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Qu’est-ce que la sensibilité aux conditions initiales ?

mercredi 5 avril 2017, par Robert Paris

Deux dynamiques partant de conditions de départ très proches initialement s’éloignent inexorablement...

LA "SENSIBILITÉ AUX CONDITIONS INITIALES" SIGNIFIE QUE LES LOIS NE PERMETTENT PAS DE PRÉDIRE PARCE QU’UN TOUT PETIT CHANGEMENT DES VALEURS DE DÉPART ENTRAINE UN AVENIR TRÈS DIFFÉRENT

Dans « Science et méthode », Henri Poincaré explique que l’origine de l’apparence de hasard par le caractère des lois universelles pour lesquelles un petit changement peut produire un grand effet. Du coup, il faudrait connaître tous les détails de la situation, à toutes les échelles, pour prédire : « Si nous connaissions exactement les lois de la nature et la situation de l’univers à l’instant initial, nous pourrions prédire la situation de ce même univers à un instant ultérieur. Mais, lors même que les lois naturelles n’auraient plus de secret pour nous, nous ne pourrons connaître la situation initiale qu’approximativement (...). Il peut arriver que des petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les phénomènes finaux ; une petite erreur sur les premières produirait une erreur énorme sur les derniers. La prédiction devient impossible et nous avons le phénomène fortuit. » C’est la notion de « sensibilité aux conditions initiales ».

« Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard...Mais, lors même que les lois naturelles n’auraient plus de secret pour nous, nous ne pourrons connaître la situation initiale qu’approximativement. Si cela nous permet de prévoir la situation ultérieure avec la même approximation, c’est tout ce qu’il nous faut, nous dirons que le phénomène a été prévu, qu’il est régi par des lois ; mais il n’en est pas toujours ainsi, il peut arriver que de petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les phénomènes finaux... » expose Poincaré. Comme exemple de cette sensibilité aux conditions initiales, Henri Poincaré cite la trajectoire des cyclones (presque « l’effet papillon ») et. plus frappant encore, la conception de Napoléon par ses parents...

Le fonctionnement climatique est une dynamique auto-organisée où les structures globalement stables sont fondées sur l’instabilité, et où coexistent des rétroactions positives et négatives qui rendent impossible la prédictibilité du fait de la sensibilité aux conditions initiales. Le climat est même le premier domaine scientifique dans lequel les caractéristiques de chaos déterministe aient été mis en évidence, avec les travaux de Lorenz en 1963. Cette année là, Edward Lorenz du Massachusetts Institute of Technology, spécialiste en météorologie, fait tourner sur un ordinateur les équations physiques connues qui relient les trois paramètres les plus fondamentaux de la météorologie : température, pression et vent. C’est ce que l’on appelle des équations différentielles non linéaires, le terme « différentielles » signifiant qu’elles relient des petites différences des paramètres. On n’est pas capable de résoudre ces équations et d’en déduire une fonction permettant de calculer la relation directe entre les paramètres et, du coup, la suite des événements si on connaît les conditions initiales. Par contre on peut partir de ces conditions et rajouter de petites variations en les calculant par les équations différentielles. Et involontairement, parce qu’il avait été prendre entre temps un café dit la légende, Lorenz a relancé son calcul à partir de deux conditions initiales très légèrement différentes du fait d’une modification des approximations. Il s’est aperçu de ce que l’on appelle maintenant la sensibilité aux conditions initiales qui signifie que même la plus petite différence des paramètres entraîne que la position n’est plus sur la même couche de la courbe et, très vite, cela cause des divergences considérables et irrémédiables. D’autre part, il a montré que cela se produisait avec seulement trois facteurs. Il est parvenu à montrer qu’il y avait bien une loi avec un attracteur mais c’est un attracteur étrange, feuilleté, fractal Un attracteur signifie que pour chaque série de valeurs des variables il y a un seul point possible. Un attracteur étrange signifie qu’avec une valeur très proche des variables on peut passer très vite dans une tout autre zone. Ce qui était très difficile à établir sur ordinateur quand Lorenz l’a fait est très simple aujourd’hui : sur un ordinateur personnel, les mathématiciens peuvent faire tourner les équations de Lorenz sur un logiciel mathématique appelé Maple 5 et retrouver très facilement l’attracteur étrange. Pas plus que nous, l’ordinateur ne peut résoudre les équations mais il peut calculer rapidement des valeurs par variations successives et construire l’attracteur point par point. On retrouve là une figure appelée " le papillon ", à deux branches construit pas séries de couches feuilletées sous forme fractale.

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