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ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 09/02/2009

-Ý- RUBRIQUE: PARADOXES
§ Paradoxes classiques	§ Menteur	§
§	§ Achille	§
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ACHILLE & LA TORTUE

Achille ne peut jamais atteindre la tortue!

À moins que …

 Il faut avoir assimilé les concepts de l'infini, du zéro et, en résumé, des limites

pour résoudre ce paradoxe

-Ý-LIMITE ASYMPTOTIQUE

§ Comme l'avion qui atterrit, la courbe asymptotique se rapproche sans cesse d'une ligne droite.

§ A mesure que cette courbe et la ligne convergent, la distance qui les sépare est continuellement divisée de moitié.

§ Mais quel que soit le point atteint, il restera toujours une moitié à faire, et ceci, même à l'infini

§ Paradoxe de la ligne asymptotique!

§ Paradoxe d'Achille et la tortue

Antinomies de Zénon d'Élée

Grec, vers 500 avant J.-C.

La flèche n'atteint jamais sa cible	§ Chaque fois que la flèche a parcouru la moitié de son chemin, § Il lui en reste une autre moitié à parcourir
Achille ne rattrape jamais la tortue	§ La tortue est partie en avance (eh, oui!) § Elle est déjà loin lorsqu'Achille se met à courir § Au moment où Achille atteint le point où elle se trouvait, la tortue a fait du chemin § Chaque fois qu'Achille passe par le point où se trouvait la tortue § Celle-ci, pendant ce temps, progresse …

Voir Nombre 0,5 / Zénon d'Élée

-Ý- PARADOXE

Achille et la tortue - Exemple numérique

§ La tortue est déjà en position 1 au départ

§ Achille va-t-il remonter le handicap ?

ü Achille progresse vers la position 1

ü pendant ce temps, la tortue continue son bonhomme de chemin et se trouve en 1 + 1/2

Illustration

§ Les positions successives de la tortue sont le suivantes

Étapes	Progression de la tortue		Position de la tortue
1	1/2	= 0, 50000	3/2	= 1, 5000
2	1/4	= 0, 25000	7/4	= 1, 7500
3	1/8	= 0, 12500	15/8	= 1, 8750
4	1/16	= 0, 062500	31/16	= 1, 9375
5	1/32	= 0, 031250	63/32	= 1, 9688
6	1/64	= 0, 015625	127/64	= 1, 9844
7	1/128	= 0, 0078125	255/128	= 1, 9922
8	1/256	= 0, 0039062	511/256	= 1, 9961
9	1/512	= 0, 0019531	1023/512	= 1, 9980
10	1/1024	= 0, 00097656	2047/1024	= 1, 9990

§ La tortue progresse; certes de moins en moins, mais elle progresse

ü Achille est toujours un coup derrière; certes de moins en moins loin, mais derrière

Voir Somme des inverses des puissances de 2

-Ý- LES GRECS

§ Les Grecs n'avaient pas d'explication à ce paradoxe

ü La marche continue de la tortue, découpée ainsi en une infinité d'étapes, devait durer toujours

ü Ou, dit autrement:
en un temps fini, Achille ne rattrape jamais la tortue

v C'est l'infini qui est la cause du paradoxe

v Les Grecs n'avaient pas le zéro pour le résoudre

-Ý- SOLUTION

Chaque terme est comme un voyage

dont la destination serait zéro

Zéro - La biographie d'une idée dangereuse - Charles SEIFE

§ Le premier à formaliser les choses pour éviter le paradoxe est d'Alembert,

ü puis vinrent Cauchy, Bolzano et Weierstrass

§ L'idée consiste à dire que

Ø quel que soit l'écart que l'on décide entre Achille et la tortue

Ø il existe une étape pour laquelle Achille et la tortue sont assez proches pour tenir dans cet écart

v à l'étape 10, par exemple, il y a 1/1000 d'écart seulement

v mais, en étant encore plus exigeant, il est possible de penser à l'étape 10¹⁰⁰, et même davantage …

§ Le paradoxe disparaît en faisant appel à la notion de limite

ü Une étape quelconque représente une série de pas

Ø elle représente une distance finie

Ø pour exprimer le devenir de cette série, ces mathématiciens ont eu recours à une notation particulière: la limite

Voir Nombre 2

§ C'est une manière de calculer qui évite de manipuler

v les dangereux infinis

v et zéro

Suite en Infinitésimaux

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