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Comment la physique des particules et la physique des solides expliquent l’élasticité

dimanche 14 février 2021, par Robert Paris

Comment la physique des particules et la physique des solides expliquent l’élasticité

Lorsqu’un matériau élastique est déformé en raison d’une force externe, il subit une résistance interne à la déformation et le restitue à son état d’origine si la force externe n’est plus appliquée. Il existe divers modules élastiques, tels que le module d’Young, le module de cisaillement et le module de volume, qui sont tous des mesures des propriétés élastiques inhérentes d’un matériau en tant que résistance à la déformation sous une charge appliquée. Les différents modules s’appliquent à différents types de déformation. Par exemple, le module de Young s’applique à l’extension / compression d’un corps, tandis que le module de cisaillement s’applique à son cisaillement. Le module de Young et le module de cisaillement ne concernent que les solides, tandis que le module de masse concerne les solides, les liquides et les gaz.

L’élasticité des matériaux est décrite par une courbe contrainte-déformation, qui montre la relation entre la contrainte (la force interne de restauration moyenne par unité de surface) et la déformation (la déformation relative). La courbe est généralement non linéaire, mais elle peut (en utilisant une série de Taylor) être approximée comme linéaire pour des déformations suffisamment petites (dans lesquelles les termes d’ordre supérieur sont négligeables). Si le matériau est isotrope, la relation contrainte-déformation linéarisée est appelée loi de Hooke, qui est souvent supposée s’appliquer jusqu’à la limite d’élasticité pour la plupart des métaux ou des matériaux cristallins alors que l’élasticité non linéaire est généralement nécessaire pour modéliser de grandes déformations de matériaux caoutchouteux, même dans le gamme élastique. Pour des contraintes encore plus élevées, les matériaux présentent un comportement plastique, c’est-à-dire qu’ils se déforment de manière irréversible et ne reviennent pas à leur forme d’origine après que la contrainte n’est plus appliquée. Pour les matériaux caoutchouteux tels que les élastomères, la pente de la courbe contrainte-déformation augmente avec la contrainte, ce qui signifie que les caoutchoucs deviennent progressivement plus difficiles à étirer, tandis que pour la plupart des métaux, le gradient diminue à des contraintes très élevées, ce qui signifie qu’ils deviennent progressivement plus faciles. pour s’étirer. L’élasticité ne se manifeste pas uniquement par les solides ; Les fluides non newtoniens, tels que les fluides viscoélastiques, présenteront également une élasticité dans certaines conditions quantifiées par l’indice de Deborah. En réponse à une petite déformation, rapidement appliquée et éliminée, ces fluides peuvent se déformer puis retrouver leur forme d’origine. Sous des contraintes plus importantes ou des contraintes appliquées pendant de plus longues périodes, ces fluides peuvent commencer à s’écouler comme un liquide visqueux.

Puisque l’élasticité d’un matériau est décrite en termes de relation contrainte-déformation, il est essentiel que les termes contrainte et déformation soient définis sans ambiguïté. En règle générale, deux types de relations sont considérés. Le premier type concerne les matériaux élastiques uniquement pour les petites déformations. Le second traite des matériaux qui ne se limitent pas à de petites souches. Il est clair que le deuxième type de relation est plus général en ce sens qu’il doit inclure le premier type comme cas particulier.

Pour les petites déformations, la mesure de contrainte utilisée est la contrainte de Cauchy tandis que la mesure de déformation utilisée est le tenseur de déformation infinitésimale ; le comportement du matériau résultant (prévu) est appelé élasticité linéaire, qui (pour les milieux isotropes) est appelée loi de Hooke généralisée. Les matériaux élastiques de Cauchy et les matériaux hypoélastiques sont des modèles qui étendent la loi de Hooke pour permettre la possibilité de grandes rotations, de grandes distorsions et une anisotropie intrinsèque ou induite.

Pour des situations plus générales, l’une quelconque d’un certain nombre de mesures de contrainte peut être utilisée, et il est généralement souhaité (mais pas obligatoire) que la relation contrainte-déformation élastique soit formulée en termes d’une mesure de déformation finie qui est conjuguée au travail à la mesure de contrainte sélectionnée , c’est-à-dire que l’intégrale de temps du produit interne de la mesure de contrainte avec le taux de la mesure de déformation doit être égale à la variation d’énergie interne pour tout processus adiabatique qui reste en dessous de la limite élastique.

Richard Feynman, Cours de Physique, Electromagnétisme tome 2 :

« Elasticité

« Loi de Hooke

La théorie de l’élasticité traite du comportement des substances qui ont la propriété de reprendre leurs dimensions et leur forme lorsque les forces qui produisent les déformations sont supprimées. Nous trouvons cette propriété d’élasticité dans une certaine mesure dans tous les corps solides.

Si nous avons le temps de traiter le sujet en détail, nous examinerons plusieurs choses : le comportement des matériaux, les lois générales de l’élasticité, la théorie générale de l’élasticité, le mécanisme atomique qui détermine les propriétés élastiques, et enfin les limitations des lois élastiques lorsque les forces deviennent tellement grandes que le corps devient plastique et que des fractures apparaissent…

Lorsque vous exercez une pression sur un morceau de matériau, il « cède » - le matériau est déformé. Si la force est suffisamment petite, les déplacements relatifs des divers points du matériau sont proportionnels à la force – nous disons alors que le comportement est « élastique »…

Supposez que nous prenions un bloc de matériau rectangulaire qui s’allonge dans sa longueur l… Pour un grand nombre de matériaux, l’expérience montre que, pour des allongements suffisamment petits, la force F est proportionnelle à l’allongement dl.

Cette relation est connue sous le nom de loi de Hooke.

F= k fois dl

L’allongement du barreau va aussi dépendre de sa longueur. Nous pouvons trouver comment à l’aide du raisonnement suivant. Si nous collons deux blocs identiques l’un à l’autre, bout à bout, les mêmes forces agissent sur chacun des blocs ; ils vont chacun s’allonger de l’allongement dl. L’allongement d’un bloc de longueur deux fois l sera donc deux fois dl.

Afin d’avoir un nombre plus caractéristique du matériau et moins dépendant de la forme, nous utiliserons le rapport dl/l de l’allongement à la longueur initiale. Ce rapport est proportionnel à la force mais indépendant de la longueur l.

F est proportionnel à dl/l

La force va aussi dépendre de la surface du bloc. Supposez que nous placions deux blocs côte à côte. Pour un allongement donné dl, nous avons alors la force F qui agit sur chaque bloc, ou deux fois la force qui s’exerce sur la combinaison de deux blocs. La force pour un allongement donné doit être proportionnelle à la surface de la section du bloc.

Pour obtenir une loi dans laquelle le coefficient de proportionnalité est indépendant des dimensions du corps, nous écrirons la loi de Hooke pour un barreau rectangulaire sous la forme :

F = Y fois A fois dl divisé par l ; avec Y module de Young, propriété caractéristique du matériau et avec A surface de la section du matériau.

La force par unité de surface F/A est appelée « l’effort » et l’allongement par unité de longueur est appelée, l’allongement fractionnaire, est appelée « la déformation ».

On peut donc écrire la loi de Hooke :

Effort = (module de Young, caractéristique du matériau) multiplié par (déformation)

Appelons-la loi n°1.

Il y a une autre partie dans la loi de Hooke : lorsque vous étirez un bloc de matériau dans une direction, il se contracte à angle droit de la tension. La contraction en largeur est proportionnelle à la largeur et aussi à dl/l. La contraction latérale est dans le même rapport pour la largeur et la hauteur, et l’on l’écrit généralement :

dw/w = dh/h = - r fois dl/l (loi n°2)

avec l longueur étirée

w largeur

h hauteur

où la constante r qui caractérise une autre propriété du matériau est appelée « coefficient de Poisson ». Elle est toujours positive et est en module inférieure à ½. (Il est « raisonnable » que r soit généralement positive, mais il n’est pas tout à fait évident qu’il doive en être ainsi).

Les constantes Y (module de Young) et r (coefficient de Poisson) déterminent complètement les propriétés élastiques d’un matériau homogène, isotrope (c’est-à-dire non cristallin). Dans les matériaux cristallins, les tensions et les contractions peuvent être différentes dans des directions différentes, si bien qu’il peut y avoir beaucoup plus de constantes élastiques.

Nous allons temporairement restreindre notre étude aux matériaux homogènes isotropes dont les propriétés peuvent être décrites par Y et r…

La dernière loi générale dont nous avons besoin est le principe de superposition. Comme les deux lois (n°1 et n°2) sont linéaires pour les forces et les déplacements, le principe de superposition marche. Si vous avez un ensemble de forces et que vous obteniez certains déplacements, et si ensuite vous ajoutez un nouvel ensemble de forces et que vous obteniez certains déplacements supplémentaires, les déplacements résultants seront la somme de ceux que vous auriez obtenus avec les deux ensembles de forces agissant indépendamment…

Comportement inélastique

Dans tout ce qui a été dit précédemment, on a supposé que la contrainte était proportionnelle à la déformation ; en général, ceci n’est pas vrai. Un modèle de plastique soumis à une contrainte (d’après F. W. Sears, Optics) représente une courbe typique contrainte-déformation, relative à une substance ductile. Pour de faibles déformations, la contrainte est proportionnelle à la déformation. Ensuite, néanmoins, après un certain point, la relation entre la contrainte et la déformation commence à s’écarter de la ligne droite.

Plastique soumis à une contrainte

Pour de nombreuses substances – celles que nous pourrions appeler « cassantes » - l’objet se rompt pour une déformation qui dépasse seulement un peu le point où la courbe commence à s’incurver. En général, il y a d’autres complications dans la relation contrainte-déformation. Par exemple, si vous déformez un objet, les contraintes peuvent être intenses au début, mais décroître lentement avec le temps. De même, si vous atteignez de fortes contraintes, mais sans atteindre le « point de rupture », quand vous diminuez la déformation, la contrainte revient suivant une courbe différente. Il y a un faible effet d’hystérésis.

La contrainte à partir de laquelle la substance se rompt, varie énormément d’une substance à une autre. Certaines se rompent quand le maximum de la contrainte de « tension » atteint une certaine valeur. D’autres se rompent quand le maximum de la contrainte de cisaillement atteint une certaine valeur.

La craie est un exemple de matière qui est plus fragile en tension qu’en cisaillement… Rappelons que nous avons montré que le cisaillement est équivalent à la composition d’une tension et d’une compression à 45°. Pour ces raisons, si vous tordez un bâton de craie, il se rompt suivant une surface compliquée qui part à 45°….

D’autres substances se comportent de façon curieuse et compliquée. Plus les substances sont compliquées et plus intéressant est leur comportement. Si nous prenons une feuille de « plastique d’emballage » et la froissons en une boule que nous lançons sur la table, elle se déplie lentement, et revient à sa forme initiale plate. A première vue, nous sommes tentés de penser que c’est son inertie qui l’empêche de reprendre sa forme première. Cependant, un calcul simple montre que l’inertie est de plusieurs ordres de grandeur trop petite pour rendre compte de l’effet. Il y a deux effets compétitifs importants : « quelque chose » à l’intérieur de la substance se rappelle la forme qu’elle avait au départ et « essaye » d’y revenir, mais quelque chose d’autre « préfère » la nouvelle forme et « s’oppose » à reprendre l’ancienne forme…

Imaginez une matière faite de fibres longues, flexibles, mais résistantes, mêlées à quelques cellules creuses remplies d’un liquide visqueux. Imaginez aussi qu’il y ait des passages étroits d’une cellule à une autre, de sorte que le liquide puisse s’écouler lentement d’une cellule à une autre voisine. Quand nous froissons une feuille de cette matière, nous déformons les longues fibres, en chassant le liquide des cellules quelque part, et en le forçant à pénétrer dans d’autres cellules étirées. Quand nous laissons aller, les longues fibres tentent de revenir à leur forme première. Mais pour y réussir, elles doivent forcer le liquide à revenir à sa place initiale – ce qui se produira assez lentement en raison de la viscosité. Les forces que nous appliquons en froissant la feuille sont bien plus grandes que les forces exercées par les fibres. Nous pouvons froisser la feuille rapidement, mais elle reviendra plus lentement…

Bien que nous venions d’étudier comment la loi de Hooke est en défaut, la chose remarquable n’est peut-être pas tant que la loi de Hooke cesse d’être applicable aux grandes déformations, mais qu’elle soit vraie de façon si générale.

Nous pouvons nous faire une idée de la raison pour laquelle il doit bien en être ainsi, en considérant l’énergie de déformation dans une substance. Dire que la contrainte est proportionnelle à la déformation revient au même que de dire que l’énergie de déformation varie comme le carré de la déformation. Imaginons une tige que nous tordons d’un petit angle theta. Si la loi de Hooke est applicable, l’énergie de déformation doit être proportionnelle au carré de theta… Or si nous mesurons nos angles à partir d’une position d’équilibre, le premier terme est proportionnel à theta et, pour d’assez petits angles, il l’emportera sur le terme en theta carré… »

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