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L’étonnant nombre Pi

lundi 5 juin 2017, par Robert Paris

L’étonnant nombre Pi

Ian Stewart dans « Mon cabinet des curiosités mathématiques » :

« Qu’est-ce que Pi ? Le nombre Pi, dont une valeur approchée est 3,14159, correspond à la circonférence d’un cercle de diamètre 1. D’une façon générale, un cercle de diamètre d a une circonférence de Pi fois d. On peut donner comme première approximation de la valeur de Pi : vingt-deux divisé par sept, mais cela reste imprécis. 22/7 fait environ 3,14285 – ce qui est inexact à partir de la troisième décimale. On tombe plus juste avec 355/113, qui a six décimales communes avec Pi : 3,1415929 pour l’un, 3,1415926 pour l’autre.

Comment sait-on que Pi n’est pas une fraction exacte ? Parce qu’on a beau diviser l’un par l’autre des nombres entiers de plus en plus grands, x/y ne donne jamais Pi, seulement des approximations de plus en plus fines. Un nombre qui ne peut s’écrire sous forme de fraction est dit « irrationnel ». La preuve la plus simple que Pi est irrationnel utilise le calcul intégral ; elle a été trouvée par Johan Lambert en 1770. S’il est impossible d’écrire une représentation numérique exacte de Pi, diverses formules permettent cependant de le définir précisément, et la preuve de Lambert se sert de l’une d’elles.

En fait, de façon plus remarquable, Pi est un nombre « transcendant ». C’est-à-dire qu’il n’est la solution d’aucune équation algébrique, et qu’il n’est donc en relation avec aucun nombre rationnel, Ferdinand von Lindemann l’a démontré en 1882, lui aussi au moyen du calcul intégral. Le fait que Pï soit transcendant implique que le problème géométrique de la « quadrature du cercle » n’a pas de solution. Ce problème consiste à trouver une « construction euclidienne » d’un carré dont la surface soit exactement équivalente à celle d’un cercle donné. Une méthode de construction est dite « euclidienne » si elle recourt exclusivement à une règle non graduée et à un compas…

Si Pi n’est pas une fraction, comment le calculer ?

On nous dit à l’école que la valeur de Pi est égale à 22/7 ; ce n’est pas exact. On est même loin du compte. Mais pour une formulation aussi simple, ce n’est déjà pas si mal. Dès lors que Pi, on le sait, n’est pas une fraction, calculer ce nombre avec une grande précision ne va pas de soi. Les mathématiciens possèdent toutes sortes de formules astucieuses pour y arriver ; toutes sont justes, et toutes entraînent leur utilisateur dans un processus infini. Pour parvenir à une bonne approximation de Pi, il suffit alors de s’arrêter avant d’atteindre « l’infini ».

Face à Pi, le mathématicien n’a que l’embarras du choix ; c’est justement parce qu’on retrouve Pi dans un si grand nombre de superbes formules qu’il exerce une telle fascination depuis si longtemps. Suites infinies, produits infinis, fractions infinies (l’infini étant indiqué par les points de suspension)… Rien d’étonnant dans cette omniprésence de l’infini, puisqu’il n’existe aucune expression simple de Pi, à moins de tricher en passant par le calcul intégral. »

La particularité la plus intéressante du nombre Pi est le fait qu’il apparaît dans tous les rapports entre tout ce qui est circulaire et tout ce qui est rectiligne. Et cela est vrai qu’il s’agisse d’un cercle, d’une sphère, d’un cône, d’une rotation, etc. Attention : tout ceci n’est vrai qu’en géométrie euclidienne, c’est-à-dire loin de masses trop importantes qui déformeraient l’espace !!!

Il existe de nombreuses autres manières pour définir pi. Un constat simple est que partout où l’on trouve un cercle ou une sphère, on peut trouver pi. Ainsi, le volume d’une sphère dépendra de pi sa surface aussi, ainsi que la probabilité pour un cure-dent que vous lancez sur votre parquet de croiser une rainure (l’ensemble des sens selon lequel le cure-dent tombe sur le sol forme un cercle).

En plus d’intervenir dans presque tous les domaines des mathématiques, de la trigonométrie aux statistiques, on constate aujourd’hui que le nombre Pi est également bien présent en physique, en astronomie et bien d’autres domaines.

• En géométrie car il fut longtemps considéré comme un rapport, celui du périmètre d’un cercle de rayon r par son diamètre en géométrie euclidienne. La lettre π vient d’ailleurs de l’initiale grecque du mot périmètre.

• En analyse car il est limite de certaines sommes infinies, produits infinis, fractions continues, racines emboitées dont certaines facilitent son calcul.

• En algèbre car après des recherches sur les nombres transcendants et irrationnels, on a pu par exemple apporté une réponse au célèbre problème de la quadrature du cercle.

• En probabilité même il intervient parfois dans quelques lois continues ou dans des problèmes amusants (aiguille de Buffon).

Les mathématiciens cherchent encore à savoir :

• si π est un nombre normal, c’est-à-dire que ses chiffres en écriture décimale sont équirépartis ;

• si π est un nombre univers, ce qui signifie qu’on pourrait trouver dans son développement décimal n’importe quelle suite finie de chiffres.

Ces questions demeurent sans réponse à ce jour ! Et pour cause : l’apriori des mathématiques en faveur des nombres du continu, des nombres réels, de la mathématique algébrique non dynamique qui passe d’un nombre à un autre par la continuité, et de la géométrie du continu, celle des lignes droites et courbes, des surfaces et des volumes continus avec des images figées et non dynamiques.

Le problème pour résoudre les questions posées par la relation entre le linéaire et le courbe, c’est que l’un comme l’autre sont conçus le plus souvent sur un mode non dynamique et non quantique, sur le mode continu et figé dû aux calculs infinitésimaux des sommations et produits infinis, aux nombres réels et aux différentielles et intégrales fondées sur le continu alors que l’univers réel, dont les mathématiques ne peuvent s’abstraire, est lui dynamique et quantique.

Supposons maintenant que nous ayons affaire à un espace-temps dynamique et discret. Cela signifie qu’il repose sur des discontinuités qui s’agitent sans cesse, se recomposent et se décomposent, et redéfinissent le fond en permanence. Du coup, même pour un espace euclidien à l’équilibre pour lequel la circonférence d’un cercle égale Pi fois le diamètre, on ne peut pas dire que ce soit vrai autrement qu’en moyenne, avec tantôt un peu plus et tantôt un peu moins. C’est seulement une moyenne des approximations. C’est une valeur statistique. Pour y parvenir, il faut donner une image mathématique d’un tel espace-temps et y calculer, avec les sauts quantiques de l’espace-temps, la probabilité qui en découle. Le quanta d’espace-temps est connu : c’est la dimension de Planck d’espace puisssance trois fois la dimension de temps de Planck. Cela définit un volume de base à quatre dimensions.

Le caractère quantique signifie qu’aucun calcul à l’infini n’est possible mais la petitesse des dimensions de Planck signifie que le quanta est beaucoup plus petit que la plupart des calculs effectués par les hommes et leurs ordinateurs !

Le caractère dynamique de cet espace-temps signifie que l’espace-temps réel est fondé sur un espace-temps virtuel, le virtuel et le réel s’échangeant sans cesse, des grains d’espace-temps réel apparaissant et disparaissant sans cesse.

Le calcul de Pi résulte de la transformation de l’espace parcouru en courbant progressivement un segment de ligne droite dans un espace-temps dynamique et quantique, cette courbure étant ensuite réalisée progressivement jusqu’à atteindre la forme de cercle.

Il faut mener ce calcul de manière quantique, ce qui signifie que le déplacement à partir de la ligne droite se fait quanta d’espace-temps par quanta.

Lire aussi sur Pi :

Texte un

Texte deux

Texte trois

Texte quatre

Texte cinq

Texte six

Texte sept

Texte neuf

Texte dix

Texte onze

Texte douze

texte treize

Texte quatorze

Texte quinze

Texte seize

Texte dix-sept

Texte dix-huit

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