L’Univers peut-il être conçu comme une géométrie ?

L’Univers peut-il être conçu comme une géométrie ?

Le premier problème que pose cette proposition, c’est que la géométrie que nous connaissons est une axiomatique logique et que le fonctionnement de l’Univers n’est pas concevable comme de la logique formelle. On peut répondre qu’il peut y avoir une autre manière de concevoir la géométrie qui se fonde sur l’expérience sensible plutôt que sur une série d’axiomes et les raisonnements qui mènent aux autres théorèmes. Mais il y a d’autres obstacles…

Tout d’abord, il y a le fait que la géométrie décrit la forme et pas les éléments matériels qui composent l’Univers. Personne n’a réellement proposé une géométrie qui décrive une particule et qui fonctionne correctement par rapport à ce que nous observons. La particule ne peut ni être une boule, ni être un point matériel réel. Dans les deux cas, il y a contradiction avec certains faits. Personne n’a proposé une géométrie qui décrive l’espace lui-même et qui convienne à toutes les échelles de la réalité. Au contraire, les géométries proposées sont différentes à chaque échelle. Il y a des géométries du continu et d’autres du discontinu, des géométries euclidiennes, riemanniennes ou de Lobatchevski, des géométries à trois, quatre, cinq dimensions et même une infinité de dimensions, des géométries discrètes, chiffonnées, fractales, etc. Choisir une image géométrique du monde, mais laquelle ?!!! Une géométrique plane ou sphérique, finie ou infinie, ou encore finie avec des cheminements infinis, courbe ou rectiligne, se refermant sur elle-même ou pas, etc.

Ce n’est pas LA géométrie qui peut trancher ces questions car il n’y a pas une mais plusieurs géométries possibles dont certaines s’excluent mutuellement.

Ce n’est pas la même géométrie s’il y a des masses ou s’il n’y en a pas, pas la même près d’un grand centre de masse ou près d’un trou noir, etc. Aucune géométrie n’englobe toutes ces situations diverses. Aucune géométrie de l’espace ne produit des particules, qu’elles soient réelles ou virtuelles. Aucune géométrie n’explique le temps et son écoulement, dans la matière, et le temps sans sens d’écoulement dans le vide quantique.

Citons maintenant des points de vue différents et même divergents de grands auteurs sur cette question : l’univers est-il une vaste géométrie ?

Platon dans « L’épinomis » :

« La géométrie est la connaissance de ce qui est toujours. »

Platon a fait inscrire au fronton de son école :

« Nul ne doit entrer ici s’il n’est géomètre. »

Galilée dans « L’Essayeur » :

« La philosophie est écrite dans cet immense livre qui continuellement reste ouvert devant les yeux (je dis l’Univers), mais on ne peut le comprendre si, d’abord, on ne s’exerce pas à en connaître la langue et les caractères dans lesquels il est écrit. II est écrit dans une langue mathématique, et les caractères en sont les triangles, les cercles, et d’autres figures géométriques, sans lesquelles il est impossible humainement d’en saisir le moindre mot ; sans ces moyens, on risque de s’égarer dans un labyrinthe obscur. »

Diderot dans "Les pensées sur l’interprétation de la nature" :

« Une des vérités qui aient été annoncées de nos jours avec le plus de courage et de force, qu’un bon physicien ne perdra point de vue, et qui aura certainement les suites les plus avantageuses, c’est que la région des mathématiciens est un monde intellectuel, où ce que l’on prend pour des vérités rigoureuses perd absolument cet avantage quand on l’apporte sur notre terre. On en a conclu que c’était à la philosophie expérimentale à rectifier les calculs de la géométrie, et cette conséquence a été avouée, même par les géomètres. Mais à quoi bon corriger le calcul géométrique par l’expérience ? N’est-il pas plus court de s’en tenir au résultat de celle-ci ? d’où l’on voit que les mathématiques, transcendantes surtout, ne conduisent à rien de précis sans l’expérience ; que c’est une espèce de métaphysique générale où les corps sont dépouillés de leurs qualités individuelles ; et qu’il resterait au moins à faire un grand ouvrage qu’on pourrait appeler l’Application de l’expérience à la géométrie, ou Traité de l’aberration des mesures. »

La géométrie dans l’Encyclopédie de Diderot

Henri Poincaré dans "La science et l’hypothèse" :

"Les mathématiciens n’étudient pas des objets, mais des relations entre objets ; il leur est donc indifférent de remplacer ces objets par d’autres, pourvu que les relations ne changent pas. La matière ne leur importe pas, la forme seule les intéresse. (...) Comparons la mécanique avec la géométrie. Les propositions fondamentales de la géométrie, comme par exemple le postulatum d’Euclide, ne sont non plus que des conventions, et il est tout aussi déraisonnable de chercher si elles sont vraies ou fausses que de demander si le système métrique est vrai ou faux. (...) Les expériences qui nous ont conduits à adopter comme plus commodes les conventions fondamentales de la géométrie portent sur des objets qui n’ont rien de commun avec ceux qu’étudie la géométrie (...) je sépare par une barrière la géométrie proprement dite de l’étude des corps solides. (...) En sciences, l’expérience est la source unique de la vérité : elle seule peut nous apprendre quelque chose de nouveau ; elle seule peut nous donne rde la certitude. (...) Mais alors si l’expérience est tout, quelle place restera-t-il pour la physique mathématique ? Qu’est-ce que la physique expérimentale a à faire d’un tel auxiliaire qui semble inutile et peut être même dangereux ? Et pourtant la physique mathématique existe ; elle a rendu des services indéniables ; il y a là un fait qu’il est nécessaire d’expliquer. C’est qu’il ne suffit pas d’observer. Il faut se servir de ces observations. Et pour cela, il faut les généraliser. (…)

« La possibilité même de science mathématique me semble une contradiction insoluble. Si cette science n’est déductive qu’en apparence, d’où lui vient cette parfaite rigueur que personne ne songe à mettre en doute ? Si au contraire toutes les propriétés qu’elle énonce peuvent se tirer les unes des autres par les règles de la logique formelle, comment la mathématique ne se réduit-elle pas à une immense tautologie ?... La géométrie ne s’occupe pas en réalité des solides naturels, elle a pour objet certains solides idéaux, absolument invariables, qui n’en sont qu’une image simplifiée et bien lointaine. La notion de ces corps idéaux est tirée de toutes pièces de notre esprit. »

« Et d’abord, qu’entendez-vous par propriétés géométriques des corps ? Je suppose qu’il s’agit des rapports des corps avec l’espace ; ces propriétés sont donc inaccessibles à des expériences qui ne portent que sur les rapports des corps entre eux. Cela seul suffirait pour montrer que ce n’est pas d’elles qu’il peut être question. »

« Comparons la mécanique avec la géométrie. Les propositions fondamentales de la géométrie, comme par exemple le postulatum d’Euclide, ne sont non plus que des conventions, et il est tout aussi déraisonnable de chercher si elles sont vraies ou fausses que de demander si le système métrique est vrai ou faux. (...) Les expériences qui nous ont conduits à adopter comme plus commodes les conventions fondamentales de la géométrie portent sur des objets qui n’ont rien de commun avec ceux qu’étudie la géométrie (...) je sépare par une barrière la géométrie proprement dite de l’étude des corps solides. (...) En sciences, l’expérience est la source unique de la vérité : elle seule peut nous apprendre quelque chose de nouveau ; elle seule peut nous donner de la certitude. (...) Mais alors si l’expérience est tout, quelle place restera-t-il pour la physique mathématique ? Qu’est-ce que la physique expérimentale a à faire d’un tel auxiliaire qui semble inutile et peut être même dangereux ? Et pourtant la physique mathématique existe ; elle a rendu des services indéniables ; il y a là un fait qu’il est nécessaire d’expliquer. C’est qu’il ne suffit pas d’observer. Il faut se servir de ces observations. Et pour cela, il faut les généraliser. »

« S’il n’y a pas de matière, il n’y a pas de géométrie. » écrit Edgard Gunzig dans un article intitulé « Du vide à l’univers » de l’ouvrage collectif « Le vide ». Mais cela ne veut pas dire que l’univers matériel soit équivalent à une géométrie…

Einstein dans « La géométrie et l’expérience » :
« Le prestige de mathématiques tient, par ailleurs, au fait que ce sont également elles qui confèrent aux sciences exactes de la nature un certain degré de certitude, que celles-ci ne pourraient atteindre autrement. Ici surgit une énigme qui, de tout temps, a fortement troublé les chercheurs. Comment est-il possible que les mathématiques, qui sont issues de la pensée humaine indépendamment de toute expérience, s’appliquent si parfaitement aux objets de la réalité ? La raison humaine ne peut-elle donc, sans l’aide de l’expérience, par sa seule activité pensante, découvrir les propriétés des choses réelles ? Il me semble qu’à cela on ne peut répondre qu’une seule chose : pour autant que les propositions mathématiques se rapportent à la réalité, elles ne sont pas certaines, et, pour autant qu’elles sont certaines, elles ne se rapportent pas à la réalité. »

« La Géométrie et l’Expérience », d’Albert Einstein

René Thom :

« La Physique est une magie contrôlée par la géométrie. »

Albert Einstein et Leopold Infeld dans « L’évolution des idées en physique » :

« Les ouvrages de physique sont remplis de formules mathématiques compliquées. Mais c’est la pensée, ce sont les idées qui sont à l’origine de toute théorie physique. »
« Parmi toutes les sciences, les mathématiques jouissent d’un prestige particulier qui tient à une raison unique : leurs propositions ont un caractère de certitude absolue et incontestable, alors que celles de toutes les autres sciences sont discutables jusqu’à un certain point et risquent toujours d’être réfutées par la découverte de faits nouveaux. Le chercheur d’une autre discipline n’aurait pas lieu pour autant d’envier le mathématicien si les propositions de ce dernier ne portaient que sur de purs produits de notre imagination et non sur des objets réels. Il n’est pas étonnant en effet que l’on parvienne à des conclusions logiques concordantes, une fois que l’on s’est mis d’accord sur les propositions fondamentales (axiomes) ainsi que sur les méthodes à suivre pour déduire de ces propositions fondamentales d’autres propositions ; mais le prestiges de mathématiques tient, par ailleurs, au fait que ce sont également elles qui confèrent aux sciences exactes de la nature un certain degré de certitude, que celles-ci ne pourraient atteindre autrement.
Ici surgit une énigme qui, de tout temps, a fortement troublé les chercheurs. Comment est-il possible que les mathématiques, qui sont issues de la pensée humaine indépendamment de toute expérience, s’appliquent si parfaitement aux objets de la réalité ? La raison humaine ne peut-elle donc, sans l’aide de l’expérience, par sa seule activité pensante, découvrir les propriétés des choses réelles ?
Il me semble qu’à cela on ne peut répondre qu’une seule chose : pour autant que les propositions mathématiques se rapportent à la réalité, elles ne sont pas certaines, et, pour autant qu’elles sont certaines, elles ne se rapportent pas à la réalité. (…) Interprétation ancienne : tout le monde sait ce qu’est une droite et ce qu’est un point. (…) Interprétation nouvelle : la géométrie traite d’objets qui sont désignés au moyen de termes « droite », « point », etc. On ne présuppose pas une quelconque connaissance ou intuition de ces objets, mais seulement la validité d’axiomes (…) Ces axiomes sont des créations libres de l’esprit humain. (…) Ce sont les axiomes qui définissent en premier lieu les objets dont traite la géométrie. (…) Pourquoi Poincaré et d’autres chercheurs rejettent-ils l’équivalence naturelle entre le corps pratiquement rigide de l’expérience et le corps de la géométrie ? Tout simplement parce qu’un examen un peu précis révèle que les corps solides réels de la nature ne sont pas rigides, étant donné que leur comportement géométrique, c’est-à-dire les diverses positions relatives qu’ils peuvent occuper, est fonction de la température, des forces extérieures, etc. » explique Einstein dans « La géométrie et l’expérience ».
« Parmi toutes les sciences, mathématiques jouissent d’un prestige particulier qui tient à une raison unique : leurs propositions ont un caractère de certitude absolue et incontestable, alors que celles de toutes les autres sciences sont discutables jusqu’à un certain point et risquent toujours d’être réfutées par la découverte de faits nouveaux. (…) Les propositions du mathématicien ne portent que sur de purs produits de notre imagination et non sur des objets réels. Il n’est pas étonnant que l’on parvienne à des propositions logiques concordantes, une fois que l’on s’est mis d’accord sur les propositions fondamentales pour déduire de ces propositions fondamentales d’autres propositions. (…) Ici surgit une énigme qui, de tout temps, a fortement troublé les chercheurs. Comment est-il possible que les mathématiques, qui sont issues de la pensée humaine indépendamment de toute expérience, s’appliquent si parfaitement aux objets de la réalité ? La raison humaine peut-elle donc, sans l’aide de l’expérience, par sa seule activité pensante, découvrir des propriétés des choses réelles ? Il me semble qu’à cela on ne peut répondre qu’une seule chose : pour autant que les propositions mathématiques se rapportent à la réalité, elles ne sont pas certaines, et, pour autant qu’elles sont certaines, elles ne se rapportent pas à la réalité. (…) La géométrie traite d’objets qui sont désignés aux moyens des termes « droite », « point », etc. On ne présuppose pas une quelconque connaissance ou intuition de ces objets, mais seulement la validité d’axiomes qui doivent eux aussi être conçus de manière purement formelle, c’est-à dire comme étant dépourvus de tout contenu procédant de l’intuition ou de l’expérience. Ces axiomes sont des créations libres de l’esprit humain. Toutes les autres propositions géométriques sont des déductions logiques tirées des axiomes. Ce sont les axiomes qui définissent les objets dont traite la géométrie. (…) Les mathématiques comme telles sont impropres à énoncer quoi que ce soit, ni sur les objets de nos représentations intuitives, ni sur les objets de la réalité. (…) Mais il n’en est pas moins sûr, d’autre part, que les mathématiques en général, et la géométrie tout particulièrement, sont nées de notre besoin d’apprendre quelque chose sur le comportement des choses réelles. En témoigne déjà le mot « géométrie », qui signifie mesure de la terre, arpentage. (…) Poincaré a souligné cependant que les corps empiriquement donnés ne sont pas rigides et ne peuvent donc servir à incarner les segments de la géométrie. » écrit Einstein dans « La géométrie et l’expérience » (1921).

Dans « La déduction relativiste de Meyerson », Einstein réfute l’idée que la relativité ramène la physique à une géométrie de l’espace :

« Il y a une confusion à éviter dans l’interprétation de certaines affirmations de M. Meyerson, et notamment celle-ci : « La relativité ramène la physique à la géométrie ». Il est très exact qu’avec cette théorie la géométrie (métrique), regardée comme distincte des autres disciplines jusqu’alors classées sous le terme « physique », a perdu son existence indépendante. Cela ne suffit cependant point à justifier l’application du nom de « géométrie » à toute science où la forme mathématique joue un rôle. (…) Je suis d’avis que le terme de « géométrie » employé dans cet ordre d’idées est entièrement vide de sens. »

Einstein disait en 1921 :
« L’interprétation physique de la géométrie proposée ici ne peut être appliquée aux dimensions submoléculaires de l’espace »

David Hilbert dans "Les fondements" :

« Comme l’arithmétique, la géométrie n’exige pour son élaboration qu’un petit nombre de propositions fondamentales simples. Ces propositions sont les axiomes de la géométrie. Depuis Euclide, l’établissement de ces axiomes et l’étude de leurs relations ont fait l’objet de travaux nombreux et excellents. (…) Ce problème est celui de l’analyse de notre intuition de l’espace. »

Lee Smolin dans « Rien ne va plus en physique » :

« Selon la théorie générale de la relativité d’Einstein, l’espace et le temps ne constituent plus un fond fixe et absolu. L’espace est aussi dynamique que la matière : il bouge et il change de forme. (…) Quelques siècles avant Einstein, Galilée avait découvert l’unification du repos avec le mouvement uniforme (en ligne droite à vitesse constante). A partir de 1907 environ, Einstein a commencé à s’interroger sur les autres types de mouvement, tel le mouvement accéléré. Dans le mouvement accéléré, la direction ou la vitesse varient. (…) C’est à ce moment qu’Einstein a fait l’avancée la plus extraordinaire. Il a réalisé que l’on ne pouvait pas distinguer les effets de l’accélération des effets de la gravité. (…) Dans une cabine d’ascenseur en chute libre, les passagers de la cabine ne sentiraient plus leur poids. (…) L’accélération de l’ascenseur en chute libre compense totalement l’effet de la gravité. (…) L’unification de l’accélération et de la gravitation a eu des conséquences importantes et, avant même que ses implications conceptuelles ne soient comprises, d’importantes implications expérimentales furent dégagées. Quelques prédictions en découlaient (…) par exemple que les horloges doivent ralentir dans un champ gravitationnel. (…) Ou encore que la lumière se courbe lorsqu’elle circule au travers d’un champ gravitationnel. (…) La théorie d’Einstein a des conséquences très importantes, puisque les rayons de lumière sont courbés par le champ gravitationnel qui, à son tour, réagit à la présence de la matière. La seule conclusion possible est que la présence de matière influence la géométrie de l’espace. (…) Si deux rayons de lumière sont initialement parallèles, ils peuvent se rencontrer, s’ils passent tous les deux près d’une étoile. Ils sont recourbés l’un vers l’autre. Par conséquent, la géométrie euclidienne (où les droites parallèles ne se rencontrent jamais) n’est pas adaptée au monde réel. De plus, la géométrie varie sans cesse, parce que la matière est sans arrêt en mouvement. La géométrie de l’espace n’est pas plate comme un plan infini. Elle est plutôt comme la surface de l’océan : incroyablement dynamique, avec de grandes vagues et de toutes petites rides. Ainsi, la géométrie de l’espace s’est révélée n’être qu’un autre champ. (…) Dans la relativité restreinte, l’espace et le temps forment, ensemble, une entité quadridimensionnelle qu’on appelle espace-temps. (…) L’unification einsteinienne du champ gravitationnel avec la géométrie de l’espace-temps était le signal de la transformation profonde de notre façon de concevoir la nature. Avant Einstein, l’espace et le temps avaient été pensés comme possédant des caractéristiques fixes, données une fois pour toutes : la géométrie de l’espace est, a été et sera toujours celle décrite par Euclide et le temps avance indépendamment de tout le reste. Les choses pouvaient se déplacer dans l’espace et évoluer dans le temps, mais l’espace et le temps eux-mêmes ne changeaient jamais. (…) La théorie générale de la relativité d’Einstein diffère complètement. Il n’y a plus de fond fixe. La géométrie de l’espace et du temps varie et évolue en permanence, ainsi que le reste de la nature. (…) Il n’y a plus un champ qui se déplace sur un fond géométrique fixe. Au contraire, nous avons une collection de champs, qui interagissent tous, les uns avec les autres, qui sont dynamiques, qui tous exercent une influence sur les autres, et la géométrie de l’espace-temps en fait partie. (…) La relativité générale a vite mené aux prédictions de phénomènes nouveaux, tels que l’expansion de l’univers, le Big Bang, les ondes gravitationnelles et les trous noirs, dont il existe, pour tous, de solides preuves expérimentales. (…) La leçon principale de la relativité générale était qu’il n’y avait pas de géométrie fixe du fond spatio-temporel. (…) Cela signifie que les lois de la nature doivent s’exprimer sous une forme qui ne présuppose pas que l’espace ait une géométrie fixe. C’est le cœur de la leçon einsteinienne. Cette forme se traduit en principe, celui d’indépendance par rapport au fond. Ce principe énonce que les lois de la nature peuvent être décrites dans leur totalité sans présupposer la géométrie de l’espace. (…) L’espace et le temps émergent de ces lois plutôt que de faire partie de la scène où se joue le spectacle. Un autre aspect de l’indépendance par rapport au fond est qu’il n’existe pas de temps privilégié. La relativité générale décrit l’histoire du monde au niveau fondamental en termes d’événements et de relations entre eux. Les relations les plus importantes concernent la causalité : un événement peut se trouver dans la chaîne causale qui mène à un autre événement. (…) Ce sont lesdits événements qui constituent l’espace. (…) Toute définition concrète de l’espace dépend du temps. Il existe autant de définitions de l’espace que de temporalités différentes. (…) La question fondamentale pour la théorie quantique de la gravitation est, par conséquent, celle-ci : peut-on étendre à la théorie quantique le principe selon lequel l’espace n’a pas de géométrie fixe ? C’est-à-dire peut-on faire une théorie quantique indépendante du fond, au moins en ce qui concerne la géométrie de l’espace ? »

« La leçon principale de la relativité générale était qu’il n’y avait pas de géométrie fixe du fond spatio-temporel. (…) Cela signifie que les lois de la nature doivent s’exprimer sous une forme qui ne présuppose pas que l’espace ait une géométrie fixe. C’est le cœur de la leçon einsteinienne. Cette forme se traduit en principe, celui d’indépendance par rapport au fond. Ce principe énonce que les lois de la nature peuvent être décrites dans leur totalité sans présupposer la géométrie de l’espace. »