », Livre I :

« Les nombres sont de par leur nature antérieurs aux choses »

Galilée dans « Il Saggiatore, in Opere » (L’Essayeur) :

« La philosophie est écrite dans cet immense livre qui continuellement reste ouvert devant les yeux (ce livre qui est l’Univers), mais on ne peut le comprendre si, d’abord, on ne s’exerce pas à en connaître la langue et les caractères dans lesquels il est écrit. II est écrit dans une langue mathématique, et les caractères en sont les triangles, les cercles, et d’autres figures géométriques, sans lesquelles il est impossible humainement d’en saisir le moindre mot ; sans ces moyens, on risque de s’égarer dans un labyrinthe obscur. »

Pape Pie XI :

« L’univers n’est si resplendissant de divine poésie que parce qu’une divine mathématique, une divine combinaison des nombres règlent ses mouvements »

Descartes, dans le « Discours de la Méthode », tentant de démontrer dieu par les mathématiques :

« Je me plaisais surtout aux mathématiques, à cause de la certitude et de l’évidence de leurs raisons ; mais je ne remarquais point encore leur vrai usage, et pensant qu’elles ne servaient qu’aux arts mécaniques, je m’étonnais de ce que, leurs fondements étant si fermes, on n’avait rien bâti dessus de plus relevé. »

Diderot dans "Pensées sur l’interprétation de la nature" :

« Les mathématiques, transcendantes surtout, ne conduisent à rien de précis sans l’expérience ; que c’est une espèce de métaphysique générale où les corps sont dépouillés de leurs qualités individuelles ; et qu’il resterait au moins à faire un grand ouvrage qu’on pourrait appeler l’Application de l’expérience à la géométrie, ou Traité de l’aberration des mesures. Je ne sais s’il y a quelque rapport entre l’esprit du jeu et le génie mathématicien ; mais il y en a beaucoup entre un jeu et les mathématiques. Laissant à part ce que le sort met d’incertitude d’un côté, ou le comparant avec ce que l’abstraction met d’inexactitude de l’autre, une partie de jeu peut être considérée comme une suite indéterminée de problèmes à résoudre, d’après des conditions données. Il n’y a point de questions de mathématiques à qui la même définition ne puisse convenir, et la chose du mathématicien n’a pas plus d’existence dans la nature que celle du joueur. C’est, de part et d’autre, une affaire de conventions. Lorsque les géomètres ont décrié les métaphysiciens, ils étaient bien éloignes de penser que toute leur science n’était qu’une métaphysique. On demandait un jour : “ Qu’est-ce qu’un métaphysicien ? ” Un géomètre répondit : “ C’est un homme qui ne sait rien ”. Les chimistes, les physiciens, les naturalistes, et tous ceux qui se livrent à l’art expérimental, non moins outrés dans leur jugement, me paraissent sur le point de venger la métaphysique et d’appliquer la même définition au géomètre. Ils disent : “ A quoi servent toutes ces profondes théories des corps célestes, tous ces énormes calculs de l’astronomie rationnelle, s’ils ne dispensent point Bradley ou Le Monnier d’observer le ciel ? ” »

"Science de la Logique" de Hegel, cité en introduction à la préface des "Cahiers sur la dialectique de Hegel" de Lénine :

« La philosophie ne peut emprunter sa méthode à une science subordonnée, les mathématiques. »

Henri Poincaré :

« Toutes les lois sont tirées de l’expérience, mais, pour les énoncer, il faut une langue spéciale ; le langage ordinaire est trop pauvre, il est d’ailleurs trop vague, pour exprimer des rapports si délicats, si riches et si précis. Voilà donc une première raison pour laquelle le physicien ne peut se passer des mathématiques ; elles lui fournissent la seule langue qu’il puisse parler ».

« Les mathématiques ont un triple but. Elles doivent fournir un instrument pour l’étude de la nature. Mais ce n’est pas tout : elles ont un but philosophique et, j’ose le dire, un but esthétique. Elles doivent aider le philosophe à approfondir les notions de nombre, d’espace, de temps.Et surtout leurs adeptes y trouvent des jouissances analogues à celles que donnent la peinture et la musique. »

« Les mathématiques sont des images substituées aux objets réels que la nature nous cachera éternellement. »

Henri Poincaré dans « Les mathématiques et la logique » :

« Ce qui nous frappe d’abord dans la nouvelle mathématique, c’est son caractère purement formel : « Pensons, dit Hilbert, trois sortes de choses que nous appellerons points, droites et plans, convenons qu’une droite sera déterminée par deux points et qu’au lieu de dire que cette droite est déterminée par ces deux points, nous pourrons dire qu’elle passe par ces deux points ou que ces deux points sont situés sur cette droite. » Que sont ces choses, non seulement nous n’en savons rien, mais nous ne devons pas chercher à le savoir. Nous n’en avons pas besoin, et quelqu’un, qui n’aurait jamais vu ni point, ni droite, ni plan pourrait faire de la géométrie tout aussi bien que nous. Que le mot passer par, ou le mot être situé sur ne provoquent en nous aucune image, le premier est simplement synonyme de être déterminé et le second de déterminer. Ainsi c’est bien entendu, pour démontrer un théorème, il n’est pas nécessaire ni même utile de savoir ce qu’il veut dire. On pourrait remplacer le géomètre par le piano à raisonner imaginé par Stanley Jevons ; ou, si l’on aime mieux, on pourrait imaginer une machine où l’on introduirait les axiomes par un bout pendant qu’on recueillerait les théorèmes à l’autre bout, comme cette machine légendaire de Chicago où les porcs entrent vivants et d’où ils sortent transformés en jambons et en saucisses. Pas plus que ces machines, le mathématicien n’a besoin de comprendre ce qu’il fait. Ce caractère formel de sa géométrie, je n’en fais pas un reproche à Hilbert. C’était là qu’il devait tendre, étant donné le problème qu’il se posait. Il voulait réduire au minimum le nombre des axiomes fondamentaux de la géométrie et en faire l’énumération complète ; or dans les raisonnements où notre esprit reste actif, dans ceux où l’intuition joue encore un rôle, dans les raisonnements vivants, pour ainsi dire, il est difficile de ne pas introduire un axiome ou un postulat qui passe inaperçu. Ce n’est donc qu’après avoir ramené tous les raisonnements géométriques à une forme purement mécanique, qu’il a pu être certain d’avoir réussi dans son dessein et d’avoir achevé son œuvre. »

Henri Poincaré dans « L’avenir des mathématiques » :

« Dans la plupart des problèmes de Physique mathématique, les équations à intégrer sont linéaires ; elles servent à déterminer des fonctions inconnues de plusieurs variables et ces fonctions sont continues. Pourquoi ? Parce que nous avons écrit les équations en regardant la matière comme continue. Mais la matière n’est pas continue : elle est formée d’atomes, et, si nous avions voulu écrire les équations comme l’aurait fait un observateur de vue assez perçante pour voir les atomes, nous n’aurions pas eu un petit nombre d’équations différentielles servant à déterminer certaines fonctions inconnues, nous aurions eu un grand nombre d’équations algébriques servant à déterminer un grand nombre de constantes inconnues. »

Henri Poincaré dans "La valeur de la science" :

« On vous a sans doute souvent demandé à quoi servent les mathématiques et si ces délicates constructions que nous tirons tout entières de notre esprit ne sont pas artificielles et enfantées par notre caprice. Parmi les personnes qui font cette question, je dois faire une distinction ; les gens pratiques réclament seulement de nous le moyen de gagner de l’argent. Ceux-là ne méritent pas qu’on leur réponde ; c’est à eux plutôt qu’il conviendrait de demander à quoi bon accumuler tant de richesses et si, pour avoir le temps de les acquérir, il faut négliger l’art et la science qui seuls nous font des âmes capables d’en jouir, et propter vitam vivendi perdere causas.D’ailleurs, une science uniquement faite en vue des applications est impossible ; les vérités ne sont fécondes que si elles sont enchaînées les unes aux autres. Si l’on s’attache seulement à celles dont on attend un résultat immédiat, les anneaux intermédiaires manqueront, et il n’y aura plus de chaîne. »

Einstein dans « La géométrie et l’expérience » :

« Le prestige de mathématiques tient, par ailleurs, au fait que ce sont également elles qui confèrent aux sciences exactes de la nature un certain degré de certitude, que celles-ci ne pourraient atteindre autrement. Ici surgit une énigme qui, de tout temps, a fortement troublé les chercheurs. Comment est-il possible que les mathématiques, qui sont issues de la pensée humaine indépendamment de toute expérience, s’appliquent si parfaitement aux objets de la réalité ? La raison humaine ne peut-elle donc, sans l’aide de l’expérience, par sa seule activité pensante, découvrir les propriétés des choses réelles ? Il me semble qu’à cela on ne peut répondre qu’une seule chose : pour autant que les propositions mathématiques se rapportent à la réalité, elles ne sont pas certaines, et, pour autant qu’elles sont certaines, elles ne se rapportent pas à la réalité. »

Henri Bergson :

« La Science moderne est donc fille des mathématiques ; elle est née le jour où l’algèbre eut acquis assez de force et de souplesse pour enlacer la réalité et la prendre dans le filet de ses calculs. D’abord parurent l’astronomie et la mécanique, sous la forme mathématiques que les modernes leur ont donnée. Puis se développa la physique – une physique également mathématique. »

John Barrow dans « La grande théorie » :

« C’est avec des images, des mots et des idées, non des nombres, des symboles et des formules, que commence et que s’achève (ou le devrait) toute démarche scientifique, jusques et y compris dans une discipline aussi formalisée que la physique théorique. (..) Le grand livre de la Nature, nous dit Galilée, est écrit en langue mathématique ; c’est là certes, un programme radical et fécond dans la pratique scientifique. Mais cet énoncé ne doit pas faire illusion : il s’agit là, au mieux, du livre de comptes de la Nature, non de son livre de contes. Et la narration, nécessaire à la compréhension, ne saurait s’assimiler à une traduction, trahison consentie d’une prétendue vérité mathématique du monde (..) » écrit Jean-Marc Lévy-Leblond dans « Aux contraires ». « Nous avons découvert de nombreuses opérations mathématiques non-calculables, ce qui amène les physiciens à jeter quelques soupçons sur la partie des mathématiques couramment mise à contribution dans la description du monde. (..) Donc, si au niveau le plus fondamental les choses étaient discrètes et discontinues, nous nous engagerions dans les sables mouvants du non-calculable. »

Ilya Prigogine et Isabelle Stengers dans « Entre le temps et l’éternité » :

« L’histoire de la physique ne se réduit pas à celle du développement de formalismes et d’expérimentation, mais est inséparable de ce que l’on appelle usuellement des jugements « idéologiques ».

Roger Penrose, dans « L’esprit, l’ordinateur et les lois de la physique » :

« Les nombres réels font référence à une « idéalisation mathématique » plutôt qu’à des quantités physiquement objectives. Le système des nombres réels a la propriété, par exemple, qu’entre deux d’entre eux, aussi proches soient-ils, il y en a toujours un troisième. Il n’est pas du tout évident que l’on puisse attribuer réellement cette propriété à des distances ou à des temps physiques. Si nous continuions à diviser la distance physique entre eux points, nous atteindrions finalement des échelles si petites que la conception même de distance, au sens ordinaire, pourrait cesser d’avoir une signification. »

Monde mathématiques et univers réel

Il est courant d’affirmer que les mathématiques seraient le seul langage capable de décrire le comportement des éléments physiques et l’ensemble du fonctionnement naturel. De grands auteurs l’ont affirmé comme Galilée ou Newton. Mais ce n’est pas aussi évident qu’il y paraît. Il est vrai que les ouvrages de Physique sont pleins d’équations mais cela ne suffit pas à répondre à la question posée comme on va tenter de le montrer.

La physique quantique est un bon exemple de ce type de discussion puisqu’on a souvent affirmé que ses résultats s’exprimaient très bien en équations mais pas du tout en termes du langage courant, de la langue humaine. Là encore, ce n’est pas aussi simple. On parvient effectivement à faire des calculs, et parfois même des calculs d’une extraordinaire précision en physique quantique et on a du mal à faire des phrases disant ce qui s’est passé dans la même expérience, ce qui s’est passé en termes de « électron » qui a fait ceci, de « photon » qui a fait cela, de « proton » qui a fait cela encore, etc. Mais le contraire est vrai aussi : la physique quantique ne peut pas se passer d’employer ces termes dont on vient de dire qu’ils ne pouvaient décrire ce qui s’est passé. Cela signifie que les physiciens quantiques vont quand même dire : dans cet appareil nous accélérons des neutrons, nous faisons collisionner des protons, nous envoyons des électrons sur des fentes, etc. Cela signifie que ces physiciens ne peuvent pas se passer du langage humain et ne peuvent pas remplacer la description de ce qu’ils font par des expressions mathématiques, que ce soit des équations ou autre chose. Cela signifie que, même en physique quantique, les équations ne remplacent pas les mots, les phrases, les raisonnements en langage humain.

On ne peut pas laisser dire que la physique quantique, pas plus que la physique classique, que la relativité, que la physique statistique, que la physique du chaos déterministe, que l’astrophysique pourraient fonctionner exclusivement avec des mathématiques et sans le langage humain, sans le raisonnement humain, avec des phrases, même si, inversement, ces sciences ne peuvent absolument pas se passer de mathématiques pour exprimer leurs résultats. Cela signifie que nos concepts sont insuffisants, que notre logique l’est probablement aussi, mais que cela ne veut pas dire que les uns et les autres doivent être remplacés par des mathématiques et encore moins que le monde matériel soit… des équations. Dans aucun domaine, pas plus la physique que la chimie ou la biochimie, les mathématiques n’ont remplacé le langage et le raisonnement humain.

Il n’est d’autre part pas exact d’affirmer qu’il serait absolument impossible d’interpréter les expériences de la physique quantique, même les plus étonnantes pour la logique, en termes de « ce qui se passe quand ». On l’a vu pour l’une des plus importantes : celle des fentes de Young. L’image de la particule comme nuage de particules virtuelles (entourant une particule dite réelle dont cette propriété saute sans cesse d’une particule virtuelle du nuage à une autre) permet parfaitement de l’interpréter. Cela signifie que la dualité onde/corpuscule peut être remplacée par l’image du nuage de polarisation de la particule alliée à l’échange de bosons virtuels entre la particule « réelle » et les particules virtuelles du nuage (quand elles deviennent « réelles »). Le fait que les particules virtuelles soient fugitives, apparaissent et disparaissent permet d’interpréter les inégalités d’Heisenberg puisque tout état doit être conçu comme plus ou moins des particules virtuelles ou des couples particule/antiparticule virtuelles. Le caractère éphémère de ces particules et antiparticules virtuelles provient du fait que l’espace-temps est aussi quantique que les particules et donc aussi discontinu et discret, avec des sauts. Dans une étude cherchant ce qui se passe dans la linéarité du temps, on ne peut qu’avoir des apparitions et des disparitions. Mais cela ne signifie pas que le langage humain soit définitivement débordé et doive céder la place aux équations ou à d’autres outils mathématiques. Le langage et le raisonnement humain sont des outils, au même titre que les mathématiques. Ils donnent des images plus ou moins bonnes de la réalité et ne sont pas en eux-mêmes la réalité ni toute la réalité.

L’image (aucune image ni mathématique ni autre) ne remplace pas intégralement le réel. Et cela pour plusieurs raisons. Il y a la raison dynamique car la réalité est en perpétuel changement. Il y a la raison hiérarchique car la réalité existe à plusieurs échelles interactives en même temps, échelles dans lesquelles les lois et les paramètres ne sont pas les mêmes. Il y a la raison de la discontinuité car le discours semble décrire un univers se développant en continu, un raisonnement du continu. Quand on dit « l’électron » est passé ici, on croit que c’est la même particule-objet et le discours contribue à cette erreur. La particule (nuage de particules virtuelles) n’est ni un point ni un ensemble de points. En effet, même s’il est fondé sur des particules discrètes, il occupe une zone, a donc une dimension, et fonde lui-même des logiques de type ondulatoire qui ont donc une apparence continue. Tel est le fondement du caractère contradictoire de la particule quantique. Et, comme les particules et antiparticules du nuage peuvent s’échanger avec celles du vide qui entoure le nuage de polatisation, il n’y a pas de séparation nette entre la particule réelle et le vide qui l’entoure, les échanges étant permanents entre eux.

Les échanges précédemment décrits par des phrases correspondent aux calculs de Feynman. Cela ne veut pas dire que tous les sauts de la physique puissent être suivis par un calcul décrivant le monde actuel de la matière. En effet, le monde qui obéit à des lois n’est pas exactement le monde actuel mais le monde potentiel. Ce sont les potentialités qui obéissent à ces lois. Et encore faut-il dire que de ces lois découlent plusieurs mondes potentiels. Même si le monde actuel est unique, il n’est que l’un des mondes qui étaient potentiels. Et les équations ne permettent pas de dire à l’avance quel monde potentiel deviendra actuel.

La dialectique du hasard et de la nécessité se poursuit donc tout comme la dialectique du réel et du virtuel, de l’actuel et du potentiel, de l’onde et du corpuscule, de l’étendu et du ponctuel, de la hiérarchie de niveaux et de l’unité de la matière.

Cette dialectique contradictoire n’est pas descriptible autrement qu’en termes philosophiques et les mathématiques peinent à suivre cette dialectique. La logique des mathématiques en reste le plus souvent à celle du tiers exclus, à celle du oui ou non (ou exclusif). Les sciences ont besoin de concepts dialectiques, aussi bien en physique, en chimie ou en biochimie. L’espèce vivante, le gène, l’ADN, l’organe, tous les éléments du vivant ont absolument besoin, pour être compris, d’une philosophie dialectique et pas seulement d’une mathématique. Comme la matière dite inerte, la matière vivante existe en même temps à plusieurs niveaux interacifs et dynamiques et nos outils, eux, sont trop figés et fondés sur un seul niveau pour permettre une description exacte de la réalité.

Remarquons que, pour la discontinuité fondamentale du réel, le langage est en fait mieux adapté que les mathématiques, ces derniers étant en effet surtout efficaces lorsque l’on a affaire à la continuité ou à une approximation de la continuité. Remarquons par exemple que la physique a été contrainte d’effectuer des calculs avec des nombres réels (continus), avec des opérations de différentielle et d’intégrale (nécessitant la continuité), avec une géométrie du continu, etc. Et pourtant, les lois de la physique sont contraintes à une opération qui ramène au discontinu et qui est la renormalisation. En simplifiant, on peut dire qu’on supprime les nombres trop petits, ce qui signifie qu’on fait les calculs dans l’hypothèse de la continuité des nombres puis on supprime cette hypothèse, trop erronée !

La continuité des nombres ne peut satsifaire à une description du monde réel car ce dernier n’est pas divisible à l’infini, ni en termes de matière, ni en termé d’énergie, ni en termes d’espace et de temps. Dans la réalité, si on descend sans cesse d’échelle, on arrive toujours à un seuil où on passe à un niveau hiérarchique nouveau, avec des paramètres nouveaux et des lois nouvelles. Ces sauts qualitatifs ne peuvent pas être décrits par de simples évolutions numériques qui sont des évolutions quantitatives. Tout changement qualitatif, et la réalité en produit sans cesse, ne peut pas être décrit par une « simple » équation.

Toutes les situations contradictoires au sens dialectique de la réalité ne permettent pas une description par de « simples » fonctions mathématiques. Par exemple, la fréquence décrira une onde classique et la vitesse décrira une particule classique. Mais ni la fréquence ni la vitesse ne décrivent la dualité onde/corpuscule.

Certes, les mathématiques sont un outil indispensable et une avancée scientifique considérable à laquelle il n’est nullement question de renoncer. Mais, s’il faut critiquer la démarche mathématique, c’est au sens dialectique et nullement pour la supprimer, seulement pour la dépasser.

Dans les descriptions purement mathématiques, se trouvent un danger d’idéalisme philosophique, démarche par laquelle on remplace le réel par l’idée. Croire que le monde matériel, ce sont seulement des nombres en action, ou seulement des informations en action (comme si l’univers était un ordinateur géant), c’est équivalent à croire que l’on a décrit les hommes si on les a numérotés. Cela n’est nullement plus scientifique que de remplacer la matière par le nom de l’objet. Dans les deux cas, cela peut même être qualifié d’attitude religieuse à l’égard de la matière : placer un pouvoir spirituel au dessus du monde matériel.

Placer les mathématiques comme la base du monde, c’est aussi idéaliste que de placer les concepts au dessus du réel, ou de placer les noms comme fondement des choses.

La nature n’est ni une vaste machine à calculer, ni un vaste ordinateur, ni un automate dans lequel on entre des données et on sort des données.

Il y a de multiples raisons de penser cela mais la première est le fait que l’essentiel des équations n’ont pas une seule solution et n’ont pas de solution exacte. Il n’est pas possible de trouver à ces équations différentielles non linéraires des solutions sous formes de formules analytiques et on ne peut que donner des méthodes approchées. D’autre part, il n’y a pas de solution unique mais une série de solutions discrètes et la dynamique peut sauter d’une solution à une autre ou du bassin d’attraction d’une solution au bassin d’attraction d’une autre…

Considérer dès lors que la formule mathématique redonnerait intégralement la réalité est parfaitement illusoire. Les équations donnent bien plus que la réalité qui s’exprime et est mesurable de manière actuelle : elle donne des univers multiples qui sont les « possibles », sans donner aucun moyen de distinguer entre eux ceux qui sont choisis. Il faut une loi mathématique de l’échelon inférieur pour trancher entre eux et la formule mathématique ne peut pas étudier à la fois les différents niveaux hiérarchiques : elle se place à un niveau ou à un autre.

Il y a une autre question qui est encore bien plus fondamentale qui est celle de l’expression abstraite d’une réalité concrète. L’un ne va pas sans l’autre. La généralisation est celle de quelque chose individuel. La formule mathématique est une généralisation et une abstraitisation mais il convient de se rappeler que la relation entre l’abstrait et le concret est du type dialectique et non du type de la logique formelle.

L’abstrait ne peut pas remplacer le concret. Le problème est philosophiquement du même type que celle entre l’actuel et le réel. C’est un problème dialectique. On ne remplace pas l’un par l’autre. Le concept « photon » ou « électron » ne remplace pas le photon ou l’électron réel. On peut tout savoir du photon abstrait et général mais pas tout du photon réel. Et de même pour l’électron abstrait et l’électron réel. Impossible par exemple de savoir quand l’électron réel disparaît ni où. Impossible de savoir quand l’électron va émettre un photon. Pourtant, on a toutes les caractéristiques d’un électron abstrait. On sait même qu’on n’est pas capable de distinguer deux photons individuels ou deux électrons individuels. Cela signifie que l’on ne peut pas observer autre chose que le photon abstrait ou l’électron abstrait. Et il en va de même pour toutes les autres particules. Si deux particules de même type s’approchent l’une de l’autre, il devient impossible de dire laquelle venait de la droite et laquelle venait de la gauche. A l’échelle de la particule où nous observons et analysons nos observations par la théorie, les particules se comportent comme si elles étaient identiques.

Les mathématiques ne rajoutent pas une indication supplémentaire aux observations et aux analyses. On n’en sait pas plus sur l’identité de la particule. On a juste la confirmation dans les lois mathématiques que l’individu « particule » refuse de se comporter de manière détectable individuellement.

Les lois de la physique quantiques, qui régissent entièrement le niveau des particules, sont uniquement probabilistes. Elles ne peuvent pas décrire des processus et des objets individuels. Elles décrivent des moyennes de comportements, pour un grand nombre de situations. Elles donnent des pourcentages mais pas des phénomènes individuels. Elles ne peuvent pas être vérifiées par une seule expérience car elles ne prédisent rien sur une seule expérience.

Or, on peut très bien réaliser des expériences une seule fois. Dire que la loi mathématique nous dit tout sur l’expérience, sur la réalité en somme, est absurde car la réalité reste individuelle. Par exemple, on envoie une particule par les fentes de Young et elle parvient à un écran placé après les fentes. Les lois ne nous disent pas où va arriver la particule mais seulement une probabilité de présence. Cependant, sur l’écran on n’a pas une probabilité de présence mais une détection d’un impact ponctuel ! Dire que la prédiction globale, en termes de probabilité, sur tout l’écran est la même chose qu’un seul impact individuel serait parfaitement absurde. La loi probabiliste ne décrit pas ce qui se passe de manière actuelle et cette existence actuelle du monde existe bel et bien pourtant… Certains affirment que le hasard pur décide de ce qui se passe au niveau individuel et que les lois ne concernent que les grands nombres. Mais pourquoi la nature serait-elle parfaitement déterministe seulement sur les grands nombres d’individus si elle n’obéissait à aucune loi au niveau inférieur ?

On peut penser plutôt que la réalité est, à toutes les échelles, un mélange dialectique de hasard et de nécessité, de liberté et de lois, comme on le constate par exemple pour le vivant.

L’agitation moléculaire, ou mouvement brownien, est, par exemple, un tel mélange de hasard et de nécessité. Mais, si le mouvement moléculaire est une loi fondée sur une agitation « au hasard », cela n’empêche pas la molécule individuelle, également, d’obéir à des lois de niveau inférieur.

Certains affirment que l’on n’aurait pas trouvé de niveau inférieur d’organisation par rapport à la particule individuelle et que l’espoir d’Einstein d’une thermodynamique sous-jacente à la physique quantique aurait été déçu. Mais cela n’est pas exact : les particules et antiparticules virtuelles du vide quantique sont ce niveau inférieur et il y a même encore un autre niveau en dessous, celui du virtuel de virtuel.

Mais ce niveau inférieur n’est pas seulement plus petit, il est aussi qualitativement différent. Le temps n’a plus de flèche dirigée exclusivement du passé vers le futur. L’espace et le temps sont des paramètres du même type dans le vide quantique : discrets et changeant dans deux directions opposées. La continuité n’est plus de règle. Pour la particule virtuelle, il n’y a que des sauts et aucune continuité.

Les lois physiques ne peuvent en même temps décrire le niveau macroscopique (grand nombre de quanta d’action) et le niveau microscopique (petit nombre de quanta d’action) et elles ne peuvent pas non plus décrire en même temps le niveau particulaire et le niveau du vide quantique.

Si on compare au monde humain, on constate la même difficulté. On peut décrire ce qui se passe au niveau des grands groupes humains (une classe sociale, un pays, une ville, etc.) ou décrire ce qui se passe au niveau des individus. Il est évident qu’il y a une relation entre les deux. Cependant, la méthode réductionniste consistant à prétendre que la connaissance parfaite d’une description individuelle mènerait directement aux lois sociales à grande échelle est certainement fausse.

En clair, il s’agit de dire qu’au passage d’une échelle hiérarchique à une autre il y a émergence de nouveaux paramètres, de nouvelles lois et que chaque niveau ne découle pas linéairement du précédent. La loi mathématique au niveau précédent ne peut donc pas nous donner, par calcul direct, le niveau supérieur.

On notera d’ailleurs que les lois physiques ne donnent pas, par calcul, ces seuils de passage d’un niveau à l’autre, pas plus dans les phénomènes macroscopiques que microscopiques, quantiques ou pas. Les seuils de changements d’état, de transitions de phase, déterminent la limite d’application d’une loi physique mathématique, mais ne sont pas calculables par simple application de cette loi…

Il faut donc que ces seuils soient déterminés de manière dynamique, en se construisant en marchant, par l’interaction entre les niveaux et les lois des différents niveaux…

C’est l’interaction ordre/désordre qui est une relation dialectique et qui permet de faire la transition entre un ordre et un ordre d’échelon hiérarchique différent et permet de produire le seuil du nouvel ordre et ses paramètres, eux-meêms émergents.

Les niveaux, les seuils, les paramètres et les lois ne sont pas préexistants mais émergents, produits sans cesse par l’interaction des forces, par le combat dialectique de celles-ci. Un tel mécanisme n’est pas bien décrit en présentant les lois comme préexistantes et permanentes, comme si l’équation mathématique était née avant l’interaction.

Un autre obstacle pour croire que le monde réel serait un sous-produit des mathématiques est justement le fait qu’il n’y a pas une mathématiques mais de multiples mathématiques et que certaines s’appliquent bien pour certains phénomènes mais pas du tout à d’autres niveaux. Or, les différentes mathématiques ne sont pas nécessairement compatibles entre elles, même si elles sont cohérentes en interne. Par exemple, l’espace courbe n’est pas compatible avec l’expace sans courbure, la géométrie de Lobatchevski n’est pas compatible avec celle que nous appliquons usuellement, etc.

Dire que l’Univers obéit aux mathématiques est donc aussi peu clair que de dire que l’Univers obéit à dieu. Car alors, se pose la question : quel dieu et quelle doctrine religieuse ? Et cela n’est pas indifférent car les dieux proposés sont multiples et les doctrines divergentes et opposées. Quelle mathématique : la question n’a aucune réponse simple. Certains problèmes obéissent à une géométrie, d’autres à une autre. Tel problème physique utilise tels outils analytiques, d’autres tels autres.

L’unification des lois mathématiques pour représenter d’une seule manière relativité et quantique n’a pas réussi. Or, il est évident que le monde réel est unique et que les deux, relativité et quantique, y coexistent et interagissent. Mais les deux logiques de lois, celle de la relativité et celle de la physique quantique, sont mathématiques tout à fait incompatibles. Par exemple, la physique quantique a des lois qui sont toutes renormalisables et la physique relativiste ne l’est absolument pas. Le statut du temps n’est pas le même dans les deux. Les calculs sur le vide ne donnent pas du tout les mêmes résultats dans les deux.

Les deux principales physiques mathématiques divergent irrémédiablement sans que l’on trouve à les mettre en défaut par des calculs mathématiques sur les phénomènes qu’elles parviennent correctement à décrire. En tout cas, jusqu’à présent, on n’a pas trouvé d’erreur sur les lois de la relativité ni sur celles de la quantique et pourtant ces deux sortes de lois ne peuvent pas coexister pour décrire le même monde !!!

Du coup, affirmer que l’idée d’un monde obéissant « simplement » aux lois mathématiques, dans lequel les mathématiques seraient la seule réalité, est loin d’être l’idée qui vient de manière évidente. Les lois mathématiques semblent, au contraire, atteindre des limites de capacité, en tant qu’outils de description de la réalité.

Les inégalités d’Heisenberg, elles aussi, indiquent des limites de capacité de décrire le monde par des lois quantiques. Cela signifie que les lois mathématiques de la physique quantique ne décrivent qu’un certain niveau du fonctionnement réel et pas tout le réel.

Le caractère contradictoire au sens dialectique de tous les phénomènes réels, de l’inerte comme du vivant, du monde de l’homme comme de celui des espèces du vivantes, de l’individu humain comme du niveau social, empêche que des lois mathématiques uniques et des processus ou des trajectoires uniques décrivent le réel.

Dans tous ces domaines, on constate la confrontation, jamais interrompue, du fond et de la forme, du fixe et du changeant, du local et du global, du virtuel et du réel, de l’actuel et du potentiel, du quantitatif et du qualitatif, du discontinu et de l’apparemment continu, du hasard et de la nécessité, du structurellement stable et du changement des composants, de la vie et de la mort, de l’apparition et de la disparition, etc.

Les limites de l’attitude du « tout mathématiques » s’illustrent de plus en plus en sciences. L’exemple des supercordes est certainement l’un des échecs les plus cuisants. L’échec de l’unification mathématique quantique/relativité en est également une illustration.

En réalité, le « tout mathématiques » est un a priori philosophique qui fait croire que le calcul serait plus objectif, plus scientifique que la description et l’analyse des phénomènes par le raisonnement humain, que l’un pourrait se passer de l’autre. Le « tout mathématiques » est du domaine de la philosophie selon laquelle l’image se substitue au réel, l’abstrait au concret, l’idée à la matière. C’est de l’idéalisme philosophique ! Et c’est une démarche qui ne s’impose nullement au vu des résultats scientifiques, contrairement à ce que l’on essaie de nous faire croire.

Personne n’a encore réussi à nous pondre la loi mathématique décrivant lla « simple » cassure d’un objet aussi « simple » qu’un verre ! La connaissance des lois de la météorologie n’a jamais réussi à prédire le temps qu’il va faire le lendemain (sans aller plus loin) rien qu’avec un calcul mathématique qui ne serait aps appuyé sur des observations, des raisonnements et des connaissances sur les habitudes des anticyclones ou des dépressions. Et pourtant, les lois mathématiques de la météorologie, sur les températures, les pressions, les vents, on les connait, et on sait travailler avec. Dans ce domaine des sciences comme dans bien d’autres, on ne se passe pas d’observer la réalité et on ne peut se contenter d’observer… les équations mathématiques !!!

Renoncer au « tout mathématiques », ce n’est pas renoncer à la démarche scientifique, ce n’est pas donner prise à la métaphysique, au mysticisme, à la pensée des mystères, aux croyances. C’est seulement reconnaître la limite d’une seule sorte d’outils de compréhension et d’intervention sur la réalité, outils qui privilégient le quantitatif, le continu, le régulier, l’ordre sur le qualitatif, le discontinu, l’agité et le désordre.

Nombres et réalité

La philosophie des mathématiques et celle des sciences

Les mathématiques sont-elles exemptes des paradoxes et contradictions de la physique ?

L’univers obéit-il à la loi des nombres ?

Le point de vue du groupe Bourbaki

Le point de vue de Georg Cantor

Encore sur la philosophie des mathématiques et celle des sciences

Les nombres conçus comme simple moyen d’arpentage

Les paradoxes de Zénon d’Elée, une crise de la relation entre réalité et mathématiques

Le tout mathématiques, une dérive de la physique

A nouveau sur la philosophie des mathématiques et celle des sciences

La science peut-elle être « exacte » comme les mathématiques ?

Les mathématiques peuvent-elles trancher elles-mêmes sur la validité de leurs présupposés philosophiques ?

Le point de vue de Turing

Les mathématiques obéissent-elles aux lois des contradictions dialectiques

Mathématiques et Philosophie

Des objets mathématiques continus ou discontinus ?

Le monde matériel existe-t-il objectivement, en dehors de nos pensées, qu’elles soient ou pas mathématiques ?

Physique du vide et du virtuel

Pourquoi la physique quantique nous pose autant de problèmes philosophiques ?

La physique quantique nous condamne-t-elle à ne pas décrire du tout la réalité sous-jacente aux lois de la physique ?

Mathématiques et réalité (conférence de l’Université de tous les savoirs)

Les mathématiques : une réalité extérieure à l’esprit et à la matière ?

Le point de vue de « Pour la science »

Le point de vue de « La Recherche »

Le point de vue de « Persée »

A propos de l’adéquation des mathématiques à la réalité naturelle

Le point de vue de Poincaré sur Mathématiques et Réalité

12 Messages de forum

  • Mathématiques et réalité 1er juillet 2016 12:19

    C’est un texte très intéressant. Mais pour aller plus loin, on aimerait une confrontation point par point avec, par exemple, un texte d’Alain Connes, qui a, je crois, sur cette question une opinion diamétralement opposée.

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    • Mathématiques et réalité 1er juillet 2016 13:55, par Robert Paris

      Effectivement ! Voici d’ailleurs un entretien avec Alain Connes : cliquer ici

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      • Mathématiques et réalité 1er juillet 2016 15:39, par Robert Paris

        Alain Connes écrit en effet :

        « D’une part, il existe indépendamment de l’homme une réalité mathématique brute et immuable ; d’autre part, nous ne la percevons que grâce à notre cerveau, au prix, comme le disait Valéry, d’un rare mélange de concentration et de désir. »

        Et aussi :

        « Je crois qu’il faut se garder de confondre la réalité mathématique et son illustration possible dans les phénomènes naturels. Quand je parle de l’existence indépendante de la réalité mathématique, je ne la localise absolument pas dans la réalité physique. »

        Il y aurait donc trois mondes : le monde matériel, le monde spirituel et le monde mathématique. C’est du Popper. Ou, éventuellement, du Platon.

        Ces conceptions de plusieurs mondes séparés ne peuvent nous permettre d’expliquer la réalité car les auteurs ne nous permettent pas de trouver les passerelles indispensables entre ces mondes… Car ces passerelles seraient un quatrième, un cinquième et un sixième monde. Or, pour eux, elles sont indispensables !

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        • Mathématiques et réalité 1er juillet 2016 16:13

          Ah oui voilà. merci. c’est très clair ! Je ne me prononcerai pas sur la justesse, mais c’est beau !
          Comment étaye-t-il cette affirmation ?

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          • Mathématiques et réalité 1er juillet 2016 18:40, par Robert Paris

            Le point de vue de Connes est que les mathématiques préexistent aux mathématiciens puisque « l’objet des mathématiques a une existence tout aussi ferme que la réalité extérieure et les mathématiciens s’y heurtent comme on se heurte en quelque sorte à un objet matériel. »

            Sauf que les mathématiciens peuvent construire plusieurs sortes de mathématiques incompatibles et séparées. Donc il y aurait plusieurs univers mathématiques différents, ce qui suppose quelques dizaines d’univers mathématiques plus l’univers matériel plus l’univers de l’esprit humain... Cela fait beaucoup !

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      • Mathématiques et réalité 1er juillet 2016 16:03

        Merci. Je disais justement ça à propos d’un entretien que j’avais vu il y a longtemps (je ne saurais pas le retrouver), où d’après ce que j’ai cru comprendre, il émettait l’idée que des équations étaient à l’origine du monde (je déforme sûrement sa pensée).
        Mais même dans l’entretien dont vous donnez le lien, cette affirmation que les mathématiques sont aussi réelles qu’une chaise semble déjà sous-entendre que les idées ont une existence autonome.
        Mais ce serait intéressant d’affronter le débat pied à pied, sur le cas des maths, et de ne pas exclure à priori en le traitant d’idéaliste attardé.
        En plus le personnage est sympathique (ce qui n’a rien à voir).

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        • Mathématiques et réalité 1er juillet 2016 18:04, par Robert Paris

          A propos de l’engendrement du monde par les équations de Connes...

          Depuis des années, le brillant mathématicien français lauréat de la médaille Fields de mathématique, Alain Connes, développait une théorie unifiée des forces de l’univers, capable non seulement de combiner les équations de la relativité générale d’Einstein avec celle du modèle standard des particules élémentaires, mais aussi d’expliquer l’origine du boson de Higgs. Il s’agissait d’une nouvelle version des théories de Kaluza-Klein faisant dériver la nature des forces du cosmos de la géométrie d’un espace-temps de dimension supérieure à 4. Mais alors que dans les théories de Kaluza-Klein classiques, sous-jacentes à la théorie des supercordes, les dimensions supplémentaires de l’espace sont sous forme d’objets géométriques continus (comme une sphère ou des tores en 7 dimensions), la théorie d’Alain Connes fait intervenir des espaces discrets.

          Remarquablement, en introduisant deux espaces-temps constituant deux feuillets séparés par une distance non nulle, mais sans que de l’espace existe entre les deux, le champ de Higgs avec le mécanisme de Brout-Englert-Higgs donnant la masse des particules élémentaires du modèle standard, émergeait naturellement des équations, sans avoir besoin de postuler sa présence.

          Le tour de force de la théorie d’Alain Connes est sa capacité à engendrer les équations de la relativité générale couplées aux équations de Yang-Mills du modèle standard avec leurs groupes de Lie. Cette capacité repose de façon fondamentale non pas tant sur une nouvelle formulation des théories de Kaluza-Klein mais sur l’hypothèse que la géométrie de l’espace-temps n’est pas décrite par la géométrie courbe à n dimensions classiques de Riemann, mais sur une nouvelle géométrie : la géométrie non commutative.

          Or, la théorie d’Alain Connes semblait prédire une masse pour un boson de Higgs standard de 170 GeV de façon très rigide. Il en résultait que l’exclusion de cette masse par les chercheurs du Tevatron avec une publication retentissante en août 2008 signait l’arrêt de mort de sa théorie, au moins dans sa forme primitive.

          Mais tout n’est pas fini pour autant... Finalement, les dernières études donneraient un boson de Higgs aux environs de 125 GeV...

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        • Mathématiques et réalité 1er juillet 2016 18:06

          https://www.youtube.com/watch?v=qrp...
          à 1h30 de cette vidéo il exprime très clairement sa conception an répondant directement à cette question.

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  • Mathématiques et réalité 10 octobre 2017 17:17

    Pierre Cartier dans sa conférence pour l’Université de tous les savoirs du 14 janvier 2000, intitulée « Mathématiques et réalité » :

    « Les mathématiques ont cette extraordinaire possibilité d’employer à bon escient et de manière efficace des « fictions ». La plupart des objets dont elles traitent sont des fictions… Il y a beaucoup de fictions en mathématiques ; elles sont extrêmement utiles car elles permettent un décrochage par rapport à la réalité, un voyage dans l’imaginaire et l’abstrait, qui permet de revenir ensuite dans le concret, beaucoup plus loin. »

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  • Mathématiques et réalité 21 avril 2018 07:23

    Stephen Jay Gould, dans « Millénium » :

    « Nous sommes faussement persuadés, sous l’effet de témoignages clairement exagérés, que l’univers tourne avec la régularité d’une horloge parfaite, et que Dieu doit être un fameux mathématicien. Dans un célébrissime aphorisme, Galilée décrivait l’univers comme « un livre immense… écrit en langue mathématique et dont les caractères sont des triangles, des cercles et d’autres figures géométriques ». Le biologiste D’Arcy Thompson, un de mes premiers maîtres à penser, auteur de l’incomparablement bien écrit « La croissance et la forme » (On Growth and Form, prétendait que « toute l’harmonie du monde transparaît dans la forme et le nombre, et le cœur et l’âme de toute la poésie de la philosophie naturelle sont personnifiés par le concept de beauté mathématique… Mais on nous a raconté des blagues sur la régularité mathématique de la nature – et mes citations initiales sont parmi les pires. Si la nature obéit à une loi, c’est à celle de l’infinie diversité et de la surprise permanente : elle est, selon la phrase célèbre de J.B. S. Haldane, « non seulement plus étrange que nous le pensons, mais plus étrange que nous ne pouvons le penser »… Les régularités apparentes des phénomènes s’avèrent souvent accidentelles… Des régularités profondément utiles et ardemment recherchées n’existent tout simplement pas et nous devons recourir à des approximations malcommodes et nous résoudre à une irréductible irrationalité, au sens mathématique du terme… Cela provient du refus borné de la nature à manifester des relations numériques simples dans un domaine où une telle régularité nous serait pourtant précieuse : la mesure du temps… Des sociétés qui pratiquent à la fois la pêche et la chasse doivent réconcilier les cycles incommensurables des années et des lunaisons. Entre elles, la nature n’offre aucune corrélation commode et satisfaisante. »

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