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Donnez moi une équation et je soulèverai le monde. Les limites des capacités des mathématiques à comprendre le monde.
mardi 24 décembre 2024, par
Donnez moi une équation et je soulèverai le monde. Les limites des capacités des mathématiques à comprendre le monde.
Il ne suffit pas d’équations (ni une seule ni plusieurs) pour étudier la réalité, qu’elle soit physique, vivante, humaine ou sociale. Eh oui ! Même la Physique n’est pas purement mathématique, contrairement à ce qui est souvent dit, y compris la physique quantique qui est très loin d’être uniquement en équations et qui ne répugne pas tant que cela aux descriptions des phénomènes.
Il faut une conception scientifique pour explorer le fonctionnement du monde, vision d’ensemble qui nécessite à la fois des concepts, des analyses, des descriptions utilisant les précédents et permettant d’interpréter les phénomènes, des moyens de vérifier la validité de ces descriptions, vérifications à la fois qualitatives et quantitatives, enfin des lois généralisant les résultats précédents, lois à la fois qualitatives et quantitatives. Nous pensons que cet ensemble doit être considéré comme aussi philosophique que scientifique. La philosophie est un ensemble de conceptions générales étayé par des concepts et des raisonnements. Elle est reliée à la réalité et l’est tout particulièrement lorsqu’il s’agit d’une philosophie matérialiste qui reconnait l’importance décisive des expériences, la nécessité d’une théorie de la mesure, une vision d’ensemble du fonctionnement du monde matériel ainsi que la prééminence et la suprématie du monde matériel sur celui des idées. La matière a autant besoin d’une telle philosophie que l’étude de l’homme, de son cerveau, de son comportement et des sociétés qu’il fonde.
Rappelons d’abord que le simple fait d’affirmer que la réalité obéirait à des équations mathématiques est une conception philosophique idéaliste. Les mathématiques, ce sont des idées. Les faits peuvent être décrits avec des mathématiques à condition de choisir des paramètres et de les définir scientifiquement c’est-à-dire par leur relation avec les autres concepts scientifiques au sein d’un raisonnement. Et ce raisonnement ne se ramène jamais seulement à un calcul.
Concluons : les équations ne disent pas tout sur la réalité, il faut des concepts, une philosophie, une raison, une histoire, une logique, une description des mécanismes (et même un récit qui en retrace la dynamique), une description des objets et de leur fonctionnement et il faut un exposé qui relie tout cela comme un ensemble logique ce qui suppose une philosophie logique. La cohérence de l’ensemble est un point fondamental. Bien entendu, chaque hypothèse doit ensuite être vérifiée par des mesures, des observations et les équations qui relient ces quantités sont un point important mais tout ne s’y ramène pas.
Croire que la résolution d’une équation résoudrait le mystère du monde est d’une naïveté confondante.
Nikola Tesla : « Aujourd’hui les scientifiques ont substitués les mathématiques aux expériences, Alors ils errent d’équation en équation, créant éventuellement une structure qui n’a aucun lien avec la réalité. »
John Von Neumann : « En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s’y habitue. »
Georg Cantor : « L’essence des mathématiques, c’est la liberté. » Mais les lois du réel, c’est la contrainte.
Nicolas Copernic : « Les mathématiques ne sont écrites que pour les mathématiciens. »
Paul Dirac : « Les mathématiques sont l’outil spécialement adapté pour traiter des concepts abstraits de toute nature et il n’y a pas de limite à sa puissance dans ce domaine. »
Einstein expose dans « La géométrie et l’expérience » :
« Parmi toutes les sciences, les mathématiques jouissent d’un prestige particulier qui tient à une raison unique : leurs propositions ont un caractère de certitude absolue et incontestable, alors que celles de toutes les autres sciences sont discutables jusqu’à un certain point et risquent toujours d’être réfutées par la découverte de faits nouveaux. Le chercheur d’une autre discipline n’aurait pas lieu pour autant d’envier le mathématicien si les propositions de ce dernier ne portaient que sur de purs produits de notre imagination et non sur des objets réels. Il n’est pas étonnant en effet que l’on parvienne à des conclusions logiques concordantes, une fois que l’on s’est mis d’accord sur les propositions fondamentales (axiomes) ainsi que sur les méthodes à suivre pour déduire de ces propositions fondamentales d’autres propositions ; mais le prestiges de mathématiques tient, par ailleurs, au fait que ce sont également elles qui confèrent aux sciences exactes de la nature un certain degré de certitude, que celles-ci ne pourraient atteindre autrement.
Ici surgit une énigme qui, de tout temps, a fortement troublé les chercheurs. Comment est-il possible que les mathématiques, qui sont issues de la pensée humaine indépendamment de toute expérience, s’appliquent si parfaitement aux objets de la réalité ? La raison humaine ne peut-elle donc, sans l’aide de l’expérience, par sa seule activité pensante, découvrir les propriétés des choses réelles ?
Il me semble qu’à cela on ne peut répondre qu’une seule chose : pour autant que les propositions mathématiques se rapportent à la réalité, elles ne sont pas certaines, et, pour autant qu’elles sont certaines, elles ne se rapportent pas à la réalité. (…) Interprétation ancienne : tout le monde sait ce qu’est une droite et ce qu’est un point. (…) Interprétation nouvelle : la géométrie traite d’objets qui sont désignés au moyen de termes « droite », « point », etc. On ne présuppose pas une quelconque connaissance ou intuition de ces objets, mais seulement la validité d’axiomes (…) Ces axiomes sont des créations libres de l’esprit humain. (…) Ce sont les axiomes qui définissent en premier lieu les objets dont traite la géométrie. (…) Pourquoi Poincaré et d’autres chercheurs rejettent-ils l’équivalence naturelle entre le corps pratiquement rigide de l’expérience et le corps de la géométrie ? Tout simplement parce qu’un examen un peu précis révèle que les corps solides réels de la nature ne sont pas rigides, étant donné que leur comportement géométrique, c’est-à-dire les diverses positions relatives qu’ils peuvent occuper, est fonction de la température, des forces extérieures, etc. »
John Barrow explique dans « La grande théorie » :
« C’est avec des images, des mots et des idées, non des nombres, des symboles et des formules, que commence et que s’achève (ou le devrait) toute démarche scientifique, jusques et y compris dans une discipline aussi formalisée que la physique théorique. (..) Le grand livre de la Nature, nous dit Galilée, est écrit en langue mathématique ; c’est là certes, un programme radical et fécond dans la pratique scientifique. Mais cet énoncé ne doit pas faire illusion : il s’agit là, au mieux, du livre de comptes de la Nature, non de son livre de contes. Et la narration, nécessaire à la compréhension, ne saurait s’assimiler à une traduction, trahison consentie d’une prétendue vérité mathématique du monde (..) » écrit Jean-Marc Lévy-Leblond dans « Aux contraires ». « Nous avons découvert de nombreuses opérations mathématiques non-calculables, ce qui amène les physiciens à jeter quelques soupçons sur la partie des mathématiques couramment mise à contribution dans la description du monde. (..) Donc, si au niveau le plus fondamental les choses étaient discrètes et discontinues, nous nous engagerions dans les sables mouvants du non-calculable. »
Les mathématiques ne se contentent pas de fournir des outils de calcul ; ils présupposent une certaine philosophie : par exemple, la linéarité, la continuité, la stabilité, la fixité, l’équilibre, … Les mathématiques sont des présupposés logiques et philosophiques. L’ancienne mathématique utilisée de Newton à Einstein sont logiques et non dialectiques, continues et linéaires.
Heisenberg expose ainsi le problème dans « Physique et philosophie » :
« Newton commence ses « Principia » par un groupe de définitions et d’axiomes liés entre eux de telle manière qu’ils forment ce qu’on pourrait appeler un « système fermé » ; chaque concept peut être représenté par un symbole mathématique et les rapports entre les différents concepts sont alors représentés par des équations mathématiques exprimées par des symboles ; l’image mathématique de ce système assure qu’aucune contradiction interne ne puisse s’y produire. Ainsi, les mouvements possibles des corps sous l’influence des forces qui s’exercent sont représentés par les solutions possibles des équations. Le système de définitions et d’axiomes pouvant se traduire par un ensemble d’équations mathématiques est considéré comme décrivant une structure éternelle de la Nature, structure indépendante des valeurs particulières de l’espace ou du temps. Les différents concepts sont si étroitement liés à l’intérieur du système qu’en général l’on ne pourrait changer aucun d’entre eux sans détruire le système tout entier. (…) En physique théorique, nous essayons de comprendre des groupes de phénomènes en introduisant des symboles mathématiques pouvant se lier aux faits, c’est-à-dire aux résultats des mesures ; comme symboles, nous utilisons des noms qui mettent en évidence leur corrélation avec la mesure, rattachant ainsi les symboles au langage ; puis ces symboles sont reliés entre eux par un système rigoureux de définitions et d’axiomes et, pour finir, les lois de la Nature sont exprimées sous forme d’équations entre les symboles. L’infinie variété des solutions de ces équations correspond alors à l’infinie variété des phénomènes particuliers possibles dans ce domaine de la Nature. C’est ainsi que l’ensemble mathématique représente le groupe de phénomènes, dans la mesure où la corrélation entre symboles et mesures est valable. C’est cette corrélation qui permet l’expression de lois concrètes à l’aide du langage ordinaire puisque nos expériences, consistant en actions et observations, peuvent toujours se décrire en langage ordinaire. Mais en même temps que s’accroissent les connaissances scientifiques, le langage s’enrichit lui aussi ; de nouveaux termes sont introduits et les anciens termes sont appliqués à un domaine qui s’élargit, ou d’une façon qui diffère du langage ordinaire. Des termes comme « énergie », « électricité », « entropie », en sont des exemples évidents. (…) C’est dans cet état assez calme de la physique qu’éclatèrent les bombes de la théorie quantique et de la théorie de la relativité restreinte, qui déclenchèrent un glissement d’abord assez lent, puis de plus en plus rapide des bases même des sciences de la Nature. (…) Le vrai problème était qu’il n’existait aucun langage dans lequel exprimer de façon cohérente la nouvelle situation. (…) En théorie de la relativité généralisée, l’idée d’une géométrie non euclidienne dans l’espace réel fut contredite avec énergie par certains philosophes qui faisaient remarquer que toute notre méthode de préparation des expériences présupposait déjà la géométrie euclidienne. (…) Mais c’est la théorie quantique qui soulève le plus de difficultés concernant l’emploi du langage. Nous n’avons là au premier abord aucun guide simple pour relier les symboles mathématiques et les concepts du langage ordinaire ; et la seule chose que nous sachions au départ, c’est que nos concepts habituels ne peuvent s’appliquer à la structure des atomes. Le point de départ qui s’impose pour l’interprétation physique du formalisme semble être, encore une fois, le fait que l’ensemble mathématique de la mécanique quantique se rapproche de la mécanique classique pour des dimensions qui sont grandes comparées à celles des atomes. (…) Même dans la limite des grandes dimensions, la corrélation entre symboles mathématiques, mesures et concepts ordinaires n’est aucunement à négliger. (…) En fait, je crois que le langage effectivement utilisé par les physiciens lorsqu’ils parlent des phénomènes atomiques équivaut à celle de « potentia ». (…) Certains physiciens ont fait des tentatives pour définir un autre langage précis qui suivrait des modes logiques définis en totale conformité avec le schéma mathématique de la théorie quantique. Le résultat de ces tentatives de Birkhoff et Neumann et, plus récemment, de Weizsächer, peut s’exprimer en disant que le formalisme mathématique de la théorie quantique peut s’exprimer comme une extension ou modification de la logique classique. Il existe en particulier un principe fondamental de logique classique qui semble avoir besoin d’être modifié : en logique classique, si une affirmation a le moindre sens, on suppose que soit elle soit sa négation qui doit être vraie. (…) En théorie quantique, il faut modifier cette loi du « tiers exclu ». (…) La modification possible du mode de logique classique s’appliquerait alors tout d’abord au niveau qui concerne les objets. (…) Dans les expériences sur les phénomènes atomiques, nous avons affaire à des choses et à des faits, à des phénomènes qui sont tout aussi réels que les phénomènes de la vie quotidienne. Mais les atomes ou les particules élémentaires ne sont pas aussi réels ; ils forment un monde de potentialités ou de possibilités plutôt qu’un monde de choses ou de faits. »
Les mathématiques partent d’axiomes, alors que les sciences partent des phénomènes considérés comme paradigmatiques, comme le pendule pour la périodicité ou le déplacement d’un véhicule pour la mécanique. Ce sont ces phénomènes qui sont modélisés en sciences. La démarche est très différente dès le départ. Les modèles des sciences sont souvent mathématisés ? Mais les mathématiques n’interviennent là qu’après la conceptualisation du paradigme scientifique en question.
La démarche mathématique est différente elle aussi. En mathématiques comme en sciences, on utilise des fonctions, mais les mathématiques pures n’ont pas à définir le statut des variables. Inversement, en sciences, le premier pas n’a pas encore été fait tant que le statut des paramètres et leur validité pour l’expérience n’ont pas été explicités.
Les mathématiques sont fondées sur le démontrable. Ce n’est pas le cas des sciences. Les mathématiques suivent des cheminements logiques. Ce n’est pas toujours le cas en sciences. Par exemple, la physique quantique, ça marche, ça colle avec l’expérience mais on ne sait pas pourquoi. Ce n’est pas toujours rigoureux. On a utilisé la méthode de renormalisation bien avant d’avoir la moindre explication des raisons de sa validité, raisons qui sont encore en discussion.
La validité des théories scientifique n’est pas nécessairement démontrable. Il existe extrêmement peu de faits absolument avérés dans les théories scientifiques. Bien sûr, l’indémontrable peut exister dans certains énoncés mathématiques. Mais, en sciences, c’est de démontrable qui est rare. Et même, la démonstration mathématique est-elle du même ordre de preuve que la démonstration scientifique ? Pas nécessairement. Il y a des énoncés scientifiques qui n’ont aucune traduction mathématique. Et même ceux qui s’expriment mathématiquement, et plus encore ceux qui sont fondés sur des calculs, ne se ramènent pas nécessairement à de simples calculs. En effet, on ne doit jamais oublier que les sciences portent sur des interactions donc sur des propriétés de la matière.
La matière ne peut être ramenée seulement à des nombres. Trois n’est pas identique à trois électrons ou trois molécules d’hydrogène. Trois ne possède qu’une propriété numérique, soit un plus un plus un. On ne peut rien dire dessus de plus que « trois ». Par contre, trois électrons ne sont pas seulement un électron plus un électron plus un électron. Ils possèdent des propriétés d’interactions entre électrons ainsi qu’avec le reste de l’environnement. De même trois planètes ou trois étoiles. Une conclusion mathématique peut être purement numérique mais pas une conclusion scientifique. On ne pourra jamais ramené la nature à un simple examen de nombres ou d’autres abstractions mathématiques, même si ces dernières sont d’une grande utilité. Il n’est pas dit que les grandeurs physiques soient de même nature que les nombres des mathématiques, qu’ils soient entiers, décimaux ou « réels ». En effet, les nombres mathématiques sont fixes, exactement déterminés, toujours identiques à eux-mêmes.
Les mesures physiques ne possèdent pas de telles propriétés. Une grandeur mathématique peut avoir une incertitude, une valeur approchée par exemple, mais pas d’incertitude fondamentale. Par contre, une mesure physique peut fondamentalement être incertaine. Il ne s’agit pas seulement d’approximations mais de phénomènes qui ne sont pas fondés sur le certain ou même de phénomènes qui sont fondés sur l’aléatoire. Comme le rapporte Ilya Prigogine dans « Les lois du chaos », « ce qui nous intéresse aujourd’hui, ce n’est pas nécessairement ce que nous pouvons prédire avec certitude. La physique classique s’intéressait avant tout aux horloges, la physique d’aujourd’hui plutôt aux nuages. » D’ailleurs, la notion de certitude de la logique formelle et mathématique n’est nécessairement pas identique à la notion de certitude dans l’étude des lois de la nature. La philosophie logique n’admet pas la contradiction, et accepte par contre le principe du tiers exclus. Ce n’est pas le cas en physique. L’exemple bien connu de la dualité onde/particule signifie qu’une particule possède à la fois des propriétés contradictoires.
La partie mathématisable d’un phénomène n’est pas la totalité de celui-ci. C’est plutôt sa part d’ordre mais il ne faut jamais omettre qu’il y a également une part de désordre sans laquelle ce phénomène serait déconnecté du reste de l’univers, ne pourrait pas changer d’état, la loi n’étant valable que pour un seul état. L’équation physique n’est jamais indépendante du reste de l’univers et ne peut jamais, contrairement à l’équation mathématique, être conçue comme une réponse isolée, une solution à un problème.
Les mathématiques partent du désincarné (le nombre, la variable, la courbe, la fonction…) et arrivent également au désincarné (propriétés de la fonction, de la courbe, de la moyenne, …). Elles passent parfois, en intermédiaire, par des faits réels qui étaient le choix des fonctions, des outils mathématiques (les matrices pour la physique quantique, l’espace à quatre dimensions pour la relativité,…). Inversement, les sciences partent des faits réels et concluent sur des jugements sur ces faits réels. Une conclusion purement mathématique en sciences n’aurait aucun sens. Les mathématiques n’y sont qu’un intermédiaire, un outil. Le calcul, même s’il joue un rôle essentiel de démonstration, n’est pas un élément de réalité et ne remplace pas la vérification réelle, ce dont les mathématiques se passent fort bien. On peut imaginer tous les outils mathématiques que l’on veut sans prouver qu’ils fonctionnent sur des objets réels. Ils ont seulement besoin de cohésion logique interne. Les outils physiques peuvent être acceptés par les scientifiques même s’il leur manque une cohésion logique, ce qui est le cas par exemple pour la physique quantique. Les sciences n’ont pas besoin de cohésion logique d’ensemble pour continuer d’avancer. Par exemple, les divers domaines des sciences ne sont pas cohérents comme la quantique et la relativité ou la microphysique et l’astrophysique.
Le statut des nombres n’est pas le même en mathématiques et en sciences. Le nombre est égal à lui-même en mathématiques mais il n’en va pas de même en sciences. Un c’est un. Une particule, cela peut être deux particules ou zéro particules. Le nombre de particules n’est pas un invariant de la physique quantique. Les créations et annihilations amènent ce type de situations invraisemblables dans le monde macroscopique. Pire, le nombre de particules dites « réelles » dépend de l’observateur et de son accélération. On ne raisonne plus sur un nombre d’objets. La mesure, elle aussi, n’est pas un nombre au sens mathématique. En effet, une mesure est influencée par d’autres mesures, corrélées, en physique quantique. On ne peut pas dire d’un paramètre qu’il vaut telle ou telle valeur. Le nombre fixe n’a donc pas cours et il ne peut s’agit non plus d’une évolution régulière d’une mesure du type d’une fonction. Il n’y a tout simplement pas une valeur attachée à la particule mesurée…
Et ce n’est pas seulement le cas en physique quantique. C’est la situation qui prévaut également à chaque fois que l’on passe du désordre à l’ordre. La fonction mathématique ne décrit que l’ordre d’un état mais pas le passage d’un état à un autre état. En sciences, il n’existe jamais un état qui ne peut pas passer à un autre état, qualitativement. Et cette dernière expression signifie justement que la description quantitative ne suffit pas.
La loi mathématique, c’est l’ordre. Bien sûr, à partir de ces lois mathématiques, on peut produire des descriptions du désordre comme celles du hasard, des « vols de Lévy », des lois du mouvement brownien, de la percolation, des lois du type de Mandelbrot, des lois du chaos déterministe… Mais elles consistent toujours à passer de l’ordre au désordre alors que la démarche de la science est toujours de montrer comment le désordre a pu produire un ordre. C’est ce que l’on constate dans l’ordre du cristal, dans l’apparition d’un magnétisme, la formation d’une étoile, d’un nuage, etc… Dans chacun de ces cas, les sciences montrent que l’ordre est issu du désordre. Les mathématiques savent modéliser les symétries mais elles ont beaucoup plus de mal à modéliser des symétries qui sont très légèrement brisées comme c’est le cas général en sciences.
Dans « L’évolution des idées en physique », Einstein et Infeld remarquaient : « Les ouvrages scientifiques sont remplis de formules mathématiques compliquées. Mais c’est la pensée, ce sont les idées qui sont à l’origine de toute théorie physique. »
Prouvez-moi que la science n’est pas qu’expérience, mesure et calcul et qu’elle est d’abord philosophie
https://www.matierevolution.fr/spip.php?article2282
Les mathématiques peuvent-elles trancher elles-mêmes sur la validité de leurs présupposés philosophiques ?
https://www.matierevolution.fr/spip.php?article2228
Quelle est cette fameuse réalité de la matière qui serait ou pas descriptible par les mathématiques ?
https://www.matierevolution.fr/spip.php?article2024
Les Mathématiques et la Physique
Etant donné que bien des textes qui suivent défendent l’idée de la convergence entre mathématiques et physique, de leurs interactions fructueuses, de leur interdépendance même, nous nous en tiendrons à souligner les divergences.
https://www.matierevolution.fr/spip.php?article4588
Mathématiques et réalité
https://www.matierevolution.fr/spip.php?article4071
Comprendre la Physique sans équations
https://www.matierevolution.fr/spip.php?article5223
Comprendre, simplement et sans équations, la Relativité d’Einstein
https://www.matierevolution.fr/spip.php?article4580
Comprendre les bases de la Physique Quantique sans connaissances mathématiques préalables
https://www.matierevolution.fr/spip.php?article5361
Les mathématiques obéissent-elles aux lois des contradictions dialectiques de la réalité ?
https://www.matierevolution.fr/spip.php?article2609
Le « Oui ou non » (exclusif) de la logique formelle (ou des mathématiques) est-il valable en Sciences ?
https://www.matierevolution.fr/spip.php?article6109
Aussi sûr que un plus un égale deux ? Les mathématiques sont-elles exemptes des paradoxes et contradictions de la physique ?
https://www.matierevolution.fr/spip.php?article2008
Pourquoi la physique quantique nous pose autant de problèmes philosophiques ?
https://www.matierevolution.fr/spip.php?article2265
La physique quantique nous condamne-t-elle à ne pas décrire du tout la réalité sous-jacente aux lois de la physique et à seulement calculer une probabilité ?
https://www.matierevolution.fr/spip.php?article3835
Physique quantique et philosophie
https://www.matierevolution.fr/spip.php?article1443
La science, ce sont seulement des faits ?
https://www.matierevolution.fr/spip.php?article3443
https://www.matierevolution.fr/spip.php?article2869
La physique qui n’est pas pure mathématique
https://www.matierevolution.fr/spip.php?article4482
Un outil principal et un objectif premier pour le physicien Einstein : la philosophie !!!
https://www.matierevolution.fr/spip.php?article1999
Albert Einstein : quelle révolution de la pensée en physique ?
https://www.matierevolution.fr/spip.php?article4050
Un seul monde, une seule science
https://www.matierevolution.fr/spip.php?article5
Qu’est-ce qui fait que la physique fondamentale contemporaine apparaît purement mathématique et plus conceptuelle ?
https://www.matierevolution.fr/spip.php?article1828
La philosophie des mathématiques et celle des sciences ne sont pas identiques.
https://www.matierevolution.fr/spip.php?article1134
https://www.matierevolution.fr/spip.php?breve253
Physique, matérialisme et dialectique
https://www.matierevolution.fr/spip.php?article2340
Physique et matérialisme dialectique
https://www.matierevolution.fr/spip.php?article659
La matière est elle-même intrinsèquement dialectique
https://www.matierevolution.fr/spip.php?article5017
La physique quantique a eu le grand mérite de détruire une image solidement ancrée et qui bloquait toute évolution conceptuelle de la compréhension du phénomène matériel. Tant que l’on voyait l’univers qui nous entoure comme des objets fixes se déplaçant dans un espace vide avec lequel ils n’interagissent pas, on ne risquait pas de saisir le caractère discontinu, fondé sur l’agitation permanente, non linéaire, émergent, sautant sans cesse d’un état à un autre, contradictoire au sens dialectique de l’univers matière/vide.
https://www.matierevolution.fr/spip.php?article2932
L’univers obéit-il à la loi des nombres ?
https://www.matierevolution.fr/spip.php?article3099
L’Univers, un calculateur géant ?
https://www.matierevolution.fr/spip.php?article3379
La physique n’est pas seulement un calcul mais une pensée, et même une pensée matérialiste dialectique
https://www.matierevolution.fr/spip.php?article4174
Qu’est-ce qu’un concept en Sciences ?