Matière et Révolution

La science est-elle toujours prédictive ?

Robert Paris — 2026-03-06T23:05:00Z

La science est-elle toujours prédictive ?

On nous annonce de multiples avancées de l'informatique prédictive comme la capacité des ordinateurs à prédire l'évolution des pandémies, leur capacité à prédire l'avenir du climat terrestre, leur capacité à prédire les maladies à venir d'une personne, leur capacité à prédire les bons investissements à venir, leur capacité à prédire les préférences individuelles d'une personne, leur capacité à prédire l'avenir du monde, leur capacité à prédire les difficultés de la planète, leur capacité à prédire des crimes, leur capacité à prédire les révolutions, leur capacité à prédire nos pensées, leur capacité à prédire les sujets de recherche et leurs résultats, leur capacité à prédire quand et comment nous allons vivre et mourir, et on en passe des meilleures… Dit comme cela, on dirait une arnaque mais ce sont des gens apparemment très sérieux, des équipes scientifiques, qui l'affirment.

Voir ici ce genre de projets scientifiques

Lire aussi

Pour bien des gens, la science n'est intéressante que si elle peut prédire des faits à venir. Parfois, c'est exact mais parfois c'est faux. La science vise à l'explication des faits matériels et pas nécessairement à leur prédiction car elle n'est pas toujours possible. Cette impossibilité ne provient pas des faiblesses de la science mais du fait que les actes matériels, qui sont fondés sur une agitation aléatoire, peuvent être prédictibles ou ne pas l'être.

Donnons en quelques exemples. Connaitre les propriétés d'un électron (ou de tout autre particule quantique) ne permet pas de savoir quelle va être ses positions à la suite de positions précédentes connues. Il en va de même dans le mouvement brownien ou dans tout mouvement moléculaire. Ces mouvements là sont imprédictibles alors que le mouvement du boulet de canon est prédictible. Mais le mouvement d'une plume dans l'air est imprédictible. D'une manière générale, est imprédictible ce qui est sensible à l'agitation de base du milieu sous-jacent.

Bien sûr, certains grand progrès scientifiques de la compréhension du monde ont été étayés par le fait que la théorie qui les fondait menait à une affirmation sur un fait nouveau non encore détecté. Ainsi, Dirac est le physicien qui a prédit l'existence du positon et de l'antimatière comme Einstein a prédit l'existence du photon, Yukawa l'existence du méson, Higgs l'existence du boson qui porte son nom, Gell-Mann l'existence du quark et des hypérons, Pauli l'existence du neutrino, Fermi et Weisskopf du muon, Lederman du neutrino muonique, Chadwick l'existence du neutron, etc. Et, à chaque fois, il s'agit véritable prédiction, avec proposition de propriétés caractéristiques de la particule imaginée par les théoriciens pour expliquer les phénomènes, puis vérification par des expériences qu'on la trouve bel et bien aux niveaux d'énergie prévus.

On peut citer d'autres prédictions qui ont marché : Thalès a prédit une éclipse, Galilée a prédit la trajectoire du boulet, Newton a prédit le retour de la comète de Halley, Einstein a prédit la courbure des rayons lumineux par le Soleil et les ondes gravitationnelles, Mendeleïev a prédit, par sa classification des éléments, l'existence de plusieurs éléments chimiques et leurs propriétés alors qu'ils n'étaient pas connus …

Par contre, dans la plupart des domaines des sciences, on trouve des conjectures qui sont difficilement prédictibles ou imprédictibles.

Personne ne peut prédire de manière exacte :

– où et quand la foudre va tomber

– quand et comment sera l'orage

– où et quand un volcan va entrer en éruption

– quelle est la forme et l'avenir d'un nuage
– quelles évolutions futures des espèces vivantes

– quels séismes à venir et quand ?

– comment un objet va être fracturé après un choc

– quelle va être le climat dans les années à venir

– quelle sera la trajectoire à moyen terme d'un double pendule (un pendule attaché à un autre pendule)

– quel est l'avenir de l'écoulement turbulent d'un fluide

– quelle est l'évolution d'un feu de forêt et même d'un simple feu de bois dans une cheminée

– quelle est la trajectoire d'une plume ou d'une feuille qui tombe

– quel est le mouvement d'une molécule

– quelle est la position et la vitesse d'une particule ou d'un objet quantique

– quelle sera la forme d'un arbre

Etc, etc…

Pourtant, toutes les questions précédentes reposent sur des phénomènes déterministes dont les lois sont connues. Mais ces lois ont des caractéristiques (comme la sensibilité aux conditions initiales du chaos déterministe) qui ne permettent pas la prédictibilité.

Vous pouvez vous dire : d'accord pour le moment on ne dispose pas de modèles suffisants pour prédire mieux mais on s'améliore et on va bientôt y parvenir. C'est faux. On ne cesse de mieux comprendre oui mais on ne peut pas prédire. La limite de prédictibilité n'est pas due à un manque de connaissances mais à la nature même du phénomène.

Quiconque a déjà utilisé n'importe quel dispositif expérimental sait parfaitement que l'on ne peut pas prédire absolument le résultat qui va être mesuré. Il y a toujours des écarts, des cas où le résultat sort des clous, où l'expérience ne donne pas ce qui était prévu. Il y a toujours des valeurs mesurées à écarter, que cela s'explique ou pas…

Le phénomène physique, le plus simple qui soit, ne peut pas être complètement prédictible.

On peut prédire qu'un vase heurté avec force va se casser, on peut parfois deviner quelques caractéristiques des morceaux mais c'est tout. Le reste est considéré comme dépendant du hasard…

Philosophie du chaos déterministe

Robert Paris — 2024-04-13T22:24:00Z

Philosophie du chaos déterministe

David Ruelle expose

https://www.canal-u.tv/chaines/utls/des-particules-a-l-antimatiere-la-matiere-et-son-organisation/chaos-impredictibilite

Eric Bois expose

https://academiesciencesmoralesetpolitiques.fr/wp-content/uploads/2019/01/bois.pdf

Le déterminisme du hasard

https://www.erudit.org/fr/revues/ltp/2005-v61-n3-ltp1093/012577ar/

Le CNRS expose

https://www.inshs.cnrs.fr/fr/cnrsinfo/sur-la-philosophie-du-chaos-ou-pourquoi-expliquer-nest-pas-predire

Chaos déterministe et Philosophie de l'imprédictibilité

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article6550

Qu'est-ce que le Chaos déterministe

http://www.matierevolution.fr/spip.php?mot59

Lire encore sur notre site

https://www.google.fr/search?hl=fr&q=chaos+d%C3%A9terministe+site%3Ahttp%3A%2F%2Fwww.matierevolution.fr+OR+site%3Ahttp%3A%2F%2Fwww.matierevolution.org&btnG=Recherche&meta=&gws_rd=ssl

Lire toujours sur notre site

https://www.matierevolution.fr/spip.php?page=recherche&recherche=chaos+d%C3%A9terministe

Exposé universitaire

https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~ruette/vulgarisation/vulgarisation.html

Chaos et déterminisme dans les sciences de la nature

https://www.radiofrance.fr/franceculture/podcasts/la-fabrique-de-l-humain/chaos-et-determinisme-dans-les-sciences-de-la-nature-7106417

Déterminisme, hasard, chaos, liberté.

https://www.lajauneetlarouge.com/determinisme-hasard-chaos-liberte/

Le chaos déterministe constitue-t-il l'une des sept grandes révolutions de la Physique

Robert Paris — 2023-03-11T23:05:00Z

Le chaos déterministe constitue-t-il l'une des sept grandes révolutions de la Physique, avec notamment la physique quantique et la relativité ?

Les sept plus grandes révolutions de la Physique sont :

La méthode scientifique en physique, de Ibn Al Haytham à Bacon et Galilée

L'électromagnétisme, de Maxwell à Feynman ;

La gravitation, de Newton à Einstein ;

L'atomisme, de Dalton à Perrin et Einstein ;

L'entropie, de Boltzmann à Prigogine ;

La physique quantique, de Planck-Einstein à De Broglie, Heisenberg, Schrödinger, Pauli, Dirac et Feynman ;

Le chaos déterministe, de Poincaré à Lorentz, Feigenbaum et Kolmogorov ;

Le vide quantique, de Casimir à Diner et Gunzig ;

Les grandes révolutions scientifiques du XXe siècle :

https://excerpts.numilog.com/books/9782705916800.pdf

Lire en français :

https://www.google.fr/search?hl=fr&q=chaos+d%C3%A9terministe+r%C3%A9volution+site%3Ahttp%3A%2F%2Fwww.matierevolution.fr+OR+site%3Ahttp%3A%2F%2Fwww.matierevolution.org&btnG=Recherche&meta=&gws_rd=ssl

Lire encore :

http://www.matierevolution.fr/spip.php?rubrique14

Lire en anglais :

James Gleick Le chaos déterministe

https://web.archive.org/web/20210119024352/http://around.com/chaos-2/

Encore James Gleick Le chaos déterministe

https://archive.org/details/chaos-james-gleick/page/n127/mode/2up

Le chaos déterministe

https://archive.org/search.php?query=deterministic+chaos

https://www.google.fr/books/edition/Deterministic_Chaos/-14Y2WPfYgsC?hl=fr&gbpv=1&dq=Deterministic+Chaos&printsec=frontcover

https://www.google.fr/books/edition/Deterministic_Chaos/ybVBPKHLjNkC?hl=fr&gbpv=1&dq=Deterministic+Chaos&printsec=frontcover

https://www.google.fr/books/edition/Chaos_Dynamics_and_Fractals/ov0RHBAbtIgC?hl=fr&gbpv=1&dq=Deterministic+Chaos&printsec=frontcover

Une lecture de « La théorie du chaos » de James Gleick

https://edelo.net/blog/?p=5622

https://edelo.net/blog/?p=5623

https://edelo.net/blog/?p=5624

https://edelo.net/blog/?p=5625

https://edelo.net/blog/?p=5627

https://edelo.net/blog/?p=5628

https://edelo.net/blog/?p=5629

https://edelo.net/blog/?p=5619

Fiche de lecture https://www.edelo.net/chaos/sommaire.htm

Chap 1 https://www.edelo.net/chaos/chap1.htm

Chap 2 https://www.edelo.net/chaos/chap2.htm

Chap 3 : https://www.edelo.net/chaos/chap3.htm

Chap 4 : https://www.edelo.net/chaos/chap4.htm

Chap 5 : https://www.edelo.net/chaos/chap5.htm

Conclusion : https://www.edelo.net/chaos/conclusion.htm

Compléments : https://www.edelo.net/chaos/complement.htm

Glossaire : https://www.edelo.net/chaos/glossaire.htm

Sommaire : https://www.edelo.net/chaos/livre.htm

Bibliographie : https://www.edelo.net/chaos/biblio.htm

Lire encore :

https://scienceetonnante.com/2018/02/16/theorie-du-chaos-et-effet-papillon/

https://www.cairn.info/histoire-de-la-physique-moderne--9782707122544-page-218.htm

http://perso.ens-lyon.fr/ghys/articles/lorenzparadigme.pdf

https://www.revistadefilosofia.org/35-04.pdf

https://www.science-climat-energie.be/2019/10/22/la-science-classique-sarrete-ou-commence-le-chaos/

http://www.cax.free.fr/chaos/chaos.html

https://journals.openedition.org/trans/267

https://www.researchgate.net/publication/280832025_Le_Chaos_et_sa_Pretendue_Theorie

http://images.math.cnrs.fr/Sculptures-du-chaos.html

https://whatis.techtarget.com/fr/definition/theorie-du-chaos

Chaos déterministe et Philosophie de l'imprédictibilité

Robert Paris — 2022-06-13T22:05:00Z

Notre point de vue sur ce thème

Chaos déterministe et Philosophie de l'imprédictibilité

« Entre le temps et l'éternité » d'Ilya Prigogine et Isabelle Stengers

« Les comportements dynamiques chaotiques permettent de construire ce pont, que Boltzmann n'avait pu créer, entre la dynamique et le monde des processus irréversibles. La nouvelle représentation de l'objet dynamique, non locale et à symétrie temporelle brisée, n'est pas une description approximative, plus pauvre que la représentation classique. Elle définit au contraire cette représentation classique comme relative à un cas particulier. (…) Nous savons aujourd'hui que ces derniers (les systèmes non-chaotiques), qui dominèrent si longtemps l'imagination des physiciens, forment en fait une classe très particulière. (…) C'est en 1892, avec la découverte d'un théorème fondamental par Poincaré (la loi des trois corps), que se brisa l'image homogène du comportement dynamique : la plupart des systèmes dynamiques, à commencer par le simple système « à trois corps » ne sont pas intégrables. »

Pierre Bergé, Yves Pomeau et Monique Dubois-Gance dans « Des rythmes au chaos » :

« Le souci a été de comprendre pourquoi des systèmes simples et déterministes pouvaient présenter une suite erratique d'états. (...) Le chaos n'est pas un produit ou un matériau dont la technologie pourrait s'emparer pour créer de nouveaux appareils commercialisables (...) Le chaos est avant tout un concept, on pourrait presque dire une « philosophie » des comportements dynamiques. Le chaos déterministe est à la frontière entre l'ordre et le désordre (...) Il est probable que dans ce sens, le chaos représente un mécanisme important d'adaptation et qu'il intervient largement dans le monde du vivant. »

John Barrow dans « La grande théorie » :

« Une brisure de symétrie particulière, connue sous le vocable « chaos », présente de nos jours un intérêt bien plus considérable que prévu. L'évolution des phénomènes chaotiques montre une extrême sensibilité à l'état initial. La plus légère modification de l'état de départ conduit à d'énormes différences dans les états ultérieurs. La majorité des phénomènes compliqués et désordonnés, comme la turbulence ou le climat, possèdent cette propriété. L'importance d'un tel comportement fut reconnue pour la première fois par James Clerk Maxwell dans la seconde moitié du 19ème siècle. Invité à donner une conférence sur le libre arbitre dans son collège de Cambridge, il attira l'attention de ses collègues sur les systèmes dans lesquels une infime incertitude sur leur état présent nous empêche de prédire avec certitude leur état ultérieur. Les équations déterministes ne pourraient s'appliquer que si nous connaissions l'état initial avec une parfaite précision (ce qui ne se peut) : « Il va de soi que l'existence de conditions instables rend impossible la prédiction des événements futurs, si notre connaissance des événements présents n'est qu'approximative et non précise. (...) Que les mêmes antécédents donnent lieu aux mêmes conséquences est une doctrine métaphysique. Personne ne peut le démentir. Mais cela ne sert pas à grand-chose dans un monde comme celui-ci, dans lequel les mêmes antécédents ne se reproduisent jamais, et rien ne se déroule deux fois (...) » John Barrow explique ensuite comment une science des phénomènes chaotiques est issue de ces réflexions, science qui est fort différente de la science habituelle. Le chaos déterministe obéit à des lois, dites non linéaires [1], dans lesquelles le moindre changement d'un des paramètres modifie complètement l'allure des résultats. Connaître la formulation très précise de la loi est impossible. Il faut donc analyser l'ensemble de toutes les lois du même type et en tirer une vision d'ensemble des évolutions possibles. C'est une nouvelle philosophie de la science : « Ces études des équations en général plutôt que des équations en particulier nous ont révélé que le comportement chaotique est la règle plutôt que l'exception. (...) Les phénomènes linéaires, prédictibles et simples, (...) sont les plus faciles à comprendre. (...) Nous pouvons analyser les phénomènes linéaires par parties. Le tout n'est rien d'autre que la somme de ses parties. (...) Les systèmes chaotiques non linéaires diffèrent des précédents. Ils requièrent une connaissance de l'ensemble afin de comprendre les parties parce que le tout est bien plus que simplement la somme des parties. »

Pour Peter Saltzstein, la théorie du chaos donne comme résultat philosophique inattendu : l'imprédictibilité de l'avenir

« L'avenir n'est plus ce qu'il était. Cela veux dire qu'une implication intrigante de la branche des mathématiques appelée « théorie du chaos » indique que les états futurs de systèmes dynamiques complexes, tels que la météo, le cerveau humain, le marché boursier, l'évolution et l'histoire elle-même, ne sont pas ce que nous pensions autrefois qu'ils étaient. Plus précisément, la théorie du chaos suggère que le comportement des systèmes complexes peut suivre des lois et que, pourtant, leurs états futurs restent en principe « imprévisibles ». Le comportement des systèmes complexes est extrêmement sensible aux conditions, de sorte que de petits changements au départ peuvent entraîner des changements de plus en plus importants au fil du temps. Par conséquent, la théorie du chaos implique que l'avenir n'est pas prévisible sur la base d'événements passés, comme on le pensait auparavant. Ou dans des mots qui ont été attribués à la fois au physicien Niels Bohr et au manager de baseball Yogi Berra, « La prédiction est très difficile, en particulier pour l'avenir. »

Dans cette veine, nous devrions également prendre un moment pour considérer la sagesse du comédien et philosophe extraordinaire George Carlin : « Personne ne sait ce qu'il faut faire ensuite, mais tout le monde le fait. » C'est aussi important qu'amusant car cela nous rappelle que l'avenir n'est pas indépendant de nous, suivant une ligne droite du passé, mais est constitué par ce que nous, tout le monde et tout le reste fait, dans un mélange type méli-mélo d'actions humaines et d'événements biologiques et physiques qui se répercutent les uns sur les autres. Notre réalité vécue est une réalité dans laquelle les effets qui existent fugitivement sont en train de devenir des causes. Qu'il y ait un « après » est inévitable, mais ce qui vient en fait ensuite n'est pas prévisible, selon la théorie du chaos.

Le Chaos à l'oeuvre

Les simulations informatiques montrent que les systèmes complexes sont extrêmement sensibles aux conditions initiales : c'est « exactement » là où vous commencez qui détermine manifestement comment le système se déroulera. C'est ce que le mathématicien et météorologue Edward Lorenz a découvert lors d'exécutions répétées d'une simulation météorologique par ordinateur, dans laquelle les points de départ du programme ne variaient que par de minuscules différences décimales, et pourtant les conséquences pour les résultats météorologiques étaient dramatiques. Dans un article universitaire de 1972, il appela cela l'« effet papillon », affirmant que le battement d'ailes d'un papillon à un endroit pouvait potentiellement affecter les conditions météorologiques à d'autres endroits lointains.

Les conditions initiales d'un système complexe ne peuvent jamais être déterminées avec suffisamment de précision pour faire des prédictions précises sur son comportement ultérieur. Les mesures ne peuvent en principe jamais être assez précises. Comparez la situation à une droite numérique. Imaginez prendre même les sondes les plus pointues et les utiliser pour localiser un endroit sur la ligne. Étant donné que la droite numérique est continue, et qu'il n'y a pas d'endroit sur la ligne qui ne soit plus divisible en nombres de plus en plus fins, la zone identifiée sur la droite numérique refléterait la taille de la sonde et non un point discret. De même, la détermination des conditions initiales d'un système complexe naturel dépendra toujours de la précision des instruments de mesure utilisés, et ils ne peuvent jamais être assez précis pour une précision absolue.On peut se demander si le comportement d'un système complexe pourrait en effet être si sensible qu'il dépendrait du comportement d'une seule particule subatomique. Considérons le mouvement brownien. En 1905, Albert Einstein montra que le mouvement apparemment aléatoire des grains de pollen en suspension dans l'eau pouvait être expliqué par des collisions avec des molécules d'eau individuelles. Cependant, alors que les mouvements des particules sont soumis aux lois du mouvement de Newton, et donc en principe déterministes, les forces agissant sur elles ne peuvent jamais être mesurées avec précision, et donc leurs trajectoires ne peuvent pas être prédites avec précision.

Bien sûr, dans la plupart des cas, les approximations sont assez bonnes. La température, par exemple, est une bonne approximation de l'énergie des molécules de l'air ambiant. Alors, quand il fait 75 degrés dehors, je sais que je n'aurai pas besoin de veste (sauf s'il pleut). Mais la température de l'air est une moyenne sur la variété d'énergies des molécules d'air environnantes, et bien que la moyenne soit tout ce dont j'ai besoin pour déterminer si je dois porter une veste, les moyennes peuvent masquer les différences dans les mouvements des molécules individuelles qui pourraient être importantes dans le comportement d'un système chaotique tel que la météo.

Pour compliquer davantage la situation, à mesure qu'un système complexe évolue au fil du temps, chaque itération du système - chacun des cycles ou sorties du système - fournit une nouvelle condition qui se réinjecte dans le système. C'est ce que JA Scott Kelso dans « Dynamic Patterns » (1995) appelle la « causalité circulaire ». Nous commençons seulement maintenant à voir que de nombreux processus naturels importants, tels que ceux impliqués dans le changement climatique, ne se déroulent pas de manière linéaire, mais se replient sur eux-mêmes, amplifiant ou atténuant leurs propres effets et se réorientant. Chaque nouvelle itération définit le contexte de l'itération suivante. De nouveaux phénomènes peuvent être ainsi créés.

Une bonne illustration de la causalité circulaire est donnée dans le récit de Iain McGilchrist sur le cerveau en tant que système complexe :

« Des événements n'importe où dans le cerveau sont liés à d'autres régions et peuvent avoir des conséquences sur celles-ci, qui peuvent réagir, se propager, améliorer ou développer cet événement initial, ou bien le corriger d'une manière ou d'une autre, l'inhiber ou s'efforcer de rétablir l'équilibre. Il n'y a pas de morceaux, seulement des réseaux, un éventail presque infini de chemins » ( « Le Maître et son émissaire », 2010).

En effet, les interactions entre les parties d'un système complexe peuvent se produire à différents niveaux au sein du système, créant des relations multi-niveaux très sensibles les unes aux autres. Considérez le récit d'Enrico Coen sur le système respiratoire humain :

« Notre capacité à respirer dépend de l'interaction entre notre système nerveux, nos muscles, notre squelette et nos poumons. La fonction de nos poumons dépend de la composition du mucus qui tapisse ses parois. La composition du mucus dépend des protéines qui transportent les ions chlorure chargés négativement. Des changements dans un seul élément du système intégré peuvent avoir des conséquences désastreuses. Les patients atteints de mucoviscidose ont des difficultés à respirer car ils sont porteurs d'une mutation du gène nécessaire au transport du chlorure. Il suffit d'un changement sur les trois milliards de paires de bases de notre génome pour provoquer la maladie. Le fonctionnement de chaque individu dépend de l'intégration de nombreuses composantes différentes » (« Cells to Civilization » , 2012).

La mort imprévue de la prévisibilité

Pourquoi sommes-nous tentés de penser que nous nous dirigeons vers un avenir défini ? Permettez-moi de suggérer que nous en sommes tentés parce que les choses autour de nous ne sont pas aléatoires mais ont un motif régulier. Le jour succède à la nuit ; une saison suit une autre ; un objet au repos a tendance à rester au repos et un objet en mouvement a tendance à rester en mouvement. Notre monde a ce que le mathématicien John Casti, dans son livre « Complexification » (1994) appelle « la stabilité structurelle » – une stabilité qui rend la vie sur cette planète possible et qui confère un bon degré de prévisibilité. Plus précisément, nous avons découvert que pour qu'une chose se produise, quelque chose d'autre doit se produire avant elle dans une chaîne d'événements. Il s'agit d'une cause à effet standard. Il est donc tentant de voir une fatalité au cours des événements. En philosophie, ce point de vue est connu sous le nom de « déterminisme » : nous ne connaissons peut-être pas l'avenir, mais l'avenir suivra néanmoins au même rythme comme le résultat d'une chaîne d'événements, une chose entraînant mécaniquement une autre chose. Après tout, quelques minutes après avoir mis du pain dans un grille-pain et allumé le grille-pain, je peux prédire avec certitude que j'aurai bientôt de bons toasts chauds.

Les lois du mouvement de Newton représentent un triomphe dans la prédiction du futur basée sur le passé. La perspective newtonienne considère le monde comme un système compliqué comme une machine. Plus précisément, le paradigme est une horloge. Les lois de Newton peuvent être utilisées pour faire des prédictions impressionnantes. Ils nous ont emmenés sur la Lune, après tout.

Il n'est pas surprenant que pendant une grande partie de l'histoire humaine, les régularités observées aient fait croire aux gens que le monde était le résultat d'un concepteur intelligent, et que lui, elle ou lui organisait le monde d'une manière significative et préordonnait le destin de tout à partir d'un acte initial de la création divine. Après tout, raisonnait-on, si nous vivons dans un univers d'horlogerie, il semblerait qu'il faille l'existence d'un horloger. Même aujourd'hui, la science a tendance à partir du principe qu'avec des recherches plus approfondies, des mesures plus précises et des mathématiques plus puissantes, des modèles réguliers et prévisibles seront découverts dans les domaines où la régularité et la prévisibilité ne sont pas encore évidentes. En effet, comme le note le Dr David Kernick, dans le passé, la science a souvent considéré les limitations prédictives « comme des insuffisances de données ou de traitement, des omissions, un biais ou un caractère aléatoire » (« Complexité et Organisations de Santé », 2004).

Einstein a dit en plaisantant : " Dieu ne joue pas aux dés avec l'univers ". Cependant, les électrons, semble-t-il, n'ont jamais rencontré le Dieu non-jeu d'Einstein, car, comme toutes les particules subatomiques, les électrons semblent pouvoir parcourir tous les chemins possibles entre ici et là, et il semble tout à fait aléatoire où ils finissent. Le chemin d'un électron est mieux compris comme une question de probabilité, et non de certitude déterministe. Les particules subatomiques, semble-t-il, jouent en effet aux dés, dans le casino très actif, au niveau microscopique de la réalité. C'est le premier élément d'imprévisibilité absolue pour gâcher notre confiance dans le monde étant un mécanisme prévisible.

Une conséquence philosophique intéressante de la théorie du chaos est qu'elle crée une deuxième fissure dans la notion d'un univers régulier et prévisible, mais maintenant au niveau de notre expérience quotidienne. Dans le passé, nous nous attendions à ce que la causalité entraîne la répétabilité et que la répétabilité entraîne la prévisibilité. Mais la théorie du chaos nous dit que puisque les systèmes dynamiques complexes sont extrêmement sensibles aux conditions initiales, toute tentative d'exécution répétée d'un tel système sera bloquée s'il y a même la plus petite différence dans les conditions de départ du système. Ainsi, même si une chose en suit une autre, cela ne signifie pas que le résultat sera le même, même si le futur est déterminé par le passé.

L'histoire est un mystère

Nous ne pouvons plus non plus considérer l'histoire comme simplement « un fait après l'autre », comme Henry Ford est réputé l'avoir appelé. Que le développement de systèmes complexes dépende de la sensibilité à leurs conditions initiales signifie que l'histoire n'est peut-être pas mieux connue que l'avenir. Puisque les événements passés sont eux-mêmes le résultat d'un comportement chaotique, leur succession va être tout aussi difficile à reconstruire que l'avenir l'est à construire. Comme le dit le poète Paul Valéry : « la difficulté de reconstruire le passé, même le passé récent, est tout à fait comparable à celle de construire le futur, même le futur proche ; ou plutôt, ce sont la même difficulté. Le prophète est dans le même bateau que l'historien » (« Crisis of the Mind », First Letter, 1919).

Non seulement le cours de l'histoire est difficile à reconstruire, mais sa complexité rend les raisonnements hypothético-déductifs – ou dans le langage courant, les « et si… » – encore plus difficiles à spéculer. Les historiens, les philosophes et nous, les gens ordinaires, nous demandons : « Et si tel ou tel était arrivé à la place ? » Prenez le scénario contrefactuel : « Et si JFK n'avait pas été tué ? » Certains historiens prétendent que le président Kennedy était très réticent à engager plus que des conseillers au Sud-Vietnam au début des années 1960. S'il avait vécu et décidé que les troupes américaines ne seraient pas utilisées dans une guerre au Vietnam, la guerre du Vietnam aurait-elle pu être évitée ? Et supposons que Kennedy ait gardé les États-Unis hors de la guerre, quels autres événements en auraient résulté ? Comment pourrait-on dire ? On ne sait même pas quelle combinaison d'événements aurait été nécessaire pour qu'il ait vécu, sans parler de leur probabilité de se produire. Il est trop facile de suggérer que tout ce qu'il avait à faire était d'éviter la condition initiale d'être à Dallas en ce jour fatidique. Pour ce qui aurait été impliqué dans le fait d'éviter Dallas alors ; et quelles auraient été les conséquences pour l'histoire qui a suivi de ce seul changement du cours des événements ? De plus, même si Kennedy n'avait pas été tué, toute la politique qu'il aurait pu essayer d'adopter envers le Vietnam aurait été soumise à de fortes forces compensatoires, telles que sa réélection ; s'il pouvait compter sur l'appui de son propre parti ; les intérêts du complexe militaro-industriel ; les inquiétudes concernant la propagation du communisme ; et le rôle clandestin de l'administration Kennedy et de la CIA qui a consisté d'abord à soutenir puis à renverser le leader sud-vietnamien Ngo Dinh Diem ; et ceci pour ne citer que quelques considérations qui auraient pu jouer un rôle dans la survenue de la guerre du Vietnam. En effet, le rôle du président Kennedy et de ses conseillers dans le soutien du coup d'État de 1963 qui a renversé Diem a été crédité par l'historien et analyste de la sécurité nationale John Prados d'avoir rendu l'Amérique responsable de l'avenir du Vietnam.

Pour en revenir à l'image plus large de la vie elle-même, le fait que les systèmes chaotiques soient extrêmement sensibles aux conditions initiales suggère une certaine créativité dans la nature, puisqu'une telle sensibilité rend possible une sorte de « coudées franches », offrant un espace pour que des résultats des processus naturels soient uniques, au sens de non répétable dans le détail. Le regretté paléontologue Stephen Jay Gould a soutenu que la contingence historique dans ce sens joue un rôle aussi important dans l'évolution que la sélection naturelle. Dans « Wonderful Life » (1990), il a déclaré que si nous pouvions ramener l'évolution sur Terre à ses débuts et redémarrer le processus avec des conditions initiales légèrement différentes, les organismes de notre planète seraient radicalement différents.

La contingence historique peut aussi jouer un rôle dans les lois mêmes de la nature. Dans son livre « Time Reborn » (2013), le physicien Lee Smolin soutient que les lois de la nature elles-mêmes « émergent de l'intérieur de l'univers et évoluent dans le temps avec l'univers qu'elles décrivent ». Il cite favorablement les célèbres physiciens quantiques Paul Dirac et Richard Feynman sur ce point. Dirac note qu'« Au début des temps, les lois de la Nature étaient probablement très différentes de ce qu'elles sont aujourd'hui. Ainsi, nous devrions considérer les lois de la Nature comme changeant continuellement avec l'époque, au lieu de se maintenir uniformément dans tout l'espace-temps. » Et Feynman observe que « Le seul domaine qui n'a admis aucune question évolutionniste est la physique. Voici les lois, disons-nous… mais comment sont-elles arrivées ainsi, avec le temps ?… Donc, il se pourrait qu'elles ne soient pas toujours les mêmes [lois] et qu'il y ait une question historique, évolutive. L'univers pourrait être un système chaotique en évolution, jusque dans ses lois. »

Chaos cosmique

Dans son étude sur les racines sociales des fusillades dans les écoles, « Rampage » (2005), Katherine Newman prévient que « lorsque nous sommes incapables d'expliquer quelque chose [comme les fusillades dans les écoles], nous recherchons la cause la plus proche ou la plus immédiate » plutôt que de chercher à comprendre le réseau plus complexe de facteurs causaux impliqués. Cependant, la théorie du chaos indique clairement que le comportement d'un système complexe ne peut pas être compris en examinant uniquement les causes immédiates du comportement ; il faut comprendre le système.

En fait, leur extrême sensibilité aux conditions initiales signifie que les systèmes complexes ne sont pas isolables mais sont connectés à tout ce qui se passe. Cela rend l'établissement de frontières définitives entre des systèmes dynamiques complexes individuels non simplement arbitraires, mais peut-être fictionnelle. Il semblerait donc que, dans la recherche de la condition initiale déterminante d'un système complexe, il faudrait commencer par la création du temps lui-même, car le Big Bang représente le point discret dans lequel toute la matière et l'énergie de l'univers était comprimées. La théorie du chaos soutient qu'à partir de ce moment, les plus petits changements d'événements entraîneraient de grandes différences dans les états futurs des galaxies. (Comme le montre clairement la théorie de la relativité d'Einstein, les grandes masses façonnent l'espace et le temps, et sont à leur tour dirigées dans leurs trajectoires orbitales par les distorsions dans le temps et dans l'espace que créent leurs masses. Nous aurions donc besoin d'ajouter la contribution causale que les galaxies ont sur le développement de l'autre - un très grand cercle de causalité.)

En effet, à mesure que nous réfléchissons plus profondément aux limites de la nature, nous constatons que ces bornes sont artificielles. Bien que nous ayons tendance à réduire les systèmes à leurs éléments constitutifs, il y a de bonnes raisons de croire que les éléments constitutifs ne sont pas les unités pertinentes pour la nature elle-même, que ce soit au niveau microscopique ou macroscopique. La nature elle-même semble concerner plutôt les interactions (et leurs modèles) entre les parties. Bohr, Heisenberg et les autres pionniers de la physique quantique ont montré que cela était vrai au niveau subatomique, puisque les observations que nous faisons des phénomènes quantiques doivent prendre en compte l'observateur comme partie intégrante des résultats obtenus. Au niveau macroscopique, Einstein a montré que le temps lui-même est relatif à son cadre de référence. Peut-être, alors, que les phénomènes au niveau macroscopique sont aussi en fin de compte connectés dans leur ensemble. Dans leur récent livre « Heart of Darkness » (2013), Jeremiah Ostriker et Simon Mitton résument, avec consternation, une conclusion de Steven Hawking et Richard Ellis : « Les lois physiques locales sont déterminées par la structure à grande échelle de l'univers. Cela signifie que la cosmologie doit être comprise, non pas comme une réflexion après coup divertissante, mais comme le fondement de la physique de laboratoire, qui est une pensée troublante. »

Déstabilisant pour Ostriker et Mitton – mais excellent pour le fil de mon argumentation, car il soutient l'idée que des événements apparemment simplement locaux peuvent ne pas être séparables des événements plus importants du cosmos.

Pour pousser cet argument un peu plus loin, il est prouvé que le comportement des particules subatomiques peut être instantanément connecté à des distances illimitées - un phénomène connu sous le nom d'« intrication quantique non locale ». Ce phénomène défie les notions du bon sens selon laquelle la séparation dans l'espace et le temps rend les événements indépendants les uns des autres. Einstein a décrit avec dédain ce soi-disant enchevêtrement comme « des actions effrayantes à distance ». Alors que de nombreux non-scientifiques ont instantanément tiré des conclusions sur ce que signifie la non-localité et comment elle peut être utilisée - tout ce qui vient de « Star Trek » - comme la téléportation à la spéculation sur un univers conscient - nous pourrions au moins convenir de manière responsable que l'enchevêtrement des particules soulève la question de savoir dans quelle mesure les événements peuvent être considérés comme des occurrences indépendantes, ou plutôt devraient être considérés comme les éléments constitutifs d'un tout.

Conscience Quantique

Enfin, que penser de l'interprétation de Copenhague de la physique quantique ? Selon l'interprétation de Copenhague, notre choix même du comportement atomique à observer détermine ce qui existe. Comme Pascual Jordan, l'un des fondateurs de la théorie quantique, le dit succinctement : « Les observations ne perturbent pas seulement ce qui est mesuré, elles le produisent. » Sur cette interprétation, une frontière nette ne semble pas exister entre les observateurs et l'observé, entre la conscience et les phénomènes atomiques mesurés. Cette conclusion dérangeait Einstein plus que même le comportement aléatoire des atomes, car elle remettait en cause l'existence d'une réalité physique en dehors de l'observateur. Pour reprendre les mots du physicien John Wheeler : « Aussi utile qu'il soit dans les circonstances de tous les jours de dire que le monde existe « là-bas » indépendamment de nous, ce point de vue ne peut plus être défendu. Il y a un sens étrange dans lequel il s'agit d'un « univers participatif ».

Tout cela soulève une question des plus intéressantes : devons-nous repenser nos notions non seulement de l'avenir, mais de qui nous sommes ? Dans la mesure où nous nous identifions à notre conscience, cela semble signifier que chacun de nous est plus intimement lié au monde que nous ne l'imaginons ordinairement. Mais comme d'autres systèmes dynamiques complexes, ce que nous sommes est illimité, même si nous pouvons être distingués d'autres choses à de nombreuses fins, telles que la mort, les impôts et le mariage. Que nous considérions notre connexion à l'univers dans son ensemble comme métaphysiquement fantasmagorique dépend de si (comme dans l'histoire des moines aveugles) nous caractérisons l'éléphant en ressentant ses parties individuelles ; ou au contraire, nous voyons que les parties sont apparues en relation les unes avec les autres et avec l'environnement dans son ensemble, et nous pouvons ainsi identifier le tout.

De toute évidence, la théorie du chaos a mis au jour de puissants processus naturels que nous commençons seulement à comprendre. Alors, que conclure sur l'avenir ? Compte tenu de l'affirmation de la théorie du chaos selon laquelle les systèmes complexes agissent de manière déterministe mais ne sont donc pas prévisibles, nous pouvons dire que les devins et tous ces experts sont surpayés ! Mais pour être sérieux, il y a un sens dans lequel l'avenir est ouvert. Étant donné que les systèmes complexes sont extrêmement sensibles aux conditions initiales, à la rétroaction circulaire et aux interactions avec d'autres systèmes complexes, ce qui va se passer dans le monde semble dépendre de la façon dont tous les systèmes complexes du monde se comportent à chaque instant. L'avenir est donc auto-organisé, mais sans fin, but ou plan particulier.

Un étudiant sur le point de mener une expérience scientifique a demandé un jour à son professeur : « Qu'est-ce qui est censé se passer dans cette expérience ? » en attendant, comme le font les élèves, une réponse prédéterminée. Le sage professeur a répondu : « Ce qui est censé arriver, c'est ce qui arrive. » Sonne comme un bon compte de l'avenir pour moi.

Pr Peter Saltzstein 2016

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Déterminisme, hasard, chaos, liberté

Robert Paris — 2022-04-24T22:05:00Z

Déterminisme, hasard, chaos, liberté

Engels à Borgius, le 25 janvier 1894 :

« Dans toutes ces sociétés domine la nécessité dont le hasard est le complément et la manifestation. La nécessité qui se fait jour à travers tous les hasards, c'est de nouveau finalement la nécessité économique. »

Engels dans « Dialectique de la nature » :

« La nécessité est aussi inhérente au hasard. »

« Sur le plan de la théorie, la science de la nature s'est obstinée d'une part dans la pauvreté de la métaphysique selon Wolff qui veut que quelque chose soit ou bien nécessaire ou bien contingent, mais non les deux à la fois et d'autre part, dans le déterminisme mécaniste à la pensée à peine moins pauvre, qui supprime en bloc le hasard par une négation verbale pour le reconnaître en pratique dans chaque cas particulier. (...) En face de ces deux conceptions, Hegel apparaît avec des proportions absolument inouïes jusque-là : « Le contingent a un fond parce qu'il est contingent, et aussi bien il n'a pas de fond parce qu'il est contingent ; le contingent est nécessaire et la nécessité elle-même se détermine comme contingence, tandis que d'autre part, cette contingence est plutôt la nécessité absolue ». (Logique : L.II, Section III, ch. 1, La Réalité.) La science de la nature a tout simplement oublié ces principes en les prenant comme des jeux de paradoxes, comme un non-sens se contredisant lui-même. »

« Ce qu'on affirme nécessaire est composé de purs hasards et le prétendu hasard est la forme sous laquelle se cache la nécessité. La causalité linéaire est suffisante pour des phénomènes simples. Mais cette forme simpliste de détermination ne suffit lorsqu'on se trouve devant des systèmes complexes et sensibles. (...) Le hasard n'est pas la négation de la causalité et du déterminisme ; il est la négation dialectique de la nécessité, expression de la richesse des déterminations des systèmes physiques. »

Engels, « L'Origine de la famille, de la propriété privée et de l'État » :
« Mais le hasard n'est que l'un des pôles d'un ensemble dont l'autre pôle s'appelle nécessité. Dans la nature, où le hasard aussi semble régner, nous avons démontré depuis longtemps, dans chaque domaine particulier, la nécessité immanente et la loi interne qui s'imposent dans ce hasard. [Et ce qui est vrai de la nature ne l'est pas moins de la société.] Plus une activité sociale, une série de faits sociaux échappent au contrôle conscient des hommes et les dépassent, plus ils semblent livrés au pur hasard, et plus leurs lois propres, inhérentes, s'imposent dans ce hasard, comme par une nécessité de la nature. Des lois analogues régissent aussi les hasards de la production marchande et de l'échange des marchandises ; elles se dressent en face du producteur et de l'échangiste isolés comme des forces étrangères qu'on ne reconnaît pas tout d'abord et dont il faut encore péniblement étudier et approfondir la nature. Ces lois économiques de la production marchande se modifient avec les différents degrés de développement de cette forme de production ; mais toute la période de la civilisation est placée, dans son ensemble, sous leur dépendance. Et, de nos jours encore, le produit domine les producteurs ; de nos jours encore, la production totale de la société est réglée non d'après un plan élaboré en commun, mais par des lois aveugles qui s'imposent avec la violence d'un cataclysme naturel, en dernier ressort dans les orages des crises commerciales périodiques. »

Environ un siècle après Laplace, Poincaré écrit dans l'introduction de son Calcul des Probabilités un texte dont la tonalité est fort différente de celui de son illustre prédécesseur. C'est entre 1880 et 1910, que Poincaré, qui cherche à prouver la stabilité du système solaire, découvre un nouveau continent issu des équations de Newton et jusqu'alors inexploré.
« Comment oser parler des lois du hasard ? Le hasard n'est-il pas l'antithèse de toute loi ? Ainsi s'exprime Rerirand, au début de son Calcul des probabilités. La probabilité est opposée à la certitude ; c'est donc ce qu'on ignore et, par conséquent semble-t-il, ce qu'on ne saurait calculer. Il y a là une contradiction au moins apparente et sur laquelle on a déjà beaucoup écrit.

Et d'abord qu'est-ce que le hasard ? Les anciens distinguaient les phénomènes qui semblaient obéir à des lois harmonieuses, établies une fois pour toutes, et ceux qu'ils attribuaient au hasard ; c'étaient ceux qu'on ne pouvait prévoir parce qu'ils étaient rebelles à toute loi. Dans chaque domaine, les lois précises ne décidaient pas de tout, elles traçaient seulement les limites entre lesquelles il était permis au hasard de se mouvoir. […]

Pour trouver une meilleure définition du hasard, il nous faut examiner quelques-uns des faits qu'on s'accorde à regarder comme fortuits, et auxquels le calcul des probabilités paraît s'appliquer ; nous rechercherons ensuite quels sont leurs caractères communs. Le premier exemple que nous allons choisir est celui de l'équilibre instable ; si un cône repose sur sa pointe, nous savons bien qu'il va tomber, mais nous ne savons pas de quel côté ; il nous semble que le hasard seul va en décider. Si le cône était parfaitement symétrique, si son axe était parfaitement vertical, s'il n'était soumis à aucune autre force que la pesanteur, il ne tomberait pas du tout. Mais le moindre défaut de symétrie va le faire pencher légèrement d'un côté ou de l'autre, et dès qu'il penchera, si peu que ce soit, il tombera tout à fait de ce côté. Si même la symétrie est parfaite, une trépidation très légère, un souffle d'air pourra le faire incliner de quelques secondes d'arc ; ce sera assez pour déterminer sa chute et même le sens de sa chute qui sera celui de l'inclinaison initiale. »

« Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard. Si nous connaissions exactement les lois de la nature et la situation de l'univers à l'instant initial, nous pourrions prédire exactement la situation de ce même univers à un instant ultérieur. Mais, lors même que les lois naturelles n'auraient plus de secret pour nous, nous ne pourrions connaître la situation qu'approximativement. Si cela nous permet de prévoir la situation ultérieure avec la même approximation, c'est tout ce qu'il nous faut, nous disons que le phénomène a été prévu, qu'il est régi par des lois ; mais il n'en est pas toujours ainsi, il peut arriver que de petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les phénomènes finaux ; une petite erreur sur les premières produirait une erreur énorme sur les derniers. La prédiction devient impossible et nous avons le phénomène fortuit. »

La notion de déterminisme en physique et ses limites :
https://halshs.archives-ouvertes.fr/halshs-00167290/document

Textes divers sur ce thème :

https://www.google.fr/search?hl=fr&q=D%C3%A9terminisme%2C+hasard%2C+chaos%2C+libert%C3%A9+site%3Ahttp%3A%2F%2Fwww.matierevolution.fr+OR+site%3Ahttp%3A%2F%2Fwww.matierevolution.org&btnG=Recherche&meta=

Henri Poincaré et la révolution des idées scientifiques au vingtième siècle :

http://www.annales.org/archives/x/poincare6.html

Hasard, chaos et déterminisme, les limites des prédictions :

http://www.danielmartin.eu/Philo/Resume.pdf

Hasard, probabilités, incertitude, déterminisme, chaos… :

https://www.cairn.info/revue-raison-presente-2016-2-page-17.htm

Le déterminisme du hasard :

https://www.erudit.org/fr/revues/ltp/2005-v61-n3-ltp1093/012577ar/

Chaos, imprédictibilité, hasard :

https://www.canal-u.tv/video/universite_de_tous_les_savoirs/chaos_impredictibilite_hasard.1070

Hasard et déterminisme :

https://www.pourlascience.fr/p/articles-fond/hasard-et-determinisme-953.php

Un déterminisme affranchi de la contrainte de prédictibilité :

https://www.revistadefilosofia.org/35-04.pdf

Sommes-nous déterminés par le hasard :

https://www.cafephilosophia.fr/sujets/sommes-nous-determines-par-le-hasard/

Lire encore :

https://www.google.fr/search?hl=fr&q=chaos+et+d%C3%A9terminisme+site%3Ahttp%3A%2F%2Fwww.matierevolution.fr+OR+site%3Ahttp%3A%2F%2Fwww.matierevolution.org&btnG=Recherche&meta=

Dialectique du chaos déterministe - Dialectical and deterministic chaos

Robert Paris — 2021-12-16T23:05:00Z

Dialectique du chaos déterministe - Dialectical and deterministic chaos

ASPECTS OF DIALECTICS AND NONLINEAR DYNAMICS

Cambridge Journal of Economics, May 2000, vol. 24, no. 3,

J. Barkley Rosser, Jr.

Department of Economics

James Madison University

Harrisonburg, VA 22807 USA

April, 1998

DIALECTICS AND NONLINEAR DYNAMICS

Abstract

Three principles of dialectical analysis are examined in terms of nonlinear dynamics models. The three principles are the transformation of quantity into quality, the interpenetration of opposites, and the negation of the negation. The first two of these especially are interpreted within the frameworks of catastrophe, chaos, and emergent dynamics complexity theoretic models, with the concept of bifurcation playing a central role. Problems with this viewpoint are also discussed.

I. Introduction

Among the deepest problems in political economy is that of the qualitative transformation of economic systems from one mode to another. A long tradition, based on Marx, argues that this can be explained by a materialist interpretation of the dialectical method of analysis as developed by Hegel. Although Marx can be argued to have been the first clear and rigorous mathematical economist (Mirowski, 1986), this aspect of his analysis generally eschewed mathematics. Indeed some (Georgescu-Roegen, 1971) argue that the dialectical method is in deep conflict with arithmomorphism, or a precisely quantitative mathematical approach, that its very essence involves the unavoidable invocation of a penumbral fuzziness that defies and defeats using most forms of mathematics in political economy.

However, this paper will argue that nonlinear dynamics offers a way in which a mathematical analogue to certain aspects of the dialectical approach can be modelled, in particular, that of the difficult problem of qualitative transformation alluded to above. This is not the entirety of the dialectical method, which remains extremely controversial and redolent with remaining complications. We shall not attempt to either explicate or defend the entirety of the dialectical approach, much less resolve its various contradictions, although we shall note how some of its aspects relate to this more specific argument.

In particular, we shall discuss certain elements of catastrophe theory, chaos theory, and complex emergent dynamics theory models that allow for a mathematical modelling of quantitative change leading to qualitative change, one of the widely claimed foundational concepts of the dialectical approach, and a key to its analysis of systemic political economic transformation. These approaches are all special cases of nonlinear dynamics, and their special aspects which allow for this analogue depend on their nonlinearity. We note that there are some linear models that generate discontinuities and various exotic dynamics,e.g. models of coupled markets linked by incommensurate irrational frequencies. However, we shall not investigate these examples further. In most linear models, continuous changes in inputs do not lead to discontinuous changes in outputs, which will be our mathematical interpretation of the famous quantitative change leading to qualitative change formulation.

Part II of this paper briefly reviews basic dialectical concepts. Part III discusses how catastrophe theory can imply dialectical results. Part IV considers chaos theory from a dialectical perspective. Part V examines some emergent complexity concepts along similar lines, culminating in a broader synthesis. Part VI will present conclusions.

II. Basic Dialectical Concepts

In a famous formulation, Engels (1940, p. 26) identifies the laws of dialectics as being reducible to three basic concepts: 1) the transformation of quantity into quality and vice versa, 2) the interpenetration of opposites, and 3) the negation of the negation, although Engels's approach differs from that of many others on many grounds (Hegel, 1842; Georgescu-Roegen, 1971; Ilyenkov, 1977; Habermas, 1979). Whereas Marx largely used these concepts to analyze historical change, Engels drew on Kant and Hegel to extend this approach to science. Although his discussion in “The Dialectics of Nature” was reasonably current with regard to science for the time of its writing (the 1870s and early 1880s), much of its content is seen to be scientifically inaccurate by today's standards, and many of its examples thus hopelessly muddled and wrongheaded. Furthermore, the arguments of this book would later be used to justify the ideological control and deformation of science under Stalin and Khrushchev in the USSR, most notoriously with regard to the Lysenkoist controversy in genetics.1

For both Marx and Engels (1848), the first of these was the central key to the change from one mode of production to another, their historical materialist approach seeing history unfolding in qualitatively distinct stages such as ancient slavery, feudalism, and capitalism. Engels (1954, p. 67) would later identify this with Hegel's (1842, p. 217) example of the boiling or freezing of water at specific temperatures, qualitative (discontinuous) leaps arising from quantitative (continuous) changes. In modern physics this is a phase transition and can be analyzed using spin glass or other complexity type models (Kac, 1968). In modern evolutionary theory this idea has shown up in the concept of punctuated equilibria (Eldredge and Gould, 1972), which Mokyr (1990) and Rosser (1991, Chap. 12) link with the Schumpeterian (1934) theory of discontinuous technological change. Such phenomena can arise from catastrophe theoretic, chaos theoretic, and complex emergent dynamics models.

The interpenetration of opposites leads to some of the most controversial and difficult ideas associated with dialectical analysis. Implicit in this idea are several related concepts. One is that of contradiction, and the argument that dynamics reflect the conflict of contradicting opposites that are simultaneously united in their opposition. According to Ilyenkov (1977, p. 153), We thought of a dynamic process only as one of the gradual engendering of oppositions, of determinations of one and the same thing, i.e. of nature as a whole, that mutually negated one another.

Setterfield (1996) notes that contradictions may be logical in nature or between real conflicting forces, with Marx probably favoring the latter view, although it is difficult to distinguish genuine dialectical contradictions from mere differences. For Marx and Engels (1848) these real conflicting forces were the classes in conflict over control of the social surplus and of the means of production, although they also argued, as is laid out more fully in Marx (1977), that a crucial contradiction is between the forces and relations of production, united in the mode of production. This in turn fundamentally arises from the evolution of the contradiction between use-value and exchange value within the commodity itself, yet another union of conflicting opposites.

Another interpretation is that this unity of opposites implies a negation of the idea of the excluded middle in logic. Thus, both A and not A can simultaneously be true. Georgescu-Roegen (1971) makes much of this aspect in his denigration of arithmomorphism, and interprets this as meaning that between two opposites there is penumbra of fuzziness in their boundary in which they coexist and interpenetrate, much as water and ice coexist in slush (Ockenden and Hodgkins, 1974). Such an approach can be dealt with using fuzzy logic (Zimmermann, 1988), which in turn ultimately relies on a probabilistic approach. Georgescu-Roegen (1971, pp. 52-59) further argues that the probabilistic nature of reality itself is evidence of the fuzzily dialectical nature of reality in that truth criteria in a probabilistic world are simply arbitrary. This leads him to argue that there is a deeper contradiction between continuous human consciousness and discontinuous physical reality, discrete at the quantum level. Rosser (1991, Chap. 1) argues that this is a matter of perspective or the level of analysis of the observer.

Engels (1940, pp. 18-19) confronted the contradiction between the apparently simultaneous acceptance of discontinuity arising from the idea of qualitative leaps and of continuity arising from the fuzziness implied by the interpenetration of opposites in the dialectical approach. He dealt with this by following Darwin (1859) in accepting a gradualistic view of organic evolution in which species continuously change from one into another, while arguing that in human history, the role of human consciousness and choice allow for the discontinuous transformation of quantity into quality as modes of production discontinuously evolve.

Finally there is the idea of wholes consisting of related parts implied by this formulation. For Levins and Lewontin (1985) this is the most important aspect of dialectics and they use it to argue against the mindless reductionism they see in much of ecological and evolutionary theory, Levins (1968) in particular identifying holistic dialectics with his community matrix idea. This can be seen as working down from a whole to its interrelated parts, but also working up from the parts to a higher order whole. This latter concept can be identified with more recent complex emergent dynamics ideas of self-organization (Turing, 1952; Wiener, 1961), autopoesis (Maturana and Varela, 1975), emergent order (Nicolis and Prigogine, 1977, Kauffman, 1993), anagenesis (Boulding, 1978; Jantsch, 1979), and emergent hierarchy (Rosser, Folke, Günther, Isomäki, Perrings, and Puu, 1994; Rosser, 1995). It is also consistent with the general social systems approach of the dialectically oriented post-Frankfurt School (Luhmann, 1982, 1996; Habermas, 1979, 1987; Offe, 1997).

Indeed, even some Austrian economists have emphasized self-organization arguments, with Hayek (1952, 1967) developing an emergent complexity theory based on an early version of neural networks models and eventually (Hayek, 1988, p. 9) explicitly acknowledging his link with Prigogine and with Haken (1983). Lavoie (1989) argues that markets self-organize out of chaos. Sciabarra (1995) argues that Hayek in particular uses a fundamentally dialectical approach.

Finally, the negation of the negation has also been a very controversial and ideologically charged concept. It represents the combining of the previous two concepts into a dynamic formulation: the dialectical conflict of the contradictory opposites driving the dynamic to experience qualitative transformations. Again, there would appear within Marx and Engels to be at least two incompletely integrated ideas. On the one hand there is the idea of a sequence of affirmation, negation and the negation of the negation or thesis, antithesis, synthesis, as described by Marx (1992, p. 79). This implies a historical sequence of alternating stages, with Engels (1954, p. 191) suggesting the alternation of communally owned property in primitive societies, followed by privately owned property later, with a forecasted return to communally owned property under socialism in the future.2 On the other hand, in Marx and Engels (1848) this takes the form of one class being the thesis, the opposed class during the same period and mode of production being the antithesis, and the new mode of production with its new class conflict being the synthesis. We shall not attempt in this paper to resolve this contradiction, nor shall we attempt to model this explicitly in our mathematical approach.

III. Catastrophe Theory and Dialectics

The key idea for analyzing discontinuities in nonlinear dynamical systems is bifurcation, and was discovered by Poincaré (1880-1890) who developed the qualitative theory of differential equations to explain more-than-two-body celestial mechanics. Consider a general family of n differential equations whose behaviour is determined by a k-dimensional control parameter , such that

dx/dt = f(x); x  Rn,   Rk, (1)

with equilibrium solutions given by

f(x) = 0. (2)

Bifurcations will occur at singularities where the first derivative of f(x) is zero and the second derivative is also zero, meaning that the function is not at an extremum, but is rather at a degeneracy. At such points structural change can occur as an equilibrium can bifurcate into two stable and one unstable equilibria.

Catastrophe theory involves examining the stable singularities of a potential function of (1), assuming that there is a gradient. Thom (1975A) and Trotman and Zeeman (1976) determined the set of such stable singularities for various dimensionalities of control and state variables. Arnold, Gusein-Zade, and Varchenko (1985) generalized this analysis to higher orders of dimensionalities. These singularities can be viewed as points at which equilibria lose their stability with the possibility of a discontinuous change in a state variable(s) arising from a continuous change in a control variable(s).

A catastrophe form that shows most of the phenomena occurring in catastrophe models is that of the three dimensional cusp catastrophe, shown in Figure 1. In this figure J is the state variable and C and F are the control variables. Assuming that the splitting factor C is sufficiently large, continuous variations in F can lead to discontinuous changes in J. The intermediate sheet in Figure 1 represents an unstable set of equilibria points. Behaviour observable in such a dynamical system can include bimodality, inaccessibility, sudden jumps, hysteresis, and divergence, the latter arising from variations of the splitting factor C.

For René Thom this becomes the mathematical model of morphogenesis, of qualitative transformation from one thing into something else, following the analysis of D'Arcy Thompson (1917) of the emergence of organs and structures in the development of an organism. Furthermore, Thom (1975B, p. 382) explicitly links this to dialectics, albeit of an idealist sort:

Catastrophe theory...favors a dialectical, Heraclitean view of the universe, of a world which is the continual theatre of the battle of between logoi, between archetypes.

There is a serious criticism which can be joined of this view, although we tend to favor this view in this paper. It is the anti-arithmomorphic dialectic position as enunciated by Georgescu-Roegen (1971) which would argue that all we are seeing in such models is discontinuous changes in variables or functions and not a true qualitative change. The latter would presumably be something beyond the ability of mathematics to describe. It would not be simply a change in function or values of existing state variables, but the emergence of a completely new variable or even a new function or set of functions and variables. But at a minimum such structural changes imply qualitatively different dynamics, even if the variables themselves are still the same, in some sense.

Another variation on this latter point arises from considering the phenomenon of divergence associated with the change in the value of a splitting factor such as C in Figure 1. One goes from a system with one equilibrium to one with three equilibria, one of them unstable. The new equilibria themselves may actually represent new states or conditions, the qualitative change or emergence of new variables or functions in some sense. This is certainly the interpretation of Thom who identified such structural changes with the emergence of new organs in the development of organisms.

Ironically, in mainstream economics most of the criticism of catastrophe theory has come from the opposite direction, claims that it is too imprecise, too poorly specified, unable to generate forecasting models with solid theoretical foundations, too ad hoc, and so forth. Much of this criticism has probably been overdone as discussions in Rosser (1991, Chap. 2) and Guastello (1995) suggest.

Another possible difficulty is that it is not at all clear that the control versus state variable idea maps meaningfully onto the dialectical taxonomy. After all, it can be argued that it is the control variables themselves that should be undergoing some kind of qualitative change as a result of their quantitative changes, rather than some state variable controlled by them.

Yet another issue that cuts across all nonlinear dynamical interpretations of dialectics is that catastrophe theory analyzes equilibrium states and their destabilization. There is an old view among dialecticians that equilibrium is not a dialectical concept, indeed that dialectics is necessarily an anti-equilibrium concept. However, drawing on the work of Bogdanov (1912-1922), Bukharin (1925) argued that an equilibrium reflects a balance of conflicting dialectical forces and that the destabilization of such an equilibrium and the emergence of a new one is the qualitative shift. This view was sharply criticized by Lenin (1967) and was viewed by Stalin as constituting part of Bukharin's unacceptable ideology of allowing market elements to persist as an equilibrating force in socialist society. Stokes (1995) argues that Bogdanov's views provided the foundation for general systems theory as it developed through cybernetics (Wiener, 1961). These approaches would eventually lead to nonlinear complexity theories, some of them emphasizing disequilibrium or out-of-equilibrium phase transitions as in the Brussels School approach (Nicolis and Prigogine, 1977).

IV. Chaos Theory and Dialectics

The study of chaotic dynamics also originated with Poincaré's qualitative celestial mechanics. As argued in Rosser (1991, Chaps. 1 and 2) catastrophe theory and chaos theory represent two distinct faces of discontinuity, and hence arguably of dialectical quantity leading to quality. The common theme is bifurcation of equilibria of nonlinear dynamical systems at critical values.

Although there remain controversies regarding the definition of chaotic dynamics (Rosser, ibid), the most widely accepted sine qua non is that of sensitive dependence on initial conditions (SDIC), the idea that a small change in an initial value of a variable or of a parameter will lead to very large changes in the dynamical path of the system. This is also known as the butterfly effect, from the idea that a butterfly flapping its wings could cause hurricanes in another part of the world (Lorenz, 1963).

Figure 2 exhibits this divergent behavior from small initial changes that occurs when SDIC holds. This shows the two distinct paths over time for one variable with and without a perturbation to an initial condition equal to 0.0001 for a three equation system of atmospheric circulation due to Edward Lorenz (1963). Lorenz concluded that the butterfly effect implies the futility of long-range weather forecasting. Truly chaotic systems exhibit highly erratic, apparently random, yet deterministic and bounded dynamics.

A sufficient condition for SDIC to hold is for the real parts of the Lyapunov exponents of the system to be positive. Oseledec (1968) showed that these can be estimated for a system such as (1), if ft(y) is the t-th iterate of f starting from an initial point y, D is the derivative, v is a direction vector. The Lyapunov exponents are solutions to


L = lim ln(Dft(y)v)/t. (3)
t

Although there are systems that are everywhere chaotic, many are chaotic for certain parameter values and are not for others. In such cases there may be a transition to chaos as a parameter value is varied and a system experiences bifurcations of its equilibria. A pattern exhibited by many well known systems is for there to be a zone of a unique and stable equilibrium, then beyond a critical parameter value there emerges a two-period oscillation, then beyond another point emerges a four-period oscillation, an eight-period oscillation, and so forth, a sequence known as a period-doubling cascade of bifurcations (Feigenbaum, 1978). According to a special case of Sharkovsky's (1964) Theorem, the emergence of an odd-numbered orbit (>1) is a sufficient condition for the existence of chaos. In some systems, as the parameter continues to change, chaos disappears and period-halving bifurcations return the system to its original condition, although in some systems there is simply an explosion or a transition to yet other kinds of complex dynamics.

Probably the most intensively studied simple equation that generates chaotic dynamics in economic models is the difference logistic, given by

xt+1 = xt(k - xt) (4)

with  being the tuning parameter whose variations change the qualitative dynamics of the system. As  increases the period-doubling cascade of bifurcations from an initial unique equilibrium described above occurs, leading to chaotic dynamics, and culminating in explosive behaviour. May (1976) studied this equation in the context of an ecological population dynamics model, in which k has the interpretation of a carrying capacity constraint, but he also first suggested the applicability of chaos theory to economic analysis in this paper. Figure 3 shows the period-doubling transition to chaos pattern for the logistic equation, with  on the horizontal axis and the system's state variable, x, on the vertical axis.

At least two possible dialectical interpretations can be drawn from (4) and generically similar systems. One is the already mentioned idea that the cascade of bifurcations can be seen as representing qualitative changes arising from quantitative changes. A smoothly varying , or control parameter, reaches critical points where there is a discontinuous change in the nature of the dynamics. Now, an anti-arithmomorphic dialectician can again deny that this is what is meant by qualitative change in the Hegelian sense. Yes, variables are behaving differently, but they are just the same old variables, this argument runs. But, we note that if chaotic dynamics herald a larger-scale catastrophic discontinuity, then there may be a greater chance for a deeper-level qualitative change to happen. Such instances may be chaostrophes associated with the blue-sky disappearance of an attractor after a chaotic interlude (Abraham, 1985), or lead to chaotic hysteresis (Rosser, 1991, Chap. 17; Rosser and Rosser, 1994). Although not labeled as such, an example of such a chaotic hysteretic model is a modified Hicks-Goodwin nonlinear business cycle model due to Puu (1997) in which chaotic dynamics appear at points of discontinuous jumps in a hysteresis cycle.

The second such interpretation involves the concept of the interpenetration of opposites. This interpretation can be derived from considering the dual role of the x variable in (4).

It operates both in a positive way and in a negative way, both tending to push up and to push down. Now, this may seem fairly trivial, as many such equations exist. But indeed, at the heart of most chaotic dynamics is a conflict between factors pushing in opposite directions. In effect, as  increases, the strength of this conflict can be thought of as intensifying.

In the population ecology model of May (1976),  represents the intrinsic growth rate of the population, and the negative aspect represents the effect of the population crashing into the ecological carrying capacity, k. One can view this system dialectically and holistically as a population with its environment. Conflicting forces operate through the same variable, the population, hence the interpenetration of the opposites whose interaction drives the dynamics. As this conflict heightens, bifurcations occur and quantitative changes lead to qualitative changes in dynamics as the system transits to chaos.

V. Emergent Dynamics Complexity and Dialectics

In contrast to the theories of catastrophe and chaos, there is no single criterion or model of complex dynamics, but rather a steadily increasing plethora which we shall not attempt explicate in any detail here (Arthur, Durlauf, and Lane, 1997; Rosser, 1998). Indeed Horgan (1997) reports up to 45 different definitions of complexity, including some such as algorithmic complexity in which we are not interested. Almost all involve some degrees of stochasticity in their formulation, yet some are analytical equilibrium models involving such phenomena as the spin glass models that imply phase transitions and hence could be viewed as the modern versions of the Hegel-Engels boiling/freezing water example (Brock, 1993; Rosser and Rosser, 1997). Some involve non-chaotic strange attractors, fractal basin boundaries, or other complicated nonlinear phenomena, besides catastrophe and chaos, although some of these can exhibit them as well (Lorenz, 1992; Rosser and Rosser, 1996; Brock and Hommes, 1997; Feldpausch, 1997). Virtually all of these models can be seen to exhibit the sort of dialectical dynamics associated with chaotic dynamics in terms of bifurcation points generating qualitative dynamical changes and conflicts between opposing elements driving the dynamics.

In contrast there are dissipative systems models that imply either fully out-of-equilibrium dynamics, as in the Brussels School models (Nicolis and Prigogine, 1977) mode-locking entrainment models (Sterman and Mosekilde, 1994), the Santa Fe adaptive stock market dynamics models (Arthur, Holland, LeBaron, Palmer, and Taylor, 1997) and edge of chaos models (Kauffman, 1993), or a temporary equilibrium that differs from a presumed long-run equilibrium as with the self-organized criticality approach (Bak, Chen, Scheinkman, and Woodford, 1993). Many of these models involve large-scale equations systems and simulations with self-organization phenomena emerging from the dynamics of conflicting forces. Such self-organization has long been identified by many observers as constituting exactly the kind of qualitative change that the dialecticians seek, and may represent overcoming the problem of the lack of new variables or functions emerging associated with the catastrophe and chaos models. All of these models can be united under the label emergent dynamics complexity.

However, at this point we need to step back a bit and consider how the currents involving complexity and dialectics have developed. A central point that appears is the gulf that exists between the analytic Anglo-American tradition and the Continental tradition. Urban/regional models based on the Brussels School order through fluctuations approach (Allen and Sanglier, 1981) exhibited polarizing outcomes and multiple equilibria long before such models became popular at Santa Fe. In a survey of urban/regional modeling, Lung (1988) attributes this to the tradition of dialectical discourses of French culture in contrast with Anglo-American approaches, the dialectical tendency extending beyond the Germanic Hegelian base into Latin Europe as well. Indeed we have already seen this with René Thom's willingness to put a dialectical interpretation upon catastrophe theory.

Without doubt the dialectical method/approach is in very ill repute in many Anglo-American circles, where the emphasis is upon reductionism, positivism, a narrow version of Aristotelian logic, comparative statics, and forecastibility along Newtonian-Laplacian lines. The dialectical method is viewed as unscientific, fuzzy-minded, and given to ideological mumbo-jumbo. This latter view has increased especially in economics with the increasing tendency for dialecticians in the Anglo-American economics world to be Marxists. Of course, in Continental Europe Marxist analysis tends to be more accepted, but non-Marxist dialectical approaches or interpretations are more widespread, as the discussions by Thom, Prigogine, and even the possibly dialectical element showing up in Hayek indicates. Thus, Europeans in general are more willing to admit the dialectical interpretations of emergent order and self-organization in complex dynamical systems as we have presented them above than are their American counterparts.

As a final frisson to this discussion, let us consider somewhat more closely the Stuttgart School synergetics approach of Haken (1983) that is very closely related to Prigogine's Brussels School approach. We can see in this approach the integration of several of our kinds of nonlinear dynamics with their related dialectical interpretations. As with Allen and Sanglier (1981) and the Brussels School approach, Weidlich and Haag (1987) use the synergetics approach to model multiple equilibria and polarization in urban/regional models, followed by the analytical results of Fujita (1989) and the more recent simulation modelling at Santa Fe by Krugman (1996).

Unsurprisingly, Krugman completely ignores any dialectical interpretation of the self-organization phenomenon, reflecting the Anglo-American bias.

Following Haken (1983, Chap. 12), there is a division between slow dynamics, given by the vector F, and fast dynamics, given by the vector q, corresponding respectively to the control and state variables in catastrophe theory. F is said to slave q through a procedure known as adiabatic approximation, and the variables in F are the order parameters whose gradual (quantitative change) leads to structural change in the system.

A general model is given by

dq/dt = Aq + B(F)q + C(F) + , (5)

where A, B, and C are matrices and  is a stochastic disturbance term. Adiabatic approximation allows this to be transformed into

dq/dt = -(A + B(F))-1C(F), (6)

which implies that the slow variables are determined by A + B(F). Order parameters are those with the least absolute values, and ironically are dynamically unstable in the sense of possessing positive real parts of their eigenvalues in contrast to the fast slaved variables.

This implies a rather curious possibility regarding structural change within the synergetics framework. Haken (ibid) identifies the emergence of chaotic dynamics with the destabilization of a previously stable slaved variable as the real part of its eigenvalue passes the zero value and goes positive. Such a bifurcation can lead to a complete restructuring of the system, a chaostrophic discontinuity with more substantial qualitative implications in terms of the relations between variables, if not necessarily for their
existence. The former slave can become an order parameter, and Diener and Poston (1984) call this particular phenomenon, the revolt of the slaved variables. If this is not a dialectical outcome, then there are none in nonlinear dynamics.

VI. Conclusions

We have reviewed the three main laws of dialectics as presented by Engels in The Dialectics of Nature (1940, p. 26). These are the transformation of quantity into quality and vice versa, the interpenetration of opposites, and the negation of the negation. We have seen how such nonlinear dynamical models, such as those capable of generating catastrophic discontinuities, chaotic dynamics, and a variety of other complex dynamics such as self-organization can be interpreted as manifesting these laws, especially the first two. In particular the role of bifurcation is seen as central to implying the first of these concepts, although we note that we have presented at best a very superficial overview of these various nonlinear dynamical models.

However, we must conclude with a caveat that has floated throughout this paper. Dialecticians who oppose the use of mathematical modelling at all, who identify such modelling with arithmomorphism and a denial of essential dialectical fuzziness, will remain unconvinced by all of the above. They will see the kinds of discontinuous changes implied by the various bifurcations in these models as simply sudden changes in the values or behaviors of already existing variables, rather than the true qualitative emergence that cannot be captured mathematically. They might have a harder time maintaining such a position with regard to complexity models with self-organizing or emergent hierarchy dynamics, but even with these they can make similar arguments that one is simply seeing different behavior of already existing variables, however new and different that behavior might appear.

Of course, this hard core position is exactly that which is derided by the analytic Anglo-American tradition that sees dialecticians as hopelessly fuzzy and unscientific. The debate between these strongly held positions can itself be viewed as a dialectic that remains unresolved.

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Comment finissent les épidémies ? Le chaos déterministe donne-t-il une réponse ? - How do epidemics end ? Does deterministic chaos give an answer ?

Robert Paris — 2021-06-01T22:05:00Z

Comment finissent les épidémies ? Le chaos déterministe donne-t-il une réponse ? - How do epidemics end ? Does deterministic chaos give an answer ?

Bien entendu, on ne se pose pas la question pour rien : chacun se demande comment peut se terminer la pandémie actuelle, celle de covid !!! Cette question se complique par le fait que les variants de covid peuvent avoir des propriétés très différentes les uns des autres. En même temps, les chercheurs ont admis que cela peut être une source d'espoir car il y a une probabilité qu'à un moment, les variations produisent un virus covid qui soit à la fois très propagatif et très peu agressif, dominant ainsi tous les autres variants, remplaçant toutes les sortes de vaccins, en mieux, et donnant finalement une espèce de grippe ou de rhume… Bel espoir mais très hypothétique pour le moment… Il faut compter sur le hasard des mutations, pas sur des mesures de santé !

D'autre part, les lois du chaos déterministe qui déterminent les lois des populations pourraient bien être déterminantes pour piloter la fin des épidémies.

https://www.cirad.fr/les-actualites-du-cirad/actualites/2020/science/covid-19-quand-la-theorie-du-chaos-prevoit-l-evolution-de-l-epidemie

Est-il possible de retrouver les équations qui gouvernent la dynamique d'un système environnemental, par exemple d'une épidémie, exclusivement à partir de séries de mesures ?

La réponse du CNRS :

https://insu.cnrs.fr/fr/cnrsinfo/est-il-possible-de-retrouver-les-equations-qui-gouvernent-la-dynamique-dun-systeme

Est-il possible de retrouver les équations qui gouvernent la dynamique d'un système environnemental, par exemple d'une épidémie, exclusivement à partir de séries de mesures ?

La réponse du CNRS :

https://insu.cnrs.fr/fr/cnrsinfo/est-il-possible-de-retrouver-les-equations-qui-gouvernent-la-dynamique-dun-systeme

Est-il possible de retrouver les équations qui gouvernent la dynamique d'un système environnemental, par exemple d'une épidémie, exclusivement à partir de séries de mesures ?

La réponse du CNRS :

https://insu.cnrs.fr/fr/cnrsinfo/est-il-possible-de-retrouver-les-equations-qui-gouvernent-la-dynamique-dun-systeme

Des auteurs qui pointent en effet le lien des hauts et des bas de la croissance et de la fin des épidémies avec le chaos déterministe et les attracteurs étranges

Il semble bien que le chaos déterministe pilote la dynamique des épidémies.

Le premier à l'avoir souligné est sans doute Robert May.

Une étape dans l'histoire de la notion de chaos a été la publication par le physicien et écologiste Robert M. May, en 1972, d'un article intitulé “Simple mathematical models with very complicated dynamics” (Nature, vol. 261, p. 459). Cet article, sans doute l'un des plus cités lorsqu'il est question de chaos, présente un modèle très simple d'évolution du nombre d'individus d'une population, volontairement le plus simple qu'on puisse imaginer pour décrire la dynamique d'une population : x n + 1 = ax n (1 – x n).
Ce modèle est appelé « application logistique », par référence à « l'équation logistique » introduite par le belge Pierre-François Verhulst en 1846. L'effectif de la population au temps t + 1 dépend bien sûr de la période précédente t. Ce modèle prend en compte par le terme 1 – xn la contrainte liée au « logis » : une population ne peut pas croître indéfiniment sur un territoire donné. Le paramètre a est le taux de croissance effectif. Les valeurs a < 0 et a > 4 du paramètre sont exclues car elles conduisent à des valeurs de la population relative x situées en dehors de l'intervalle acceptable [0,1] car x représente le pourcentage de l'effectif maximum dans le territoire donné. May étudia donc cette évolution pour a variant dans [0,4] et obtint une richesse de comportements de dynamique des populations à l'époque insoupçonnée, certains présentant une « apparence erratique et imprédictible à long terme », et aujourd'hui qualifiés de « chaotiques ». Cet article de May inspira de nombreux travaux, portant entre autres sur les variations cycliques ou chaotiques de populations de pucerons, de sauterelles, de lemmings, de sardines, ou encore de systèmes prédateur-proie (le choix des espèces étudiées est déterminé soit par l'occurrence de phénomènes remarquables, comme les invasions de sauterelles ou les « suicides collectifs » de lemmings, soit par la présence de données fiables et précises sur une longue durée, typiquement plus d'un siècle, fournis par les registres des criées aux poissons, ou ceux des peausseries pour divers couples prédateur-proie, comme les lynx et les lièvres). Mais l'étude du chaos en biologie ne se limite pas à la dynamique des populations, et d'autres domaines d'investigation sont : – l'épidémiologie de certaines maladies infectieuses (rougeole, grippe1) ; – le rythme cardiaque ; – les neurosciences, tant à l'échelle neuronale (enregistrement de l'activité électrique d'un neurone) qu'à l'échelle cérébrale (activité enregistrée par électroencéphalogramme) ; – le métabolisme et les rythmes intracellulaires, observés au niveau de concentrations de certaines molécules (glucose, hormones, ions calcium ou potassium, ...). Ils illustrent et prolongent in vivo les comportements chaotiques manifestés par certaines réactions chimiques2.

Source : « Le chaos en biologie »

« Avec l'épidémiologiste Roy Anderson, May a développé une série de modèles analytiques perspicaces, résumés dans leur livre de 1991 Infectious Diseases of Humans : Dynamics and Control. Leur principale innovation consistait à réduire le problème de la compréhension du pourquoi et du moment des maladies à quelques variables clés. Si, par exemple, le nombre de nouvelles infections d'un cas primaire (le facteur de transmission, R0) dépasse un, la maladie a le potentiel de devenir une épidémie. Anderson et May ont calculé le facteur de transmission efficace si une fraction de la population est immunisée, par exemple à la suite de la vaccination. Cela leur a permis de prédire la proportion de la population qui aurait besoin d'être vaccinée pour éviter la propagation d'une maladie. Ces informations constituent le fondement de notre compréhension de la pandémie de coronavirus, alors que R0 est passé de documents techniques à des bulletins d'information à travers le monde. »

“With the epidemiologist Roy Anderson, May developed a series of insightful analytical models, summarized in their 1991 book Infectious Diseases of Humans : Dynamics and Control. Their key innovation was reducing the problem of understanding why and when diseases spread to a few key variables. If, for example, the number of new infections from one primary case (the transmission factor, R0) exceeds one, the disease has the potential to become an epidemic. Anderson and May calculated the effective transmission factor if a fraction of the population is immune, for instance as a result of vaccination. This allowed them to predict the proportion of the population that would need to be vaccinated to prevent the spread of a disease. These insights form the foundation of our understanding of the coronavirus pandemic, as R0 has moved from technical papers into news bulletins around the world.”
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Idris Ahmed, Goni Umar Modu[…] & Ibrahim Yusuf, A mathematical model of Coronavirus Disease (COVID-19) containing asymptomatic and symptomatic classes, Results in Physics (2021)
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Dirk Stiefs, Ezio Venturino and Ulrike Feudel, Evidence of chaos in eco-epidemic models
https://www.aimsciences.org/article/doi/10.3934/mbe.2009.6.855

L. Billings & I. B. Schwartz, Journal of Mathematical Biology,Exciting chaos with noise : unexpected dynamics in epidemic outbreaks
https://link.springer.com/article/10.1007/s002850100110

Stability or Chaos in Discrete Epidemic Models, Kenneth L.Cooke Daniel, F.Calef Eric V.Level
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780124341500500138

Detecting Nonlinearity and Chaos in Epidemic Data, S Ellner, AR Gallant, J Theiler

https://books.google.fr/books?hl=fr&lr=&id=MZRkdfOBylYC&oi=fnd&pg=PA229&dq=epidemic+and+chaos&ots=afeDW5XEQg&sig=2EwQNFxuV_tVrU3zzWB2dmsBtd0#v=onepage&q=epidemic%20and%20chaos&f=false

S. Mangiarotti, M. Peyre, Y. Zhang, M. Huc, F. Roger, and Y. Kerr, Chaos theory applied to the outbreak of COVID-19 : an ancillary approach to decision making in pandemic context
https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC7231667/

Autres lectures

Sud Ouest

https://www.sudouest.fr/sante/le-coronavirus-peut-il-devenir-un-jour-un-simple-rhume-1266965.php

Futura sciences
https://www.futura-sciences.com/sante/actualites/coronavirus-pourrait-terminer-epidemie-coronavirus-81020/

The Conversation

https://theconversation.com/voici-comment-la-covid-19-pourrait-devenir-un-simple-rhume-154813

CNRS : La théorie du chaos appliquée à l'épidémie de Covid-19
https://www.insu.cnrs.fr/fr/cnrsinfo/la-theorie-du-chaos-appliquee-lepidemie-de-covid-19

Mathématiques et pandémie
https://www.florilege-maths.fr/fiche/mathematiques-et-pandemie/

Cirad

https://www.cirad.fr/les-actualites-du-cirad/actualites/2020/science/covid-19-quand-la-theorie-du-chaos-prevoit-l-evolution-de-l-epidemie

Youtube

https://www.youtube.com/watch?v=Z27HG2dtgck

Le Temps
https://labs.letemps.ch/interactive/2020/quiz-pandemies/

France Culture
https://www.franceculture.fr/histoire/comment-se-terminent-les-epidemies

RCF Radio

https://rcf.fr/vie-quotidienne/comment-meurent-les-epidemies

LCI

https://www.lci.fr/sante/coronavirus-covid-19-comment-vivent-et-meurent-les-epidemies-2146851.html

France Info

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Marianne

https://www.marianne.net/societe/covid-19-et-au-fait-comment-se-terminent-les-epidemies

Science et Avenir

https://www.sciencesetavenir.fr/sante/comment-se-terminent-les-epidemies_146074

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https://da-dk.facebook.com/franceculture/videos/comment-se-terminent-les-%C3%A9pid%C3%A9mies/245623736594416/

C News

https://www.cnews.fr/france/2020-07-29/coronavirus-vaccins-traitements-immunite-comment-se-terminent-les-epidemies-983094

Matière et Révolution

https://www.matierevolution.fr/spip.php?breve1132

PositivR
https://positivr.fr/comment-s-arrete-une-epidemie/

Arc Info

https://www.arcinfo.ch/dossiers/coronavirus/articles/coronavirus-comment-se-terminent-les-epidemies-939470

ICI Québec
https://ici.radio-canada.ca/nouvelle/1776132/pandemie-un-an-covid-19-histoire-virus-grippe-variole-cholera-peste-mortalite

RTL

https://www.rtl.fr/actu/bien-etre/coronavirus-comment-disparait-une-epidemie-7800534490

L'Express

https://www.lexpress.fr/actualite/sciences/comment-les-pandemies-prennent-elles-fin_2126040.html

Le Nouvel Obs

https://www.nouvelobs.com/coronavirus-de-wuhan/20200322.OBS26421/de-la-peste-au-coronavirus-7-choses-a-savoir-sur-l-histoire-des-epidemies.html

Le Parisien

https://www.leparisien.fr/societe/sante/coronavirus-2019-ncov-comment-une-epidemie-prend-elle-fin-31-01-2020-8249091.php

Orange

https://actu.orange.fr/societe/videos/comment-une-pandemie-prend-elle-fin-CNT000001q9l2N.html

Henri Poincaré : trois corps entraînent le chaos déterministe

Robert Paris — 2021-03-20T23:05:00Z

Henri Poincaré Dans « Sciences et méthode » :

« Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard. Si nous connaissions exactement les lois de la nature et la situation de l'univers à l'instant initial, nous pourrions prédire exactement la situation de ce même univers à un instant ultérieur. Mais, lors même que les lois naturelles n'auraient plus de secret pour nous, nous ne pourrons connaître la situation initiale qu'approximativement. Si cela nous permet de prévoir la situation ultérieure avec la même approximation, c'est tout ce qu'il nous faut, nous disons que le phénomène a été prévu, qu'il est régi par des lois ; mais il n'en est pas toujours ainsi, il peut arriver que de petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les phénomènes finaux ; une petite erreur sur les premières produirait une erreur énorme sur les derniers. La prédiction devient impossible et nous avons le phénomène fortuit. »

Henri Poincaré invente le chaos déterministe

"Les comportements dynamiques chaotiques permettent de construire ce pont, que Boltzmann n'avait pu créer, entre la dynamique et le monde des processus irréversibles. La nouvelle représentation de l'objet dynamique, non locale et à symétrie temporelle brisée, n'est pas une description approximative, plus pauvre que la représentation classique. Elle définit au contraire cette représentation classique comme relative à un cas particulier. (…) Nous savons aujourd'hui que ces derniers (les systèmes non-chaotiques), qui dominèrent si longtemps l'imagination des physiciens, forment en fait une classe très particulière. (…) C'est en 1892, avec la découverte d'un théorème fondamental par Poincaré ( la loi des trois corps), que se brisa l'image homogène du comportement dynamique : la plupart des systèmes dynamiques, à commencer par le simple système « à trois corps » ne sont pas intégrables."

dans « Entre le temps et l'éternité » d'Ilya Prigogine et Isabelle Stengers

En 1889, le mathématicien et physicien Henri Poincaré cherchait à répondre lui aussi à cette question de la stabilité du système solaire. Son mémoire intitulé "sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique" remporta le prix du concours ouvert à Stockholm par le roi Oscar II entre les mathématiciens du monde entier, apportant à Poincaré une notoriété internationale. Et c'est dans l'étude du système solaire que l'on a découvert pour la première fois un phénomène chaotique ! En effet, il devait montrer que la gravitation avait beau obéir à des lois, celles-ci engendraient le chaos, cette imbrication d'ordre et de désordre que l'on appelle chaos déterministe. Je rappelle que déterministe signifie un phénomène issu de lois. Poincaré a ainsi montré que certaines lois non-linéaires, les lois de l'attraction universelle de Newton en l'occurrence, peuvent engendrer des mouvements chaotiques. Poincaré a également montré qu'un mouvement chaotique peut paraître stable durant quelques dizaines ou centaines de millions d'années avant de quitter la zone de stabilité appelée par lui « un îlot » de stabilité. Et pour cette étude il a considérablement simplifié le problème du système solaire. Il a étudié le mouvement de trois corps. Poincaré a ainsi découvert en étudiant mathématiquement la loi de Newton pour ces trois corps qu'on y trouvait des possibilités nombreuses de mouvements imprédictibles. Etonné et en même temps déçu, il aurait déclaré : « si j'avais su qu'en étudiant les lois de la physique on ne pourrait rien prédire, j'aurais préféré me faire boulanger ou postier que physicien et mathématicien ! »

Mais Poincaré avait rapidement compris que ce n'était pas une faiblesse personnelle qui l'empêchait ainsi de pénétrer le fonctionnement de la nature mais une propriété fondamentale de ce fonctionnement et de sa relation avec l'entendement humain. N'oublions pas que Poincaré, même s'il était un grand scientifique, a plutôt souligné le caractère humain et sensible de l'activité intellectuelle de la science. Je le cite commentant l'activité de la découverte scientifique et expliquant qu'entre deux périodes de travail conscient, il se réalise un travail inconscient. "Le moi inconscient ou, comme on dit, le moi subliminal, joue un rôle capital dans l'invention mathématique [...] le moi subliminal n'est nullement inférieur au moi conscient ; il n'est pas purement automatique, il est capable de discernement, il a du tact, de la délicatesse ; il sait choisir, il sait deviner. ... les phénomènes inconscients privilégiés, ceux qui sont susceptibles de devenir conscients, ce sont ceux qui, directement ou indirectement, affectent le plus profondément notre sensibilité. On peut s'étonner de voir invoquer la sensibilité à propos de démonstrations mathématiques qui, semble-t-il, ne peuvent intéresser que l'intelligence. Ce serait oublier le sentiment de la beauté mathématique, de l'harmonie des nombres et des formes, de l'élégance géométrique. C'est un vrai sentiment esthétique que tous les vrais mathématiciens connaissent." Je citait un passage du chapitre « L'invention mathématique », dans l'ouvrage « Science et méthode » de Poincaré.

Et l'un des résultats de ses travaux sera de relativiser le caractère purement objectif des énoncés scientifiques. Il montre que la science reste une conjecture et non un domaine du certain comme on l'a longtemps cru de façon un peu prétentieuse, à la suite de Laplace. Selon lui, la science est une activité humaine et la relation entre l'homme et la nature reste une recherche sans réponse finale. La meilleure preuve en est que ses propres travaux allaient être rapidement contredits puisqu'il concluait que le système solaire était stable ce que, par la suite, il allait lui-même corriger. Par contre, il a inventé à cette occasion la plupart des méthodes théoriques aujourd'hui appliquées dans un domaine qui n'existait pas à l'époque : l'étude des systèmes dynamiques, autrement appelée chaos déterministe. Il va notamment inventer des méthodes d'étude de systèmes pris dans leur ensemble sans étudier les éléments du système pris un par un, méthode particulièrement novatrice. Il va étudier non une seule trajectoire mais l'ensemble des trajectoires possibles et leur relation entre elles. Enfin, il va montrer que les phénomènes physiques sont du domaine de la géométrie et non des formules mathématiques. Je le répète, sa conclusion est qu'avec trois corps interagissant par attraction gravitationnelle on a déjà du chaos c'est-à-dire un phénomène obéissant à la propriété de la sensibilité aux conditions initiales : un tout petit changement de celles-ci peut entraîner un grand changement de la suite de l'évolution. Rappelons que cette thèse révolutionne la conception que l'on avait de la gravitation depuis Newton. Ce dernier pensait que si l'on connaissait précisément les positions et les vitesses de tous les corps célestes on pouvait connaître à tout moment la suite des positions. Poincaré infirme cette thèse. Essayons d'expliquer pourquoi.

Je vous rappelle que pour deux corps, du moment que l'on connaît la masse des deux corps et les données de position et de vitesse à l'instant initial on peut calculer les positions des deux corps à tout instant. On connaît en effet une solution analytique qui indique le mouvement et il y a une seule trajectoire possible qui est une ellipse. On pourrait imaginer que l'on est certain d'avoir une solution puisque l'on connaît les équations du mouvement mais ce n'est pas du tout le cas. La plupart des équations mathématiques non-linéaires n'ont pas du tout de solution ou ont une infinité de solutions. Une solution analytique est une formule qui indiquera positions et déplacements à tout instant. Les équations ne permettent pas de le dire. Les équations de Newton relient par une formule les diverses dérivées de ces quantités, c'est-à-dire position, vitesse et accélération. Lorsque l'on peut revenir des dérivées aux quantités elles-mêmes on dit que le système d'équations est intégrable mais généralement ce n'est pas le cas. Un exemple bien connu d'intégration est l'équation du mouvement d'un boulet de canon si on connaît la vitesse initiale et l'angle de lancement. Et justement dans le cas du système solaire, en se contentant de trois corps, Poincaré a montré que le système n'est pas intégrable. Il n'y a pas de solution analytique des équations de Newton du mouvement. Poincaré en a même expliqué la raison : il n'y a pas assez d'équations par rapport au nombre d'inconnues. Ce que l'on appelle les inconnues ce sont les positions des corps et leurs variations. Les équations indiquent la conservation d'un certain nombre de quantités qui ne peuvent que s'échanger et non diminuer ou augmenter : l'énergie, la quantité de mouvement et la quantité de rotation. Il a montré que la multiplicité des trajectoires très proches et imbriquées rend improbable que le système soit intégrable. Les équations ne sont pas assez nombreuses pour en déduire une solution. Il a également montré qu'il en découle une infinité de trajectoires possibles et que l'on n'a aucun moyen de trancher entre elles. En plus la proximité des trajectoires signifie qu'une petite perturbation peut faire sauter le corps d'une trajectoire à une autre imperceptiblement avec du coup un avenir tout à fait différent au bout d'un certain temps. Quelle en est la raison ? Dans le mouvement des trois corps, aucun n'est négligeable. A tout instant la position d'un corps et son mouvement sont modifiés par la position précédente d'un autre corps qui est elle-même modifiée par celle du troisième. C'est ce qui rend impossible les approximations. Impossible par conséquent de dire que tel objet est trop petit pour influencer le système sur le long terme. Impossible de dire que telle modification de distance est négligeable puisqu'elle peut entraîner un changement de trajectoire qui peut être considérable sur le long terme. Impossible même de distinguer l'une des planètes comme un objet indépendant du système. Impossible aussi de distinguer passé et présent. En effet, la position d'une planète dépend de l'ensemble des positions précédentes, de toute l'histoire passée du système. C'est ainsi que, pour prédire, il faudrait connaître avec une précision infinie l'ensemble des conditions précédentes et pas seulement les conditions initiales, c'est-à-dire à un instant donné, du système. Du coup, les trajectoires possibles étant infiniment proches les unes des autres, il suffit d'un petit changement dans les conditions initiales ou d'une petite imprécision pour changer relativement vite l'ensemble de l'histoire de tout le système. Poincaré venait de découvrir le premier domaine d'étude d'un phénomène d'un type nouveau : le chaos déterministe.

Parmi les successeurs des travaux de Poincaré, il convient d'abord de citer Kolmogorov, Arnold et Moser. Ces trois scientifiques vont reprendre le travail de Poincaré et montrer en 1962 dans un théorème appelé KAM de leurs initiales que, dans certaines conditions initiales particulières, il peut y avoir stabilité. Il y a alors des mouvements quasi périodiques et des perturbations suffisamment petites ne peuvent éloigner durablement la planète de sa trajectoire. . Ils ont donc fait la démonstration que, si les masses et les inclinaisons des ellipses parcourues restent faibles, ces trajectoires restent contraintes à n'évoluer qu'autour d'une espèce de tuyau refermé sur lui-même et appelé le tore. Cette contrainte entraîne une garantie de stabilité, une espèce de garde fou pour le mouvement. Mais le débat n'était pas achevé pour autant car d'autres physiciens allaient montrer que le théorème KAM s'applique bien à des interactions entre plusieurs corps mais pas au système solaire qui ne satisfait pas aux conditions initiales nécessaires. Ainsi, en 1998, les savants américains Sussman et Wisdom intègrent le mouvement de Pluton sur un ordinateur et ce mouvement s'avère chaotique. Ils démontrent que ce mouvement obéit à ce que l'on appelle la « sensibilité aux conditions initiales » ou encore la propriété de divergence exponentielle. Exponentielle signifie ici qu'une perturbation au lieu d'additionner ses effets les multiplie et c'est là que réside la source du chaos. En effet, ces deux scientifiques ont calculé que l'incertitude sur les conditions initiales est multiplié par trois tous les 20 millions d'années. Cela signifie qu'en 400 millions d'années, durée sur laquelle on cherche à obtenir une réponse de stabilité, la position de Pluton est complètement imprédictible. L'incertitude est en effet multipliée par trois à la puissance vingt soit 3.486.784.401. Une erreur d'un centimètre se traduit au bout de 400 millions d'années par une modification du résultat de trois milliards et demi de centimètres ! ! Mais c'est surtout dans la foulée des travaux de Jacques Laskar, directeur de recherches au bureau des longitudes de Paris qu'ont été faites les principales découvertes tendant à prouver le caractère chaotique du système solaire. Il a notamment mis en équation le calcul des perturbations qui permet d'extrapoler pour trouver les positions des planètes et il a montré que ce calcul n'était pas valable sur un temps de plusieurs centaines de millions d'années. Les calculs que nous faisons pour positionner les planètes ne sont pas faux mais ils ne sont pas extrapolables pour en déduire la position d'une planète sur une aussi longue durée. La raison ne provient pas d'une erreur ni d'une approximation mais du principe lui-même du calcul. Toute petite approximation entraîne sur un temps aussi long une modification considérable du fait du caractère exponentiel des divergences. Comment ces perturbations peuvent-elles se multiplier ainsi au lieu de simplement s'additionner ? L'explication provient de la rétroaction qui se produit parfois entre deux trajectoires, c'est-à-dire qu'elles ont des fréquences que l'on dit accrochées ou en résonance. Sont en résonance deux phénomènes réguliers dont les périodes sont dans un rapport simple par exemple un sur deux ou trois sur cinq. Dès que deux phénomènes sont dans ce cas, ils interagissent bien plus que la proportion de leur cause. C'est ce qui se produit avec une personne poussant en résonance une balançoire. Cela a pour effet d'accumuler des effets d'entraînement pouvant aller jusqu'au tour complet. Or le rapport entre les périodes des mouvements de Saturne et Jupiter autour du Soleil est exactement dans la fraction 2 sur 5. Cela signifie qu'ils vont se trouver à intervalle régulier dans des positions susceptibles de déformer leurs trajectoires et toujours dans le même sens. On constate d'autres résonances dans les mouvements planétaires comme la résonance entre les mouvements de précession des orbites de la terre et de Mars, comme la résonance entre les mouvements de précession de Mercure, Vénus et Jupiter. La précession est l'un des paramètres caractérisant le mouvement d'une planète. Du coup, il est difficile de dire si une forte augmentation de l'excentricité du mouvement elliptique d'une planète ne serait pas possible dans un intervalle de cent millions d'années, augmentation pouvant donner une énergie suffisante pour que cette planète sorte du système solaire. L'augmentation de l'excentricité du mouvement elliptique peut causer un choc entre deux planètes comme le montrent les extrapolations de calcul effectuées par Laskar dans une simulation sur ordinateur des équations sur dix milliards d'années. Ce seraient également ces mouvements chaotiques causés par des résonances qui expliqueraient la capacité de certaines trajectoires d'entraîner le corps hors du système, expliquant ainsi les trous dans la ceinture de Kirkwood des astéroïdes (un million de blocs rocheux de moins d'un kilomètre de diamètre qui voyagent entre Jupiter et Mars.)

Henri Poincaré, le problème des trois corps, par Hadamard

LE PROBLÈME DES TROIS CORPS

Si on se rappelle[1] à quel point l'œuvre de Poincaré est comme adéquate à toute la science mathématique, pure ou appliquée, que notre époque a produite, et la pénètre dans toutes ses manifestations, on aura compris par avance que la partie en quelque sorte centrale de cette œuvre corresponde au problème qui joue lui-même le rôle principal dans les mathématiques modernes. Ce problème, que les applications au monde physique ont imposé dès la création du calcul infinitésimal, est l'intégration des équations différentielles et aux dérivées partielles.

« … Les efforts des savants ont toujours tendu à résoudre le phénomène complexe donné directement par l'expérience en un nombre très grand de phénomènes élémentaires. »

« Et cela,… d'abord dans le temps. Au lieu d'embrasser dans son ensemble le développement progressif d'un phénomène, on cherche simplement à relier chaque instant à l'instant immédiatement antérieur ; on admet que l'état actuel du monde ne dépend que du passé le plus proche, sans être directement influencé, pour ainsi dire, par le souvenir d'un passé lointain. Grâce à ce postulat, au lieu d'étudier directement toute la succession des phénomènes, on peut se borner à en écrire « l'équation différentielle » ; aux lois de Képler, on substitue celle de Newton[2] ».

Les lois physiques, — ou plutôt les hypothèses physiques — qui servent de point de départ font donc connaître directement le devenir d'un phénomène ou, suivant une expression qui a cours en mathématiques, font connaître des propriétés de sa variation instantanée (par exemple, de la vitesse d'un point ou de son accélération). Ceci, autrement dit, donne des relations entre états infiniment voisins de ce phénomène.

Ces relations dont nous essaierons plus loin de donner une idée par quelques exemples simples[3], s'appellent des équations différentielles. Il reste à les intégrer, c'est-à-dire à déduire de ces relations entre états infiniment voisins, celles qui existent entre deux états quelconques, l'un considéré comme initial, l'autre comme final, du même phénomène. Or, sauf dans des cas tout exceptionnels, ce problème offre de hautes difficultés.

Encore ce que nous venons de dire suppose-t-il que la décomposition en phénomènes élémentaires, dont nous parlions tout à l'heure avec Poincaré, se fasse exclusivement dans le temps.

C'est le cas du mouvement simultané des planètes qui composent le système solaire, lorsque l'on considère chacune d'elles comme réduite à un simple point. Ces différents points, qui sont en nombre fini, sont supposés s'attirer d'après la loi classique de Newton, et ceci donne des relations entre leurs positions et leurs vitesses à un instant déterminé quelconque, d'une part ; de l'autre, la manière dont ces mêmes éléments varient lorsqu'on passe de cet instant à un autre infiniment peu postérieur au premier.

Le système varie bien dans l'espace, mais sa position n'est fonction que d'une variable, le temps.

On arrive encore à traiter d'une manière analogue le cas où on regarderait ces mêmes planètes non plus comme des points, mais comme des corps solides, de manière à tenir compte de leurs mouvements de rotation.

Mais lorsqu'on étudie les mouvements de milieux continus (autres que des solides indéformables), la décomposition en phénomènes élémentaires doit se faire à la fois dans le temps et dans l'espace[4] grâce au fait que chaque molécule est directement influencée par les molécules voisines. Les équations, dites « aux dérivées partielles », auxquelles on est conduit dans ces nouvelles conditions, sont d'un ordre de difficulté encore supérieur aux premières.

Non seulement la Physique, mais la Mécanique céleste elle-même posent des problèmes de cette sorte. Tel est (avec des difficultés toutes spéciales d'ailleurs), celui de la figure d'équilibre d'une masse fluide en rotation, sur lequel le lecteur est renseigné par l'étude de M. Volterra. Tel est aussi celui des marées.

En ce qui regarde la Physique, il faut, il est vrai, noter que l'évolution produite par les théories moléculaires, — évolution que Poincaré, jusqu'à son dernier jour, sut suivre et diriger comme toutes les autres — tend dans une certaine mesure à modifier ce qui précède.

Tout d'abord, les molécules étant assimilées le plus souvent soit à des points, soit à des solides, soit à des systèmes planétaires, leurs mouvements sont régis, non par des équations aux dérivées partielles, mais par des équations différentielles ordinaires ; il devrait en être ainsi, au moins en théorie, des phénomènes qui résultent de ces mouvements.

Il y a plus : une nouvelle hypothèse paraît s'imposer, celle des « quanta », d'après laquelle, au sein de cette matière discontinue, les actions mutuelles entre molécules ne s'opéreraient elles-mêmes que par degrés discontinus. S'il en était ainsi, les équations différentielles elles-mêmes seraient (toujours en théorie) éliminées à leur tour et remplacées par d'autres qui ne relèveraient plus du calcul infinitésimal, attendu qu'elles se rapporteraient à des variations très petites, mais non pas infiniment petites.

Nous disons : en théorie, car il ne faudrait pas s'imaginer que cette mise hors de cause des équations différentielles et aux dérivées partielles soit définitive, ni surtout que les nouvelles conditions où se place l'hypothèse des quanta aient pour effet de simplifier le problème mathématique. Bien au contraire, étant donné que le nombre des molécules d'un corps, tout en étant fini, est énorme ; que, de même, dans l'hypothèse des quanta, les changements successifs qui interviennent dans l'état d'une molécule quelconque, tout en cessant d'être infiniment petits et infiniment nombreux, restent extrêmement petits et extrêmement nombreux, la meilleure, la seule marche à suivre pour débrouiller l'inextricable complication des équations ainsi écrites consiste à profiter des relations — que Poincaré lui-même eut l'occasion d'éclairer à plusieurs reprises et même dès ses premiers travaux — entre la catégorie générale à laquelle appartiennent ces équations[5] et celles des équations différentielles ou aux dérivées partielles. C'est en définitive, à l'un ou à l'autre de ces deux derniers types que l'on est encore ramené.

Quoi qu'il en soit, nous nous proposons ici de rappeler quelques-uns des plus grands progrès dus à Poincaré dans l'étude des équations différentielles.

Nous ne nous occuperons pas des équations aux dérivées partielles : nous pouvons, en effet, renvoyer le lecteur à l'étude de M. Volterra en ce qui concerne leur intervention en physique mathématique, comme ce qui concerne la figure des planètes (figure des fluides en rotation) ; et quant à la théorie des marées, c'est-à-dire de l'oscillation des mers, les méthodes qu'il lui a appliquées peuvent se comparer — à des distinctions près dans le détail desquelles il nous serait tout à fait impossible d'entrer ici — à celles mêmes qui conviennent aux problèmes de physique vibratoire (vibrations de membranes[6], etc.), avec cette différence qu'il utilisa, dans l'étude du mouvement des mers, non seulement les méthodes qu'il avait découvertes, mais, à partir des travaux de M. Fredholm, celle des équations intégrales, dont il sut mieux que personne utiliser les précieuses ressources.
⁂

Nous parlerons donc de la théorie des équations différentielles ordinaires.

Il y eut pour celle-ci, comme pour tout le calcul infinitésimal, un âge d'or : celui où la solution des problèmes que l'on se posait pouvait, à l'aide des moyens que les géomètres possédaient à cette époque, être menée jusqu'au bout, de manière à donner d'un seul coup satisfaction complète à l'esprit.

Rappelons grâce à quelle circonstance cette solution se trouvait avoir toute la simplicité voulue.

Soit un système d'équations différentielles auquel doit satisfaire, par exemple, le mouvement d'un certain système de points. Parmi les conséquences que l'on peut tirer des équations données, certaines peuvent exprimer qu'une ou plusieurs quantités convenablement choisies, fonctions de la position du système, restent forcément constantes pendant tout le cours de son mouvement. On dit que ces quantités sont autant d'intégrales des équations différentielles données[7]

Par exemple, dans le mouvement simultané des planètes du système solaire (pourvu qu'on ne tienne pas compte de l'action des étoiles fixes et autres corps célestes n'appartenant pas à ce système) la vitesse du centre de gravité de l'ensemble des corps qui le composent reste constante en grandeur et en direction.

Comme cette vitesse peut être considérée comme définie par ses composantes suivant trois directions fixes différentes, on a ainsi trois intégrales du système. On peut d'ailleurs aisément en déduire trois autres du même fait, puis en obtenir encore quatre par d'autres considérations.

Lorsque le nombre de ces intégrales est suffisant, elles permettent d'obtenir complètement la solution. Ce fut le cas pour les systèmes différentiels correspondant aux premiers problèmes — particulièrement de mécanique — auxquels on s'adressa.

Mais la liste de ces cas simples fut vite épuisée. En général, le nombre des intégrales connues[8] est insuffisant.

Par exemple dans le cas du système solaire, nous avons dit qu'il était de dix, au lieu que, — même en réduisant le soleil et les planètes et leurs satellites à de simples points — il en faudrait, à deux unités près, six fois autant qu'il y a de corps en présence.

C'est bien ce qui aurait lieu s'il n'y avait que deux corps en tout ( 2 × 6 − 2 = 10 ) , \displaystyle (2\times 6-2=10), \displaystyle (2\times 6-2=10), par exemple le Soleil et une planète. Aussi ce premier cas est-il, depuis Newton, du domaine des mathématiques élémentaires. Mais dès l'intervention d'un troisième corps, — astronomiquement parlant, dès que, sur une planète, agit, en même temps que le Soleil, la masse « perturbatrice » d'une autre planète. — il en est tout autrement.

Le « problème des trois corps » — et, à plus forte raison, le « problème des n corps » — offrent toutes les difficultés du problème général des équations différentielles.

Ces difficultés résident dans le fond des choses. Les conclusions même obtenues par Poincaré nous expliquent, comme nous aurons l'occasion de le dire plus loin, pourquoi ces problèmes généraux exigent des méthodes non seulement distinctes, mais profondément différentes de celles qui avaient suffi tout d'abord.

Nous sommes loin d'avoir surmonté un tel obstacle. Mais là même où nous y sommes arrivés, ce n'a été, le plus souvent, et ce ne pouvait être qu'en modifiant profondément nos idées sur ce qu'il faut entendre par « solution ».

Celles que nous avons acquises aujourd'hui se résument toutes dans la forte parole que Poincaré prononçait en 1908[9].

« Il n'y a plus des problèmes résolus et d'autres qui ne le sont pas, il y a seulement des problèmes plus ou moins résolus », — c'est-à-dire qu'il y a des solutions donnant lieu à des calculs plus ou moins simples, nous renseignant plus ou moins directement et aussi plus ou moins complètement sur l'objet de notre étude.

On comprend ainsi que, comme Poincaré le rappelle dans la même conférence, Newton ait pu se vanter de savoir intégrer toutes les équations différentielles, tandis que nous en sommes encore aujourd'hui à chercher les moyens de rendre nos connaissances à cet égard un peu moins imparfaites.

⁂

Il est clair que, dans ces nouvelles conditions, la question peut être envisagée à des points de vue divers, et les recherches poursuivies dans diverses directions.

Poincaré a suivi toutes les voies indiquées par ses prédécesseurs. — On peut dire qu'il n'en est aucune où il n'ait fait faire un pas important. Mais il en ouvrit aussi d'autres qui se séparent entièrement des premières.

Celles-ci ont, en effet, toutes un même caractère commun.

Comme le chapitre dû à M. Volterra[10] l'a rappelé au lecteur, c'est surtout par l'introduction des variables imaginaires que le problème des équations différentielles — et beaucoup d'autres, d'ailleurs, — ont été attaqués. Ce point de vue, au premier abord artificiel, est en général si fécond, il fait ordinairement jaillir une telle lumière qu'il fut, depuis Cauchy jusqu'en 1881, presque le seul auquel on songea à demander des résultats importants.

Poincaré, lui aussi, comme on a pu le voir dans l'exposé que nous venons de citer, obtint à son tour par cette voie de nouvelles conquêtes, les plus belles qu'on ait pu admirer depuis longtemps puisque, avec les fonctions fuchsiennes, il a pu intégrer une des classes les plus importantes d'équations différentielles, les équations différentielles linéaires à coefficients algébriques, c'est-à-dire l'immense majorité des équations différentielles linéaires auxquelles la pratique peut conduire.

Mais en même temps, il apprit aux géomètres à se placer au point de vue opposé.

Aussi bien et mieux que les plus grands, il mania l'instrument légué par Cauchy, Riemann et Weierstrass. Mais il montra que, tout admirable qu'il soit, cet instrument ne suffit pas à tout et ne s'adapte pas à tous les aspects du problème.

Donc Poincaré, dans quatre mémoires fondamentaux sur les courbes définies par les équations différentielles, cesse de considérer indifféremment les solutions réelles ou les solutions imaginaires des équations qu'il traite, et s'attaque exclusivement aux solutions réelles.

Bien entendu, les questions qu'il faut se poser, dans ces nouvelles conditions, ne sont pas les mêmes auxquelles s'appliquait l'ancien point de vue.

Celui-ci était et reste le seul fécond pour l'étude « formelle » des solutions, pour la recherche des catégories de fonctions, si tant est qu'on en puisse trouver, qui peuvent servir à les exprimer exactement. Quand on a en vue cette étude, tout s'éclaire par l'introduction des variables imaginaires, tout n'est qu'obscurité si on les laisse de côté.

Mais dès que (comme il arrive dans le cas général) on cesse d'obtenir, dans cette voie, la solution complète, celle qui dispenserait de toute autre, Poincaré établit une distinction fondamentale. Dans la solution de tout problème mathématique, dès que cette solution n'est pas immédiate, il met en évidence deux grandes étapes, l'une que l'on peut appeler qualitative, l'autre quantitative.

« Ainsi, par exemple, pour étudier une équation algébrique, dit-il, on commence par rechercher, à l'aide du théorème de Sturm, quel est le nombre de racines réelles : c'est la partie qualitative ; puis on calcule la valeur numérique de ces racines, ce qui constitue l'étude quantitative de l'équation. De même pour étudier une courbe algébrique, on commence par construire cette courbe, comme on dit dans les cours de mathématiques spéciales, c'est-à-dire qu'on cherche quelles sont les branches de courbes fermées, les branches infinies, etc. Après cette étude qualitative de la courbe, on peut en déterminer exactement un certain nombre de points. »

« C'est naturellement par la partie qualitative qu'on doit aborder la théorie de toute fonction et c'est pourquoi le problème qui se présente en premier lieu est le suivant : Construire les courbes définies par des équations différentielles. »

« Cette étude qualitative, quand elle sera faite complètement, sera de la plus grande utilité pour le calcul numérique de la fonction. »

« … D'ailleurs, cette étude qualitative aura par elle-même un intérêt de premier ordre. Diverses questions fort importantes d'analyse et de mécanique peuvent en effet s'y ramener. Prenons, par exemple, le problème des trois corps : ne peut-on se demander si l'un des corps restera toujours dans une certaine région du ciel, ou bien s'il pourra s'éloigner indéfiniment, si la distance de deux corps augmentera ou diminuera à l'infini, ou bien si elle restera comprise entre certaines limites. »

Ceci n'est autre chose que le célèbre problème de la Stabilité du système solaire, c'est-à-dire la question de savoir si, au cours des siècles, les dimensions des orbites planétaires varieront peu ou si, au contraire, ces orbites n'iront pas soit se perdre à l'infini, soit se précipiter sur le soleil.

Il n'en est aucune qui préoccupe davantage la Mécanique céleste, et il faut convenir que l'ignorance où nous sommes encore à cet égard est la meilleure preuve de l'étendue des progrès que cette science a encore pu faire.

Il est vrai que le problème ainsi posé est tout théorique. Comme Poincaré l'a victorieusement démontré[11], si l'on peut pendant un certain temps, réduire, sans trop d'erreur, les planètes et leurs satellites à autant de points mathématiques, l'influence des éléments ainsi négligés (les marées, entre autres, en raison du frottement qu'elles produisent), insignifiante au début, ne peut manquer de devenir prépondérante en fin de compte et de bouleverser totalement les conclusions.

Dans ces conditions, les gens pratiques peuvent être tentés de mépriser ce problème théorique. Il leur est permis, évidemment, de penser qu'il doit, suivant un mot connu, constituer « l'essai, non l'emploi de notre force ». Mais, même à ce titre, il mérite encore de provoquer, — tout en les défiant jusqu'ici — tous les efforts des astronomes. Il doit être considéré comme inséparable de l'objet même de la Mécanique céleste.

Or, ce problème, nous venons de le voir, est essentiellement un problème qualitatif. Son exemple suffit à montrer l'importance de cette catégorie de questions.

Celles-ci ne relèvent plus, en principe, de l'introduction des imaginaires.

Mais une fois entraînée hors de ce terrain si bien exploré par tous les géomètres de la fin du XIXe siècle et par Poincaré lui-même, une fois privée du seul auxiliaire dont, pour ainsi dire, on se fût servi depuis plus d'un quart de siècle, auxiliaire dont la puissance s'était à mainte reprise montrée presque miraculeuse, la Science ne se trouvait-elle pas singulièrement désemparée ?

Ce que furent les nouvelles méthodes que Poincaré eut à créer de toutes pièces, nous ne pouvons songer à le faire comprendre ici. Nous pouvons toutefois en indiquer dès maintenant un caractère qui, s'il ne leur est pas entièrement propre, n'avait existé que très exceptionnellement et très fugitivement dans les méthodes antérieures.

Il consiste, étant donné que le problème a plusieurs solutions, — et même une infinité de solutions — à cesser de porter son attention exclusivement sur une seule d'entre elles pour considérer, au contraire, les relations que ces solutions ont les unes avec les autres.

Pour nouvelle qu'elle fût, ou à bien peu près, dans la question qui nous occupe, cette conception était déjà intervenue dans d'autres chapitres des mathématiques.

L'un d'eux est la résolution algébrique des équations, qui parut d'abord consister en la recherche d'une racine déterminée de l'équation proposée. Cette théorie ne passa d'un état en quelque sorte empirique à l'état de perfection logique où l'amenèrent Lagrange, Rufini, Abel, Cauchy, Galois que lorsque l'on se décida, au contraire, à envisager simultanément toutes les racines cherchées. C'est en examinant les relations qui existent entre elles que furent conquis les principes modernes par lesquels dans cette question, tout s'éclaire, tout s'explique et se prévoit.

Dans les premières recherches sur les équations différentielles, on avait généralement étudié une à une les intégrales d'une équation différentielle donnée quelconque : en examinant chacune d'elles, on avait fait abstraction de toutes les autres.

Les mémoires sur les courbes définies par les équations différentielles vinrent montrer que ce point de vue était insuffisant et que les solutions d'un système d'équations différentielles, comme les racines d'une équation algébrique, devaient, même en vue de l'intelligence de chacune d'elles, être envisagées dans leurs rapports mutuels.

Il n'est pas inutile de remarquer qu'il en est déjà ainsi dans une des théories dont il avait été parlé précédemment, celle de la figure d'équilibre du fluide en rotation. En lisant l'exposé de M. Volterra, on se convaincra que tous les progrès réalisés par Poincaré sur cette question sont dus à ce qu'il n'envisage pas une figure d'équilibre, un ellipsoïde de Maclaurin ou de Jacobi déterminé, en elle-même, mais bien dans ses relations avec les figures d'équilibre voisines. La notion fondamentale d'équilibre de bifurcation et toutes celles qui en dérivent ont évidemment cette signification.

Si nous voulons essayer d'entrevoir comment cette idée première fut mise en exécution, il nous faut appuyer une figuration géométrique à notre secours.

Plusieurs exemples permettent de se représenter géométriquement une intégration d'équations différentielles, et il est même commode d'avoir plusieurs de ces représentations à sa disposition.

Tout le monde connaît aujourd'hui le « spectre magnétique » que l'on obtient en plaçant un aimant sous une feuille de papier saupoudré de limaille de fer.

Chaque brin de limaille s'aligne suivant une direction (celle de la force magnétique) parfaitement déterminée par l'endroit où il se trouve et, comme ces brins sont petits, l'ensemble de ceux qui se mettent bout à bout dessine à peu près une ligne courbe, dite ligne de force ; il la dessinerait exactement si les brins de limaille étaient infiniment petits.

D'autres lignes de force voisines de la première sont dessinées à côté d'elle, par d'autres brins de limaille. Elles ne la croisent d'ailleurs jamais, ni ne se croisent entre elles, à deux exceptions près : toutes ces lignes convergent, dans un sens, vers le pôle nord, dans l'autre vers le pôle sud de l'aimant.

En langage mathématique, ces lignes de force sont les diverses courbes intégrales d'une même équation différentielle du premier ordre. Les pôles de l'aimant sont des points singuliers[12] de cette équation.

On pourrait d'ailleurs se figurer celle-ci sous le point de vue que nous avions adopté tout à l'heure, c'est-à-dire la considérer comme définissant un mouvement. Il suffit d'imaginer un insecte très petit, qui, en tout point où il se trouve, se meut dans la direction de la force magnétique en ce point. Cette direction changeant au fur et à mesure du mouvement, il ne suivrait pas, bien entendu, une ligne droite, mais une courbe qui est la ligne de force.

Un autre exemple suffisamment connu est celui des « lignes de plus grande pente » que l'on peut tracer sur un terrain. La direction d'une telle ligne en un point quelconque est celle suivant laquelle se mettrait à descendre une goutte d'eau abandonnée en ce point. S'il se faisait (grâce à la faiblesse de la pente, au frottement, etc…) que cette goutte d'eau, dans sa descente, n'acquière jamais de vitesse notable, sa trajectoire dessinerait précisément une ligne de pente.

Comme les lignes de force de tout à l'heure, ces lignes de pente ne se croisent pas, du moins en plein parcours. Deux gouttes d'eau cheminant comme il vient d'être indiqué (toujours sans acquérir de vitesses notables) ou bien suivent la même ligne de pente de manière à ce que l'une suive exactement les traces de l'autre, ou bien se meuvent à côté l'une de l'autre sans que leurs routes se rencontrent jamais (du moins au sens exact, mathématique du mot[13]). Elles ne peuvent se retrouver qu'en arrivant à un fond (tel que le serait par exemple, le fond d'un lac) où elles s'arrêteraient toutes deux.

Par analogie avec ces fonds, il est des points à partir de chacun desquels divergent une infinité de lignes de pente : ce sont les sommets de collines ou de montagnes.

Fonds et sommets sont évidemment ici des points singuliers tout analogues à ceux que représentaient tout à l'heure les pôles d'aimant. Mais ici, une autre espèce de points singuliers peut intervenir : ce sont les cols[14]. Par chacun de ceux-ci (s'il en existe) passent deux lignes de pente : l'une qui suit successivement les deux vallées qui sépare le col, l'autre qui suit la crête ainsi franchie.

On peut également sur un terrain, ou, ce qui revient au même sur une carte topographique, considérer comme définies par une équation différentielle (mais cette fois par une équation différentielle que l'on sait immédiatement intégrer) les lignes de niveau ou sections horizontales de la surface, lignes dont chacune coupe à angle droit la ligne de pente qui passe par un quelconque de ses points. Pour ces lignes de niveau, qui sont des courbes fermées, les sommets ou les fonds sont (suivant la terminologie qu'emploiera Poincaré) des centres, c'est-à-dire que les lignes de niveau suffisamment voisines de l'un d'eux l'entoureront, en s'entourant elles-mêmes mutuellement.

Une dernière image de lignes que l'on peut considérer comme satisfaisant à un même système différentiel est fournie par certains cours d'eau, dont la surface, alors même que le mouvement y est parfois assez rapide, paraît immobile, quoique ondulée : cela tient à ce que la place de chaque molécule d'eau qui avance est immédiatement prise par une autre qui suit exactement le même chemin. C'est ce que l'on appelle un mouvement permanent. Il est clair que, sur cette surface liquide, les différentes lignes suivies par les gouttes d'eau ont une disposition assez semblable aux précédentes, de sorte que l'on peut encore les considérer comme vérifiant une même équation différentielle du premier ordre. Il n'y a plus, cette fois, de points singuliers jouant le rôle de nos pôles d'aimant, mais il peut se produire dans le liquide un tourbillon, un maëlstrom en miniature, qui jouera le rôle d'un centre[15].

D'autre part, le mouvement sera également permanent dans la profondeur même du liquide de sorte qu'on y pourra tracer encore une infinité de lignes dont chacune sert de route commune à une infinité de molécules cheminant les unes derrière les autres tout comme si elles se mouvaient dans un même tube très fin. Ces lignes peuvent encore être traitées comme les précédentes, mais comme elles remplissent un espace au lieu de recouvrir simplement une surface, il faudrait les définir par un système de deux équations différentielles du premier ordre, ce qui équivaut à un « système différentiel du second ordre ».

Les équations différentielles de la mécanique céleste, lesquelles sont en bien plus grand nombre, sont elles-mêmes susceptibles d'une représentation géométrique de cette espèce. Mais elle nécessite l'emploi d'espaces à un grand nombre de dimensions.

Poincaré s'attaque d'ailleurs tout d'abord au cas le plus simple par lequel nous avons commencé, celui d'une seule équation. Conformément à ce qui précède, celle-ci peut être considérée comme définissant un système de lignes à tracer sur une surface donnée.

Dans des cas très généraux, on peut admettre que cette surface est une sphère[16].

La propriété qui servira de point de départ sera alors celle sur laquelle nous avons déjà insisté tout à l'heure, savoir :

Deux courbes intégrales différentes ne peuvent se croiser, si ce n'est en un point singulier.

Les positions de ces points singuliers sont d'ailleurs connues à l'avance. Le premier soin de Poincaré fut l'examen de ce qui se passe aux environs de l'un d'entre eux. Il en trouva, conformément à ce que nous avons vu jusqu'ici, plusieurs espèces :

Les nœuds : c'est le rôle que jouent les pôles d'aimant dans notre premier exemple, les fonds et les sommets du terrain dans le second ;

Les cols, tels que nous les avons vus s'introduire à propos des lignes de pente ;

Les centres (exemple : un fond ou un sommet pour les lignes de niveau) ;

Enfin, une dernière catégorie : les foyers (voir la note de la page précédente).

En dehors de ces points, on peut utiliser la propriété fondamentale rappelée il y a un instant. Ce point de départ si ténu qu'il soit, donne à lui tout seul la solution du problème difficile qui nous occupe. Il suffit à cet effet, de l'appliquer non seulement à des courbes intégrales complètement différentes, mais à des arcs convenablement choisis d'une même courbe intégrale.

Mais si la méthode employée est, au fond, très simple, les résultats sont tout à fait imprévus et montrent que la solution n'était aucunement préparée par toutes nos connaissances antérieures sur ce sujet.

Les premiers exemples que l'on fut tenté d'invoquer, pour se faire une idée de la forme affectée par les courbes intégrales d'une équation différentielle, étaient évidemment fournis par les équations que l'on sait intégrer.

Or, la discussion de celles-ci conduit à des résultats qui se ressemblent tous, à bien peu de chose près. Pour nombre rentre elles, les choses se passent purement et simplement comme dans les courbes de niveau : toutes les courbes intégrales sont fermées. Tous les autres exemples où les calculs peuvent être menés jusqu'au bout rentrent dans deux ou trois catégories où il semble — si l'on veut me permettre ce langage très fantaisiste — que la nature ait peu varié ses effets.

Elle n'a pas, en réalité, l'imagination aussi pauvre. C'est ce que l'on reconnaît dès l'exemple des lignes de pente. Ici on ne peut déjà plus, en général, obtenir l'intégrale élémentairement ; mais il est évident que les lignes en question partent des sommets et aboutissent aux fonds (exception étant faite, toutefois, pour certaines d'entre elles, dites « lignes de faîte », qui aboutissent à un col).

Seulement, il y a, en général, plusieurs fonds et plusieurs sommets, et c'est l'un ou l'autre des fonds qui sert d'arrivée, suivant celle des courbes intégrales que l'on envisage : le passage des courbes qui aboutissent à un fond déterminé à celles qui aboutissent à un fond voisin se fait par l'intermédiaire d'une ligne de faîte.

Des dispositions de cette espèce sont déjà peu usuelles pour les équations différentielles dont l'intégrale générale a pu être écrite élémentairement.

Mais les résultats obtenus par Poincaré dans le cas général présentent un degré de complication de plus. Il existe alors un certain nombre de courbes intégrales qui sont des courbes fermées (des cycles, suivant la terminologie qu'il emploie). Toutes les autres, sauf celles qui aboutissent à des points singuliers[17], s'enroulent autour de certains de ces cycles (dits cycles limites) en s'en rapprochant de plus en plus, à la façon du spiral d'une montre. L'enroulement a d'ailleurs lieu autour de l'un ou de l'autre des cycles limites suivant que la courbe intégrale considérée est située dans l'une ou l'autre de certaines régions de la sphère.

Rien de tout cela ne pouvait être prévu à l'aide des exemples traités antérieurement. Non seulement ceux-ci donnaient une idée fausse des choses ; mais, on le remarquera, il était inévitable qu'il en fût ainsi.

Nos résultats sont, en effet, plus encore que tout à l'heure, contradictoires avec l'existence d'une intégrale générale que l'on puisse écrire avec les procédés élémentaires. Ils ne pouvaient, par conséquent, se rencontrer dans les problèmes que l'on avait résolus avant Poincaré. L'opinion s'était faite, jusque-là sur des figures exceptionnelles, dégénérées en quelque sorte, parce que c'étaient les seules que l'on avait su tracer.

Ces résultats, si extraordinaires, demandaient à être complétés par la recherche effective des cycles limites lorsque l'équation est donnée. C'est une question d'une extrême difficulté, même si l'on entend se borner à une détermination approximative.

Poincaré triomphe, totalement ou partiellement, suivant les cas, de cette difficulté en introduisant un second principe qui sert de fondement à toutes les autres recherches sur ce sujet.

Géométriquement parlant, il consiste à considérer le sens dans lequel une ligne prise arbitrairement est traversée par la courbe intégrale qui passe en un quelconque de ses points. Ce sens est connu, c'est-à-dire que si, par exemple, la ligne en question est fermée et limite une certaine aire de la sphère, on sait en chaque point si la courbe intégrale trouve cette ligne pour entrer dais l'aire ou pour en sortir. On est ainsi conduit à donner une importance particulière aux lignes « sans contact », le long desquelles ce sens ne peut changer.

⁂

Nous avons parlé jusqu'ici de figures tracées sur la sphère. Mais, par cela même que toutes nos conclusions sont qualitatives, elles ne changeront pas si nous déformons progressivement cette sphère. Allongeons-la, par exemple, de manière à lui donner la forme d'un œuf, voire même celle d'une poire ou boomerang. Si les lignes que nous avons tracées sur elle sont entraînées dans cette déformation, leur disposition générale et, par conséquent, les propriétés qui nous ont servi de point de départ, subsisteront.

Cette théorie est, par excellence, une de celles où l'on peut raisonner juste sur des figures fausses.

Toute équation différentielle du premier ordre rentre-t-elle donc dans la théorie précédente ?

Non, et de l'œuvre de Poincaré se dégage ici un nouvel enseignement essentiel. Comme il le rappelle à une occasion analogue[18], le dicton suivant lequel la géométrie est l'art de bien raisonner sur des figures mal faites, est exact ; mais « encore ces figures, pour ne pas nous tromper, doivent-elles satisfaire à une condition. »

« Les proportions peuvent être grossièrement altérées, mais les positions relatives des diverses parties ne doivent pas être bouleversées ».

Nous pouvons, autrement dit, déformer autant que nous le voulons notre sphère, mais sous la condition de ne produire, au cours de cette déformation, ni déchirure, ni, au contraire, adhérence entre parties primitivement séparées.

Or, on sait depuis longtemps qu'il y a des surfaces que l'on ne saurait obtenir par déformation de la sphère en respectant la condition précédente. Tel est le cas d'un tore, c'est-à-dire d'un anneau.

Si notre sphère était en verre et sortait du four, le verrier pourrait l'étirer en un tube fermé aux deux bouts, et même on pourrait concevoir qu'il courbe ce tube de manière à le fermer presque sur lui-même. Toutes ces déformations satisferaient à la condition que nous nous sommes imposée. Mais, pour achever de fermer le tube en anneau, il faudrait encore ouvrir les deux bouts et les aboucher l'un avec l'autre. Or, ces deux opérations sont de celles qui nous sont défendues.

L'étude des conditions moyennant lesquelles deux figures peuvent ou ne peuvent pas être ramenées l'une à l'autre par déformations continues, sous les conventions précédentes, s'appelle la Géométrie de situation ou Analysis situs.

Sa première intervention dans la science remonte à Riemann, avant lequel l'importance des distinctions telles que celle que nous venons de faire n'avait pas été soupçonnée. Le succès de cette intervention fut éclatant : grâce à elle, et à elle seule, fut véritablement fondée la théorie des fonctions algébriques dont les traits essentiels avaient échappé à Cauchy et à Puiseux.

Si remarquable que fût ce résultat, la portée générale n'en fut pas comprise. Avec Poincaré seulement et à la suite des travaux dont nous parlons en ce moment, il apparut que l'Analysis situs doit forcément dominer toute une classe de problèmes mathématiques, et en particulier la théorie des équations différentielles. Nous avons essayé précédemment[19], de faire concevoir les raisons pour lesquelles il en est ainsi ; nous n'y reviendrons pas. Contentons-nous de dire que, sur la disposition des courbes intégrales d'une équation différentielle, l'influence de la forme qu'affecte, au sens de la géométrie de situation, la surface sur laquelle sont tracées ces courbes est capitale et absolue.

Lorsque, après l'étude de la sphère, Poincaré entreprend, au même point de vue, celle du tore, il constate que ce second cas peut offrir une foule de circonstances nouvelles que le premier ne permettait nullement de prévoir. Encore s'en faut-il qu'il arrive toujours à déterminer exactement ce qui se passe.

Les difficultés, elles aussi, sont nouvelles, et telles qu'il est obligé de se poser un grand nombre de questions sans les résoudre.

Ces questions, qui soulèvent des problèmes ardus d'arithmétique, sont, depuis, restées sans réponse.

⁂

Le cas de l'équation du premier ordre — sur la sphère ou sur la terre — occupe les trois premiers mémoires sur les courbes définies par les équations différentielles. Les systèmes du second ordre, qui font l'objet du quatrième et dernier mémoire de cette série, et sur lesquels les principes précédents nous renseignent encore, mais sans nous faire connaître tout ce que nous avons besoin de savoir, offrent déjà les caractéristiques du cas général : c'est, au fond, l'étude générale des équations de la Dynamique, dont celles de la mécanique céleste sont un cas particulier, qui est ainsi abordée.

Elle se poursuit dans l'ouvrage qui devait pour la première fois consacrer la jeune gloire de son auteur en dehors du public proprement scientifique. C'est avec le Mémoire sur le problème des trois corps et les équations de la Dynamique que Poincaré remporta le prix dans le grand concours international ouvert à Stockholm en 1889, entre les mathématiciens du monde entier[20].

Le grand traité intitulé : Les Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste prolonge à son tour les deux Mémoires précédents ; c'est dans ces trois ouvrages et, aussi, dans une série d'articles insérés au Bulletin astronomique, que se développent les idées de Poincaré sur le problème des n corps.

L'œuvre est double : elle a un côté négatif et un côté positif. Poincaré, avant d'édifier, a dû commencer par renverser : tout au moins, il a dû limiter la portée des méthodes employées avant lui.

La première à laquelle on ait songé consiste, nous l'avons vu, à rechercher des intégrales du système.

Nous avons dit plus haut que dix seulement de ces intégrales avaient pu être découvertes. En peut-il exister d'autres exprimables par les moyens classiques de l'Analyse ? Il était vraisemblable que non.

La preuve rigoureuse d'impossibilités de cette nature est une catégorie de questions dont la difficulté a, de tout temps, éveillé l'intérêt des géomètres vraiment supérieurs. On sait que la démonstration de l'incommensurabilité entre le carré et sa diagonale, dans l'antiquité, celles de l'impossibilité de la quadrature du cercle et de la non-résolubilité des équations algébriques au delà du quatrième degré, dans les temps modernes, comptent à juste titre, parmi les plus belles conquêtes des mathématiques.

En ce qui concerne les intégrales des équations de la Mécanique céleste, une démonstration de l'impossibilité en question avait été partiellement fournie par Bruns, mais c'est à Poincaré qu'il fut donné de la compléter et d'établir en toute rigueur l'inexistence, non seulement d'intégrales algébriques, mais, plus généralement, d'intégrales uniformes (type le plus général que l'on puisse espérer atteindre avec les procédés usuels du calcul) autres que les intégrales classiques.

Le résultat ainsi obtenu n'intéresse pas moins l'analyste pur que l'astronome. Sa portée n'est pas limitée au système différentiel particulier qui fait l'objet de la Mécanique céleste. La même méthode qui l'a fourni, permet de discuter le nombre des intégrales uniformes des problèmes de la mécanique classique, et, lorsque ce nombre est insuffisant pour l'intégration, de trouver les seuls cas où il puisse s'accroître. Cette méthode est donc nécessairement à la base de toutes les recherches ultérieures sur ces sujets.

Elle ne doit pas moins attirer l'attention par les principes qu'elle fait intervenir. Elle a conduit Poincaré à étudier l'expression de la fonction (fonction perturbatrice), qui donne les seconds membres des équations différentielles, sous un jour nouveau : les propriétés de son développement font apparaître la conclusion demandée.

Mais celle-ci se dégage également sous une autre forme en partant des résultats qualitatifs dont nous parlerons un peu plus loin.

C'est ce dont le lecteur peut, dans une certaine mesure, se rendre compte d'après ce qui a été dit plus haut sur l'équation du premier ordre. À propos du cas le plus simple, celui de la sphère, nous avons vu que, par leur aspect même, les formes des courbes ne sont pas de celles qu'on aurait pu obtenir à l'aide des moyens classiques.

Des faits du même ordre se passent dans le cas général de la Mécanique céleste, dès que le nombre des corps en présence est supérieur à 2.

La recherche des intégrales étant illusoire, pour arriver à un résultat et calculer, à l'aide de la loi de Newton, les éphémérides des mouvements des astres, on a dû dès lors user de moyens de fortune et procéder par retouches, par approximations successives. Ce mode de calcul réussit en pratique ; mais on ne peut l'utiliser qu'à condition de ne pas être trop exigeant : il ne faut lui demander, ni de donner une exactitude indéfinie, ni de conduire à de bons résultats pour une période par trop longue, à plus forte raison de nous renseigner sur la question de la Stabilité du système solaire, laquelle fait intervenir l'indéfinie durée des siècles.

On peut dès lors d'autant moins regarder cette solution comme définitive qu' « il ne s'agit pas seulement de calculer les éphémérides, quelques années d'avance, pour les besoins de la navigation ou pour que les astronomes puissent retrouver les petites planètes déjà connues. Le but final de la Mécanique céleste est plus élevé : Il s'agit de résoudre cette importante question : la loi de Newton peut-elle expliquer à elle toute seule tous les phénomènes astronomiques ? Le seul moyen d'y parvenir est de faire des observations aussi précises que possible, de les prolonger pendant de longues années ou même de longs siècles et de les comparer ensuite aux résultats du calcul. Il est donc inutile de demander au calcul plus de précision qu'aux observations, mais on ne doit point non plus lui en demander moins. Aussi l'approximation dont nous pouvons nous contenter aujourd'hui deviendra-t-elle un jour insuffisante [21]. »

Or, dans les méthodes d'approximation classiques, on trouve l'expression approchée du résultat par la somme d'une série de termes ; mais ces termes sont de plusieurs sortes. Les uns sont périodiques : ils retrouvent leur valeur primitive après de simples fluctuations. Mais d'autres peuvent être proportionnels au temps et par conséquent, augmenter indéfiniment avec lui : c'est ce qu'on appelle des termes séculaires, sans parler d'autres encore qui participent à la fois de la nature des premiers et de celle des seconds.

Mais ce n'est pas tout : il y a des termes périodiques qui ressemblent beaucoup aux termes séculaires et ne sont pas moins gênants qu'eux : ce sont ceux qui ont une longue période (et dont la présence tient à ce que les temps de révolution de deux astres peuvent toujours être considérés, au moins approximativement, comme commensurables entre eux). En leur qualité de termes périodiques, ils reviennent à leurs valeurs primitives et chacun d'eux, par conséquent, ne peut croître au delà d'un certain maximum. Mais le retour à la valeur primitive peut être très tardif et le maximum très grand. C'est la difficulté classique des « petits diviseurs ».

Poincaré a eu lui-même l'occasion d'exposer (dans l'article cité de l'Annuaire du Bureau des Longitudes), les faits concrets qui correspondent à toutes ces circonstances de calculs et nous ne pouvons mieux faire que de lui emprunter cet exposé [22] :

« La remarque essentielle est que certaines causes, qui semblaient d'abord devoir faire varier ces éléments (les éléments qui déterminent les orbites des planètes assez rapidement, ne produisent en réalité que des variations beaucoup plus lentes.

« L'attraction de Jupiter, à distance égale, est mille fois plus petite que celle du Soleil ; la force perturbatrice est donc petite, et cependant, si elle agissait toujours dans le même sens, elle ne tarderait pas à produire des effets très appréciables.

« Il n'en est pas ainsi, et c'est là le point qu'a établi Lagrange. Au bout d'un petit nombre d'années, deux planètes qui agissent l'une sur l'autre ont occupé sur leurs orbites toutes les positions possibles ; dans ces diverses positions, leur action mutuelle était dirigée, tantôt dans un sens, tantôt dans le sens opposé, et cela de telle façon qu'au bout de peu de temps, il y avait compensation presque exacte. Les grands axes des orbites ne sont pas absolument invariables, mais leurs variations se réduisent à des oscillations de faible amplitude de part et d'autre d'une valeur moyenne. »

C'est cette compensation qui est mise en évidence, lorsque le calcul n'introduit que des termes périodiques.

Ce qui fait craindre, au contraire, l'intervention des termes séculaires et aussi celle des petits diviseurs, c'est que, « si les deux moyens mouvements [23] sont commensurables entre eux, au bout d'un certain nombre de révolutions, les deux planètes et le Soleil se retrouveront dans la même situation relative et la force perturbatrice agira dans le même sens qu'au début. La compensation dont j'ai parlé plus haut ne se produit plus alors, et l'on peut craindre que les effets des perturbations ne finissent par s'accumuler et devenir considérables. »

Pour juger de l'importance de tous ces inconvénients, il ne faut pas oublier qu'on est exposé à les rencontrer dans toute la suite du calcul, si loin qu'on le pousse. On ignore, en s'arrêtant à un stade quelconque d'approximation, si l'on a réduit l'erreur au-dessous de la limite voulue, puisqu'on ne sait pas si les approximations suivantes n'introduiront pas des termes susceptibles de devenir très grands. On ignore donc, dans ces conditions, si les approximations « convergent », c'est-à-dire serrent de plus en plus le résultat cherché à mesure qu'on les pousse plus loin ou, au contraire, divergent de manière à ne donner que des résultats sans valeur.

Tout ceci a, bien entendu, sa répercussion sur la question de la stabilité.

Poincaré, dans l'article cité tout à l'heure, rappelle combien de fois cette question a été « résolue », sans, pour cela, jamais cesser en réalité d'appeler de nouvelles recherches. C'est que le problème des n corps est, en vertu des remarques précédentes, un des « moins résolus » qui soient : avec les progrès accomplis dans sa solution évolue, en quelque sorte, la réponse qu'on peut essayer de donner à la question de la stabilité.

En première approximation, Lagrange et Laplace montrèrent qu'il ne s'introduisait pas de termes séculaires, ce qui signifie que la valeur moyenne dont il a été question plus haut n'éprouve que des changements extrêmement « lents, comme si la force qui les produisait était non plus mille fois, mais un million de fois plus petite que l'attraction solaire ».

Plus tard, Poisson étendit un résultat analogue à la seconde approximation. Autrement dit, « il montra que ces changements se réduisaient encore à des oscillations périodiques, autour d'une valeur moyenne qui n'éprouvait que des variations mille fois plus lentes encore ».

Ceci constitue une sorte de présomption en faveur de la stabilité, mais une simple présomption, puisqu'on ignore l'effet des approximations suivantes.

Aussi, au XIXe siècle, des développements en séries de forme nouvelle ont-ils été proposés pour exprimer les éléments des orbites planétaires.

Ils ont pour but de diriger le calcul de manière à ne jamais introduire que des termes périodiques.

La première difficulté de la question (celle qui provient des termes séculaires), est ainsi évitée. Mais la seconde — celle des petits diviseurs — subsiste ; et, par conséquent une question préjudicielle se pose : les séries ainsi obtenues — celles de Lindstedt, par exemple, dont les relations avec les recherches de Poincaré sont, nous allons le voir, particulièrement étroites — convergent-elles ? Faute de quoi, strictement parlant, elles n'ont aucun sens.

Cette question restait douteuse. Jusqu'à Poincaré, on était persuadé que sa solution dans le sens de l'affirmative démontrait la stabilité en question. On était même tenté de présumer celle-ci de par l'existence seule de séries telles que celles de Lindstedt.

En d'autres termes, si, grâce aux « petits diviseurs », les développements en séries, formés pour rendre compte des mouvements des corps célestes sont divergents, on tendait à croire qu'ils pouvaient cependant fournir sur certaines propriétés des solutions — particulièrement sur les propriétés qualitatives — les indications qu'on en déduirait en toute rigueur s'ils étaient convergents.

Ici encore, Poincaré montra qu'il n'en était rien, et que les défectuosités des méthodes précédentes ne sont pas fortuites et tiennent à la nature même des choses. Mais c'est ce que nous ne pouvons préciser, car tout se tient dans cette admirable série de découvertes, sans avoir parlé des résultats positifs.

⁂

L'un d'eux, la notion des invariants intégraux, vient rendre des services sinon égaux, du moins analogues à ceux qu'auraient pu fournir ces intégrales uniformes à la poursuite desquelles la Mécanique céleste doit renoncer. Comme elles, il fournit des quantités qui restent constantes pendant tout le cours du mouvement, seule propriété qui permette d'établir des relations directes entre des phases éloignées de celui-ci. Seulement, cette fois encore, il s'agit, non d'une courbe intégrale unique, mais de la considération simultanée des différentes courbes intégrales et des relations qu'elles ont entre elles.

C'est ce que nous ferons comprendre à l'aide du dernier exemple invoqué précédemment. Représentons-nous, cette fois, notre système d'équations différentielles comme définissant le mouvement d'une molécule fluide. Au lieu de considérer une seule trajectoire, c'est-à-dire le mouvement d'une molécule unique et déterminée, on considérera toutes les molécules qui, à un instant déterminé t, remplissent un volume déterminé V de l'espace. Si maintenant on envisage les nouvelles positions de ces mêmes molécules à un instant ultérieur T, celles-ci rempliront un nouveau volume, lequel sera visiblement, quel que soit T, équivalent à l'ancien.

Or, les choses se passent exactement de même pour les équations de la Dynamique, à ceci près que V désigne alors un volume tracé dans l'espace à un plus grand nombre de dimensions, pour le problème des n corps.

Ce volume V reste encore constant lorsque le temps varie : c'est, dans la terminologie de Poincaré, un invariant intégral.

Ainsi qu'il a été reconnu ensuite, cette belle découverte est déjà ancienne : on doit la faire remonter à Liouville.

Mais lors de sa première apparition, elle était passée inaperçue.

Elle avait même — tant son rôle est essentiel dans la Dynamique générale — été retrouvée une première fois (1871) par Boltzmann qui ignorait le résultat de Liouville comme Poincaré a ignoré l'un et l'autre ; elle est aujourd'hui à la base de toutes les théories cinétiques [24].

Mais à ce premier invariant intégral, Poincaré en joindra toute une série d'autres dont il indiquera les relavions avec le premier.

Le volume, tel qu'il vient d'être considéré, se présente plutôt comme le dernier terme d'une suite d'expressions possédant toutes la même propriété d'invariance.

L'exposé de M. Volterra aura déjà appris au lecteur l'importance qu'ont prise, avec Poincaré, les solutions périodiques des équations de la Dynamique, autrement dit des solutions qui sont figurées géométriquement par des courbes fermées.

On peut caractériser le rôle de ces solutions périodiques en disant qu'il est analogue, jusqu'à un certain point, à celui des points singuliers dont nous avons parlé plus haut, mais dans des conditions infiniment plus étendues et plus instructives pour nous.

Nous ne saurions faire comprendre ici toute la puissance de cette analogie. Contentons-nous d'indiquer comment Poincaré la constate dès le dernier Mémoire sur les courbes définies par les équations différentielles et, grâce à elle, transporte en second ordre les résultats qu'il avait obtenus dans l'étude du premier.

Soit une solution périodique d'un système du second ordre, c'est-à-dire, géométriquement parlant, une courbe fermée dans l'espace (il s'agit, cette fois, de l'espace ordinaire). En un point P de cette courbe, disposons une très petite cible de centre P que la courbe traverse en la perçant perpendiculairement en ce point. Un mobile qui parcourrait indéfiniment la courbe traverserait un nombre infini de fois la cible, toujours au même point P.

Considérons maintenant une autre solution du même système différentiel, très peu différente de la première. Si les deux solutions sont suffisamment voisines, on aura ainsi une seconde courbe C' qui percera également la cible à un nombre infini ou, en tout cas, très grand de reprises, mais cette fois, en des points, en général, différents les uns des autres.

Il pourra arriver que ces « points d'impact » successifs (puisque c'est ainsi qu'on nomme, en langage technique, les points d'arrivée des projectiles sur une cible) aillent en se rapprochant indéfiniment du centre P, ou, au contraire, qu'ils s'en éloignent progressivement jusqu'à sortir de la cible, ou commencent par se rapprocher du centre pour s'en éloigner avant de l'avoir atteint. Ils pourront même s'en approcher ou s'en éloigner en spirale (c'est-à-dire en tournant en même temps autour de ce point) ; ou enfin, quoique exceptionnellement, en faire le tour sans, finalement, s'en rapprocher ni s'en éloigner.

Si maintenant on joint chacun de ces points au suivant, on obtient une ligne dont la forme rappelle d'une manière frappante et inattendue celles des courbes intégrales d'une équation du premier ordre au voisinage d'un point singulier.

Poincaré met d'ailleurs en évidence la raison de ce parallélisme. Elle doit être cherchée dans l'étroite parenté qui existe entre l'étude des équations différentielles et celles, beaucoup moins avancées, des équations dites « aux différences finies ». Nous avons déjà dit que, à plusieurs reprises, Poincaré éclaira, par le même rapprochement, cette dernière question.

La figure ainsi obtenue suffit à nous faire connaître la disposition des arcs successifs de la seconde courbe intégrale C'. Chacun de ses points nous renseigne sur l'arc qui passe en ce point, car tous ces arcs, de part et d'autre de la cible (au moins tant qu'on n'est pas trop loin de celle-ci) cheminent plus ou moins parallèlement les uns aux autres et à la courbe primitive.

Dans le cas où les « points d'impact » successifs vont en se rapprochant indéfiniment du centre, Poincaré obtient ainsi les solutions asymptotiques, dont ce que nous avons dit sur les cycles limites dans les équations du premier ordre et du premier degré fait concevoir dans une certaine mesure la disposition et qui sont une importante conquête de la Mécanique analytique. Comme il arrivait au voisinage des cycles limites, les courbes qui représentent ces solutions asymptotiques suivent la courbe fermée qui sert de point de départ, en s'en rapprochant de plus en plus, mais sans jamais la rejoindre exactement.

Bien entendu, il ne faut pas oublier que notre système du second ordre est encore une image simplifiée des équations différentielles du problème des n corps (lesquelles constituent un système d'ordre 6n définissant des courbes dans l'espace à 6n dimensions et non plus dans l'espace ordinaire). Il reste donc à obtenir également les solutions asymptotiques pour les systèmes d'ordre supérieur, et même, dans cette généralisation, des difficultés d'une nature nouvelle apparaissent.

Mais Poincaré avait, dès son premier ouvrage, fourni à l'analyse les moyens qui devaient permettre de surmonter ces difficultés, de sorte qu'il put établir l'existence des solutions asymptotiques dans le cas général.

Ce sont des résultats de cet ordre qui expliquent comment, pour reprendre l'expression même de Poincaré [25], les solutions périodiques se sont montrées « la seule brèche par où nous puissions essayer de pénétrer dans une place jusqu'ici réputée inabordable » : Elles servent, non seulement en elles-mêmes, mais aussi et surtout comme intermédiaires permettant d'arriver aux autres solutions.

Entre autres conséquences, on obtient ainsi les résultats qualitatifs auxquels nous faisions allusion et qui montrent l'impossibilité d'intégrer au sens classique du mot.

L'existence même des solutions asymptotiques est déjà du nombre. Mais plus topique encore est l'exemple des solutions doublement asymptotiques, dont la mise en évidence a été l'une des grandes difficultés qu'ait surmontées Poincaré sur ce sujet.

Considérons une solution représentée par une courbe C' asymptotique à la courbe fermée C, et suivons la courbe C', dans le sens inverse de celui que nous avions adopté jusque-là. Nous la verrons commencer par s'écarter de C, puisque tout à l'heure, elle s'en rapprochait constamment. Mais dans certains cas, il se peut qu'après s'en être ainsi éloignée, elle tende à y revenir et à être, — lorsqu'on la suit dans notre nouveau sens, — également asymptotique à la même courbe C.

C'est surtout dans les systèmes différentiels d'ordre supérieur, dont les solutions sont représentées par des courbes tracées dans les espaces à un grand nombre de dimensions, que ces solutions doublement asymptotiques peuvent se présenter.

Poincaré a établi, — par des méthodes très délicates, nous l'avons dit, — qu'elles se rencontrent effectivement pour le cas de la Mécanique céleste et dès le problème des trois corps.

Mais elles s'y montrent avec des caractères très singuliers. Soit une solution périodique C, à laquelle sont doublement asymptotiques les solutions C', C''… Ces solutions représentent des mouvements : le double asymptotisme signifie donc que les courbes C', C''…, étaient, à une époque très reculée dans le passé, très près de C, et que (après s'en être sensiblement écartées), elles se retrouveront également très près de C, dans un avenir très lointain.

Dans le premier cas, elles étaient sur une certaine surface S, passant par C ; dans le second, elles seront sur une seconde surface analogue S'.

Mais l'ordre dans lequel elles se succèdent sur S'pourra être tout différent de celui dans lequel elles se succédaient sur S.

« Ce fait, pour peu qu'on prenne la peine d'y réfléchir, semblera une preuve éclatante de la complexité du problème des trois corps et de l'impossibilité de le résoudre avec les instruments usuels de l'Analyse. [26] »

Étant donnée cette importance des solutions périodiques, on ne s'étonnera pas que Poincaré en ait attribué une très grande à leur obtention.

Non seulement à maint endroit des Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste, ce problème d'une extrême difficulté, — même lorsqu'on le simplifie en admettant que les conditions où l'on opère sont très voisines de celles dans lesquelles l'intégration est connue — est traité et résolu dans une foule de cas, mais Poincaré le reprend sous une autre forme, dix ans plus tard, dans un mémoire des Transactions de la Société mathématique américaine.

C'est à ce même problème enfin, et cette fois, sous sa forme la plus difficile [27], qu'est allée l'une des dernières méditations de sa vie, celle qui a douloureusement ému tous ses admirateurs par le triste pressentiment qui s'y trouve exprimé : je veux parler du Mémoire des Rendiconti del Circolo matematico di Palermo écrit peu de mois avant sa mort.

Par une méthode de forme toute nouvelle, il montre que tout se ramène à un théorème de géométrie relatif aux transformations des figures planes et que, par conséquent, la démonstration de ce théorème équivaudrait à la résolution de la question posée, au moins dans le premier cas que l'on soit conduit à aborder.

Cette démonstration, que Poincaré s'excusait de ne pouvoir fournir, fut donnée, peu de mois après sa mort, par un géomètre américain, M. Birkhoff, de sorte que les résultats qu'il énonçait à titre hypothétique sont définitivement acquis aujourd'hui.

⁂

Invariants intégraux, solutions périodiques, solutions asymptotiques, sont les matériaux dont sont tissées les Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste. Nous ne saurions, sans entrer dans des détails techniques, parler ici des relations établies entre eux dans cet ouvrage ni de l'usage qui en est fait.

Essayons seulement le concevoir comment ces considérations peuvent être appliquées aux questions générales mentionnées plus haut et, en particulier, à la stabilité.

C'est encore en étudiant une courbe intégrale fermée C que, dans le quatrième Mémoire sur les courbes définies par les équations différentielles, Poincaré aborde ces questions ; elles interviennent à propos de la dernière des hypothèses que nous envisagions tout à l'heure relativement à la disposition des arcs successifs d'une même courbe intégrale C' voisine de C : à savoir, celle où leurs « points d'impact » se disposent en rond ou en ovale autour du centre, sans tendre, en fin de compte, à s'en rapprocher ou à s'en éloigner.

Dans ce cas, C peut être enfermée dans un tube annulaire de même qu'une circonférence peut être considérée comme située à l'intérieur d'un tore creux tel qu'une infinité de courbes intégrales C'soient entièrement situées sur la surface de ce tube : et cela même est possible d'une infinité de façons, car le tube peut être pris plus ou moins fin, et aussi fin qu'on le veut d'ailleurs.

Une telle disposition peut assurément exister ; mais, dans le cas d'un système différentiel quelconque, il est impossible de la reconnaître par un nombre fini d'opérations. Poincaré montre, en effet, qu'elle exige, pour être réalisée, une infinité de conditions (faute de l'une desquelles, après une circulation autour du centre, les points successifs se placeraient non sur le même ovale que les premiers d'entre eux, mais en dedans ou en dehors de cet ovale), et il est, par conséquent, impossible de s'assurer directement que toutes sont vérifiées.

Par contre, il en est autrement pour les équations de la Dynamique, et cela grâce aux invariants intégraux. Du moment qu'il existe un invariant intégral, point n'est besoin d'un calcul direct pour vérifier les conditions en question : on est, a priori, sûr qu'elles sont remplies.

Or, le calcul ainsi dirigé n'est autre que celui par lequel on forme les séries de Lindstedt ; et les conditions dont il s'agit ne sont autres que celles qui, dans cette formation, permettent de faire disparaître les termes séculaires.

C'est, au fond, de l'existence des invariants intégraux que résulte, par conséquent, la possibilité d'écrire ces séries, possibilité qui est d'ailleurs établie en s'affranchissant des hypothèses restrictives de Lindstedt lui-même.

L'existence de nos surfaces tubulaires est-elle donc démontrée ?

Nullement : les calculs précédents ne suffisent pas plus à l'établir que les séries de Lindstedt ne suffisent à décider la question fondamentale de stabilité : pour les unes comme pour les autres, la convergence reste douteuse au premier abord.

Poincaré va constater que les séries de Lindstedt sont divergentes ; mais il y a plus — et cette paradoxale découverte qui a bouleversé les conceptions des astronomes remonte aux premières années de son labeur, — il a montré précédemment que la convergence même de séries de cette nature ne pet mettrait pas, à elle seule, d'affirmer la conclusion demandée.

L'existence des séries en question ne peut pas même être regardée, en l'espèce, comme une présomption ; et la preuve, c'est que, dans les cas directement étudiés par Poincaré, la conclusion dont il s'agit est fausse. Tout en semblant vérifiée pendant tout le cours des approximations, elle tombe en défaut lorsqu'on passe au résultat exact.

Dans le problème particulier dont nous nous occupons en ce moment, non seulement le développement en série ne suffit pas à démontrer l'existence des surfaces tubulaires, mais, sur certains cas de cette nature, Poincaré montre qu'en fait ces surfaces n'existent pas toujours et que plusieurs dispositions très différentes sont possibles.

On voit alors « à quel point les difficultés que l'on rencontre en mécanique céleste, par suite des petits diviseurs et de la quasi-commensurabilité des moyens mouvements, tiennent à la nature même des choses et ne peuvent être tournées. Il est extrêmement probable qu'on les retrouvera, quelle que soit la méthode que l'on emploie ».

Disons tout de suite, d'ailleurs, qu'ici les conclusions de Poincaré ne furent pas purement négatives. S'il constate la divergence des séries en question c'est lui qui a montré pourquoi elles peuvent être néanmoins utiles et dans quelles conditions on pouvait en faire un usage légitime : pourquoi, autrement dit, tout en étant incapables de fournir une approximation indéfinie, même si on les poursuivait indéfiniment, elles permettent néanmoins, les masses perturbatrices étant petites, de pousser cette approximation jusqu'à un certain point, heureusement suffisant en pratique.

Mais en ce qui regarde le problème de la stabilité, il résulte de la discussion précédente, et aussi du Mémoire sur le problème des trois corps la question est reprise, sous une autre forme, pour le cas général, que les séries de Lindstedt, comme toutes les méthodes proposées jusque-là dans le même but, sont sans valeur.

Ce sont les invariants intégraux qui ont permis à Poincaré d'élucider, dans des cas relativement étendus, le problème de la stabilité des trajectoires, c'est-à-dire celui qui correspond, pour un système dynamique quelconque, le problème analogue à celui de la stabilité du système solaire.

Il constate tout d'abord que la stabilité a un sens différent chez Laplace qui a démontré cette stabilité en première approximation du second ordre.

C'est la stabilité au sens de Poisson (moins précis que celui de Laplace) que, dans une catégorie étendue de mouvements (laquelle toutefois n'embrasse pas notre système solaire), il a pu démontrer d'une manière rigoureuse et non plus approximative.

Par contre, son résultat a une signification toute différente de ceux qui avaient été obtenus antérieurement. Il ne concerne pas toutes les trajectoires sans exception, mais seulement à des trajectoires exceptionnelles près.

Les mots « trajectoires exceptionnelles » doivent s'interpréter, ici, à l'aide du Calcul des probabilités : ils veulent dire que, une trajectoire étant prise au hasard, la probabilité pour qu'elle soit une de celles qui mettent en défaut le théorème est infiniment petite (et non pas seulement très petite).

Autrement dit, il n'est pas absolument certain qu'une trajectoire arbitraire possède la stabilité à la Poisson, mais il y a infiniment peu de chances qu'il en soit autrement.

⁂

Poincaré fut ainsi une première fois amené par la Dynamique à faire intervenir le Calcul des probabilités. Celui-ci devait, par la suite, tenir une place importante dans son œuvre.

C'est le développement des théories moléculaires qui a imprimé au génie de Poincaré cette orientation. En même temps que les théories en question faisaient, comme nous l'avons dit, passer au second plan (du moins pendant une première phase du calcul) les équations aux dérivées partielles, au profit des équations différentielles ordinaires, elles avaient aussi pour effet de baser toutes les déductions sur le Calcul des probabilités.

La substitution des équations différentielles ordinaires aux équations aux dérivées partielles tendait évidemment à rapprocher les méthodes de la Physique mathématique de celles qui viennent de nous occuper, c'est-à-dire de celles de la Mécanique céleste. Grâce aux recherches ci-dessus mentionnées de Poincaré, on voit que l'introduction du Calcul des probabilités se trouvait agir dans le mème sens. C'est notons-le, sous la même forme que le Calcul des probabilités intervenait de part et d'autre. Nous avons vu précédemment que lé principe fondamental, à savoir l'existence de l'invariant intégral le plus usuel, est commun aux théories moléculaires et à la Dynamique de Poincaré.

Ce rapprochement entre les méthodes, Poincaré le retrouve d'une manière remarquable dans les résultats. Ce n'est pas un des traits les moins curieux du mouvement scientifique au XXe siècle que cette similitude constatée entre l'étude de molécules dont il entre des millions de millions dans un millimètre cube et celle d'astres séparés par des distances que la lumière met des milliers d'années à franchir, celles-là étant considérées pendant quelques milliardièmes de seconde et ceux-ci pendant des millions de siècles. Un astrologue du moyen âge y aurait sans doute vu un bel exemple de l'identité du microcosme et du mégacosme. Nous y voyons simplement un exemple, après beaucoup d'autres, des ressemblances que peuvent offrir les phénomènes les plus éloignés les uns des autres, lorsqu'ils sont régis par les mêmes équations.

Ce sont, tout d'abord, nos connaissances sur le mouvement des planètes qui nous ont aidés à comprendre la vie des molécules.

Mais l'inverse s'est produit lorsque, d'un unique système planétaire tel que le nôtre, on a voulu passer à la foule de ceux qui composent le monde stellaire, même limité à notre voie lactée. C'est Lord Kelvin qui émit pour la première fois une idée de ce genre ; mais c'est Poincaré qui montra tout ce qu'elle est capable de donner. Il suffit de parcourir son livre sur les Hypothèses Cosmogoniques pour voir combien de relations nous commençons à pénétrer, qui nous resteraient encore incompréhensibles, si nous n'avions à notre disposition les études statistiques — c'est l'expression consacrée — entreprise par les physiciens sur le perpétuel et inextricable grouillement des molécules.

Ce livre fut un des derniers de son existence. Il était digne d'en marquer le couronnement. Nul ouvrage ne nécessitait plus et ne met mieux en évidence cette universalité, cette maîtrise simultanée des domaines les plus divers, qui est une des caractéristiques de son génie. Pour éclairer les propriétés des molécules par celles des nébuleuses et inversement, il fallait dominer à la fois les unes et les autres. Il fallait un successeur de Laplace, qui fût en même temps un successeur de ceux qui ont fondé les théories moléculaires, des Clausius et des Boltzmann, pour écrire les Leçons sur les hypothèses cosmogoniques.

Jacques Hadamard.

1 L'essentiel sur ce point comme beaucoup d'autres, a été dit dans l'exposé de M. Volterra, auquel nous renvoyons à plusieurs reprises.
Poincaré. Rapport présenté au Congrès international de Physique, paris, 1900.

2 Voir plus loin pages 69-74

3 Ceci signifie qu'on doit considérer le mouvement, non seulement pendant un instant infiniment court, mais dans une partie infiniment petite du volume du corps mobile.

4 C'est ce que l'on nomme des équations « aux différences finies ».
Voir pages 25 et suiv. du chapitre rédigé par M. Volterra

5 Il existe une infinité de mouvements qui satisfont aux mêmes équations différentielles (et qui diffèrent par la façon dont les points mobiles sont lancés initialement). On ne donne le nom d'intégrales qu'aux quantités qui, tout en restant constantes au cours de chacun de ces mouvements, varient, en général, lorsque l'on passe de l'un à un autre. C'est ce qui a lieu pour l'exemple cité dans le texte.

6 Théoriquement parlant, il existe autant d'intégrales distinctes que d'équations à intégrer. Mais leur détermination est aussi difficile que le problème posé lui-même.

7 Conférence prononcée au Congrès international des Mathématiciens, Rome ; t. I, p. 173 des Actes du Congrès.

8 Voir surtout page 15.

9 Annuaire du Bureau des Longitudes, 1898

10 On va voir plus loin que cette sorte de points singuliers n'est pas la seule.

11 En pratique, ces trajectoires deviennent très voisines l'une de l'autre au fond d'une vallée, où elles suivent sensiblement (mais non exactement) une même ligne appelée thalweg.

12 Inversement, deux lignes de pente peuvent diverger tout en étant presque confondues au début, si, initialement, elles sont voisines de certaines d'entre elles, les lignes de faite.

13 On peut également obtenir des cols dans les spectres magnétiques dont nous avons parlé tout à l'heure : il suffit de recourir aux figures un peu plus compliquées que l'on obtient en faisant agir deux ou plusieurs aimants au lieu d'un seul. Les cols sont les points où les forces magnétiques dues à ces aimants s'équilibrent.

14 Cette dénomination de « centres » ne conviendrait pas à un maelstrom par lequel, comme le veut la légende, la surface liquide serait attirée tout en tournant autour de lui. Les molécules liquides décrivent alors, autour de ce point, non plus des sortes de cercles, mais des sortes de spirales qui iraient en se resserrant progressivement ; un tel point devrait, dans la théorie qui nous occupe, être qualifié de foyer.

15 C'est ce qui va de soi en particulier pour le problème des lignes de pente, lequel, si on le considère dans son ensemble, est relatif au globe terrestre.

16 Dans le cas des lignes de pentes, ces dernières existaient seules. Il en est de même dans le cas, d'ailleurs, tout analogue, du spectre magnétique, de sorte que ces deux exemples étaient, eux aussi, incapables de faire prévoir la solution générale.

17 Mémoire sur l'Analysis situs, journal de l'École Polytechnique, 2e série, 1ier cahier, p. 1.

Revue du Mois, 10 juillet 1909, p. 38-60.

18 Ce concours fut d'ailleurs tout à la gloire de notre pays ; car indépendamment du Mémoire de Poincaré, ce fut celui de M. Appell qui fut distingué.

19 Poincaré. Revue générale des Sciences, loc. cit., p. 1-2.

20 Voir aussi Tisserand et Andoyer, Leçons de Cosmographie, Paris.

21 On appelle ainsi des quantités inversement proportionnelles aux temps de révolution des planètes sur leur orbites respectives.

22 Le théorème sur la stabilité que l'on déduit, comme nous le verrons plus loin, des invariants intégraux, a été également énoncé et démontré par Gibbs, mais en 1898 seulement.

23 Poincaré, Les méthodes nouvelles de la Mécanique céleste, t. I, p. 82.

24 Poincaré, Revue générale des Sciences, t. II, p. 3, 1891.

25 La simplification dont nous parlions tout à l'heure n'est pas admise.

Henri Poincaré et la théorie des trois corps

Du problème des trois corps au chaos mathématique

Une erreur féconde du mathématicien Henri Poincaré

Le mémoire de Poincaré

Qu'est-ce qu'un démon de Laplace ?

Robert Paris — 2019-02-19T23:48:00Z

« Une intelligence qui, pour un instant donné, connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée, et la situation respective des êtres qui la composent, si d'ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ces données à l'analyse, embrasserait dans la même formule les mouvements des plus grands corps de l'univers et ceux du plus léger atome : rien ne serait incertain pour elle, et l'avenir comme le passé serait présent à ses yeux. »

« Nous devons envisager l'état présent de l'univers comme l'effet de son état antérieur, et comme la cause de celui qui va suivre. Une intelligence qui, pour un instant donné, connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée et la situation respective des êtres qui la composent, si d'ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ces données à l'analyse, embrasserait dans la même formule les mouvements des plus grands corps de l'univers et ceux du plus léger atome : rien ne serait incertain pour elle, et l'avenir, comme le passé, serait présent à ses yeux. L'esprit humain offre, dans la perfection qu'il a su donner à l'astronomie, une faible esquisse de cette intelligence. Ses découvertes en mécanique et en géométrie, jointes à celles de la pesanteur universelle, l'ont mis à portée de comprendre dans les mêmes expressions analytiques les états passés et futurs du système du monde. En appliquant la même méthode à quelques autres objets de ses connaissances, il est parvenu à ramener à des lois générales les phénomènes observés, et à prévoir ceux que les circonstances données doivent faire éclore. »

Pierre-Simon Laplace, « Essai philosophique sur les probabilités » (1819)

source

Qu'est-ce qu'un « démon de Laplace » ?

Un démon de Laplace, ce n'est pas le démon de la religion, mais plus proche du daemon de Socrate ! Ce serait une espèce d'esprit qui saurait les choses à notre place et qui saurait tout. Contrairement à la notion d'esprit supérieur, il s'agirait d'une connaissance complète du monde matériel par lui-même, ce qui suppose une prédétermination matérielle et non spirituelle… L'avenir y est complètement déterminé par le passé. Toute connaissance complète du passé entraîne la connaissance totale du futur.

Laplace a été précédé dans cette voie par Leibnitz et Boscovich.

Gotfried Leibniz :

« Tout se passe mathématiquement ... Si quelqu'un pouvait avoir une idée suffisante de l'intérieur des choses, et qu'il avait en outre suffisamment de mémoire et d'intelligence pour tenir compte de toutes les circonstances et les prendre en compte, il serait un prophète et verrait l'avenir dans le passé, présent comme dans un miroir. »

Le scientifique serbe Roger Joseph Boscovich (1711-1787) :

« Toute question, à l'exception des mouvements libres résultant d'une volonté arbitraire, doit décrire une ligne courbe continue dont la détermination peut être réduite au problème général suivant. Étant donné un nombre de points de la matière, et donné, pour chacun d'eux, le point d'espace qu'il occupe à un instant donné ; également donné la direction et la vitesse du mouvement initial si elles étaient projetées, ou la vitesse tangentielle si elles sont déjà en mouvement ; & étant donné la loi des forces exprimée par une courbe continue, qui contient cette théorie ; il est nécessaire de trouver le chemin de chacun des points, c'est-à-dire la ligne sur laquelle chacun se déplace. [...] Maintenant, bien qu'un problème de ce genre dépasse toutes les puissances de l'intellect humain, tout géomètre peut facilement voir jusqu'ici, que le problème est déterminé, et que de telles courbes seront toutes continues [... ] & un esprit qui avait les pouvoirs nécessaires pour traiter un tel problème de manière appropriée & était assez brillant pour en percevoir les solutions (& un tel esprit pourrait même être fini, à condition que le nombre de points soit fini, & la notion de la courbe représentant la loi des forces étaient données par une représentation finie), un tel esprit pourrait, à partir d'un arc continu décrit dans un intervalle de temps, si petit soit-il, par tous les points de la matière, dériver la loi des forces elles-mêmes ; [...] Maintenant, si la loi des forces était connue, et la position, la vitesse et la direction de tous les points à un moment donné, il serait possible pour un esprit de ce type de prévoir tous les mouvements et états ultérieurs nécessaires , & prévoir tous les phénomènes qui en découlent nécessairement. »

L'idée du déterminisme universel avait aussi été défendue par le baron d'Holbach :

« Dans un tourbillon de poussière qu'élève un vent impétueux ; quel qu'il paraisse à nos yeux, dans la plus affreuse tempête excitée par des vents opposés qui soulèvent les flots, il n'y a pas une seule molécule de poussière ou d'eau qui soit placée au hasard, qui n'ait sa cause suffisante pour occuper le lieu où elle se trouve, et qui n'agisse rigoureusement de la manière dont elle doit agir. Un géomètre qui connaîtrait exactement les différentes forces qui agissent dans les deux cas, et les propriétés des molécules qui sont mues, démontrerait que, d'après les causes données, chaque molécule agit précisément comme elle doit agir, et ne peut agir autrement qu'elle ne fait. » — Paul Henri Thiry d'Holbach, Système de la nature.

Simon de Laplace dans « Essai philosophique sur les probabilités » (1819) :

« Tous les événemens, ceux mêmes qui par leur petitesse, semblent ne pas tenir aux grandes lois de la nature, en sont une suite aussi nécessaire que les révolutions du Soleil. Dans l'ignorance des liens qui les unissent au système entier de l'univers, on les a fait dépendre des causes finales, ou du hasard, suivant qu'ils arrivaient et se succédaient avec régularité, ou sans ordre apparent ; mais ces causes imaginaires ont été successivement reculées avec les bornes de nos connaissances, et disparaissent entièrement devant la saine philosophie, qui ne voit en elles que l'expression de l'ignorance où nous sommes des véritables causes.

Les événemens actuels ont, avec les précédens, une liaison fondée sur le principe évident, qu'une chose ne peut pas commencer d'être, sans une cause qui la produise. Cet axiome, connu sous le nom de principe de la raison suffisante, s'étend aux actions mêmes que l'on juge indifférentes. La volonté la plus libre ne peut sans un motif déterminant, leur donner naissance ; car si toutes les circonstances de deux positions étant exactement semblables, elle agissait dans l'une et s'abstenait d'agir dans l'autre, son choix serait un effet sans cause : elle serait alors, dit Leibnitz, le hasard aveugle des épicuriens. L'opinion contraire est une illusion de l'esprit qui, perdant de vue les raisons fugitives du choix de la volonté dans les choses indifférentes, se persuade qu'elle s'est déterminée d'elle-même et sans motifs.
Nous devons donc envisager l'état présent de l'univers, comme l'effet de son état antérieur, et comme la cause de celui qui va suivre. Une intelligence qui, pour un instant donné, connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée, et la situation respective des êtres qui la composent, si d'ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ces données à l'analyse, embrasserait dans la même formule les mouvemens des plus grands corps de l'univers et ceux du plus léger atome : rien ne serait incertain pour elle, et l'avenir comme le passé, serait présent à ses yeux. L'esprit humain offre, dans la perfection qu'il a su donner à l'Astronomie, une faible esquisse de cette intelligence. Ses découvertes en Mécanique et en Géométrie, jointes à celle de la pesanteur universelle, l'ont mis à portée de comprendre dans les mêmes expressions analytiques, les états passés et futurs du système du monde. En appliquant la même méthode à quelques autres objets de ses connaissances, il est parvenu à ramener à des lois générales les phénomènes observés, et à prévoir ceux que des circonstances données doivent faire éclore. Tous ces efforts dans la recherche de la vérité, tendent à le rapprocher sans cesse de l'intelligence que nous venons de concevoir, mais dont il restera toujours infiniment éloigné. Cette tendance, propre à l'espèce humaine, est ce qui la rend supérieure aux animaux ; et ses progrès en ce genre, distinguent les nations et les siècles, et font leur véritable gloire.

Rappelons-nous qu'autrefois, et à une époque qui n'est pas encore bien reculée, une pluie ou une sécheresse extrême, une comète traînant après elle une queue fort étendue, les éclipses, les aurores boréales et généralement tous les phénomènes extraordinaires étaient regardés comme autant de signes de la colère céleste. On invoquait le ciel pour détourner leur funeste influence. On ne le priait point de suspendre le cours des planètes et du Soleil : l'observation eût bientôt fait sentir l'inutilité de ces prières. Mais comme ces phénomènes arrivant et disparaissant à de longs intervalles, semblaient contrarier l'ordre de la nature, on supposait que le ciel irrité par les crimes de la terre, les faisait naître pour annoncer ses vengeances. Ainsi la longue queue de la comète de 1456 répandit la terreur dans l'Europe, déjà consternée par les succès rapides des Turcs qui venaient de renverser le Bas-Empire. Cet astre, après quatre de ses révolutions, a excité parmi nous un intérêt bien différent. La connaissance des lois du système du monde, acquise dans cet intervalle, avait dissipé les craintes enfantées par l'ignorance des vrais rapports de l'homme avec l'univers ; et Halley ayant reconnu l'identité de cette comète, avec celles des années 1531, 1607 et 1682, annonça son retour prochain pour la fin de 1758 ou le commencement de 1759. Le monde savant attendit avec impatience, ce retour qui devait confirmer l'une des plus grandes découvertes que l'on eût faites dans les sciences, et accomplir la prédiction de Sénèque, lorsqu'il a dit, en parlant de la révolution de ces astres qui descendent d'une énorme distance : « Le jour viendra que par une étude suivie, de plusieurs siècles, les choses actuellement cachées paraîtront avec évidence ; et la postérité s'étonnera que des vérités si claires nous aient échappé. » Clairaut entreprit alors de soumettre à l'analyse les perturbations que la comète avait éprouvées par l'action des deux plus grosses planètes, Jupiter et Saturne ; après d'immenses calculs, il fixa son prochain passage au périhélie, vers le commencement d'avril 1759, ce que l'observation ne tarda pas à vérifier. La régularité que l'Astronomie nous montre dans le mouvement des comètes, a lieu sans aucun doute, dans tous les phénomènes. La courbe décrite par une simple molécule d'air ou de vapeurs, est réglée d'une manière aussi certaine, que les orbites planétaires : il n'y a de differences entre elles, que celle qu'y met notre ignorance.

La probabilité est relative en partie à cette ignorance, en partie à nos connaissances. Nous savons que sur trois ou un plus grand nombre d'évènemens, un seul doit arriver ; mais rien ne porte à croire que l'un d'eux arrivera plutôt que les autres. Dans cet état d'indécision, il nous est impossible de prononcer avec certitude sur leur arrivée. Il est cependant probable qu'un de ces évènemens pris à volonté, n'arrivera pas, parce que nous voyons plusieurs cas également possibles qui excluent son existence, tandis qu'un seul la favorise.

La théorie des hasards consiste à réduire tous les évènemens du même genre, à un certain nombre de cas également possibles, c'est-à-dire tels que nous soyons également indécis sur leur existence, et à déterminer le nombre de cas favorables à l'évènement dont on cherche la probabilité. Le rapport de ce nombre à celui de tous les cas possibles, est la mesure de cette probabilité qui n'est ainsi qu'une fraction dont le numérateur est le nombre des cas favorables, et dont le dénominateur est le nombre de tous les cas possibles.
La notion précédente de la probabilité suppose qu'en faisant croître dans le même rapport, le nombre des cas favorables, et celui de tous les cas possibles, la probabilité reste la même. Pour s'en convaincre, que l'on considère deux urnes A et B, dont la première contienne quatre boules blanches et deux noires, et dont la seconde ne renferme que deux boules blanches et une noire. On peut imaginer les deux boules noires de la première urne, attachées à un fil qui se rompt au moment où l'on saisit l'une d'elles pour l'extraire, et les quatre boules blanches formant deux systèmes semblables. Toutes les chances qui feront saisir l'une des boules du système noir, amèneront une boule noire. Si l'on conçoit maintenant que les fils qui unissent les boules, ne se rompent point, il est clair que le nombre des chances possibles ne changera pas, non plus que celui des chances favorables à l'extraction des boules noires ; seulement, on tirera de l'urne deux boules à la fois ; la probabilité d'extraire une boule noire de l'urne sera donc la même qu'auparavant. Mais alors on a évidemment le cas de l'urne B, avec la seule différence, que les trois boules de cette dernière urne soient remplacées par trois systèmes de deux boules invariablement unies.
Quand tous les cas sont favorables à un évènement, sa probabilité se change en certitude, et son expression devient égale à l'unité. Sous ce rapport, la certitude et la probabilité sont comparables, quoiqu'il y ait une différence essentielle entre les deux états de l'esprit, lorsqu'une vérité lui est rigoureusement démontrée, ou lorsqu'il aperçoit encore une petite source d'erreur.

Dans les choses qui ne sont que vraisemblables, la différence des données que chaque homme a sur elles, est une des causes principales de la diversité des opinions que l'on voit régner sur les mêmes objets. Supposons, par exemple, que l'on ait trois urnes A, B, C, dont une ne contienne que des boules noires, tandis que les deux autres ne renferment que des boules blanches, on doit tirer une boule de l'urne C, et l'on demande la probabilité que cette boule sera noire. Si l'on ignore quelle est celle des trois urnes qui ne renferme que des boules noires, en sorte que l'on n'ait aucune raison de croire qu'elle est plutôt C que B ou A ; ces trois hypothèses paraîtront également possibles, et comme une boule noire ne peut être extraite que dans la première hypothèse, la probabilité de l'extraire est égale à un tiers. Si l'on sait que l'urne A ne contient que des boules blanches, l'indécision ne porte plus alors que sur les urnes B et C, et la probabilité que la boule extraite de l'urne C sera noire est un demi. Enfin, cette probabilité se change en certitude, si l'on est assuré que les urnes A et B ne contiennent que des boules blanches.

C'est ainsi que le même fait, récité devant une nombreuse assemblée, obtient divers degrés de croyance, suivant l'étendue des connaissances des auditeurs. Si l'homme qui le rapporte en est intimement persuadé, et si, par son état et par son caractère, il inspire une grande confiance ; son récit, quelque extraordinaire qu'il soit, aura, pour les auditeurs dépourvus de lumières, le même degré de vraisemblance qu'un fait ordinaire rapporté par le même homme, et ils lui ajouteront une foi entière. Cependant si quelqu'un d'eux sait que le même fait est rejeté par d'autres hommes également respectables, il sera dans le doute, et le fait sera jugé faux par les auditeurs éclairés qui le trouveront contraire, soit à des faits bien avérés, soit aux lois immuables de la nature.

C'est à l'influence de l'opinion de ceux que la multitude juge les plus instruits, et à qui elle a coutume de donner sa confiance sur les plus importans objets de la vie, qu'est due la propagation de ces erreurs qui, dans les temps d'ignorance, ont couvert la face du monde. La Magie et l'Astrologie nous en offrent deux grands exemples. Ces erreurs inculquées dès l'enfance, adoptées sans examen, et n'ayant pour base que la croyance universelle, se sont maintenues pendant très long-temps, jusqu'à ce qu'enfin le progrès des sciences les ait détruites dans l'esprit des hommes éclairés, dont ensuite l'opinion les a fait disparaître chez le peuple même, par le pouvoir de l'imitation et de l'habitude, qui les avait si généralement répandues. Ce pouvoir, le plus puissant ressort du monde moral, établit et conserve dans toute une nation des idées entièrement contraires à celles qu'il maintient ailleurs avec le même empire. Quelle indulgence ne devons-nous donc pas avoir pour les opinions différentes des nôtres, puisque cette différence ne dépend souvent que des points de vue divers où les circonstances nous ont placés ! Éclairons ceux que nous ne jugeons pas suffisamment instruits ; mais auparavant, examinons sévèrement nos propres opinions, et pesons avec impartialité leurs probabilités respectives.

La différence des opinions dépend encore de la manière dont on détermine l'influence des données qui sont connues. La théorie des probabilités tient à des considérations si délicates, qu'il n'est pas surprenant qu'avec les mêmes données, deux personnes trouvent des résultats différens, surtout dans les questions très compliquées. Expliquons ici les principes généraux de cette Théorie. »

Fin de citation de Laplace.

Il importe de remarquer que le démon de Laplace n'est pas la seule conception possible du déterminisme, même si c'est la plus radicale et la plus connue. On notera, à l'extrême opposé à la conception de Laplace, le déterminisme chaotique. En somme, ce n'est pas « ou Laplace ou l'indéterminisme » !

On notera également que, si la physique quantique détruit la conception de Laplace, elle ne démolit pas nécessairement tout déterminisme. Des conceptions de la physique quantique comme celles de Planck, d'Einstein ou de Broglie, pour ne citer que ceux-là, sont déterministes. Pour certains physiciens quantiques, les inégalités d'Heisenberg détruisent complètement le déterminisme mais d'autres physiciens affirment seulement que c'est le mécanicisme qui est détruit, à savoir la conception des particules comme des objets en mouvement mécanique au lieu de structures dynamiques, sans cesse changeantes, en interaction avec le vide quantique. Les particules ne sont ni des corpuscules ni des ondes et ne peuvent pas être liées à un déterminisme des corpuscules ni à un déterminisme des ondes. Par contre, l'équation de Schrödinger est déterministe et elle concerne les quantons (complexe d'onde et de corpuscule).

De même, le passage du macroscopique au microscopique au sein de l'expérience, problème central de la physique quantique qui est contrainte de passer par des appareils et des observateurs macroscopiques pour étudier des phénomènes quantiques alors que les deux mondes ne suivent pas le même type de lois, a été parfois interprété dans un sens subjectiviste, l'intervention de l'observateur étant censée produire le résultat obtenu, mais cela n'est pas la seule interprétation. Dès que l'on raisonne sur des quantons, on peut interpréter des expériences comme celle des fentes de Young sans prétendre que c'est l'action de l'observateur qui dicte les résultats. La décohérence, qui explique ce passage entre deux niveaux de structure de la réalité, n'est pas indéterministe ni subjectiviste ! En fait, la physique quantique rend inutile l'affirmation de Laplace, au sens où cette affirmation suppose une connaissance parfaite d'un état initial, connaissance que la physique quantique affirme comme impossible. Elle en déduit une possibilité de prédire le passé comme le futur, mais, une fois admis que l'on ne connaît pas complètement un état à un instant donné, cette conclusion n'a plus de nécessité… Les inégalités d'Heisenberg empêchent toute connaissance absolue d'un paramètre, toute connaissance qui ne soit pas qu'une approximation. Du coup, la prédictibilité de tout phénomène quantique ne peut qu'être une certaine probabilité et non une certitude. Cela ne détruit pas totalement la prédictibilité puisqu'une probabilité est précisément et assurément prédite et ne détruit pas non plus tout déterminisme puisque les futurs possible sont loin d'être quelconques et sont déterminés par l'état passé. La causalité, la prédictibilité, le déterminisme se sont transformés mais n'ont pas disparu.

Il est apparu des complexes inséparables de phénomènes et de propriétés que l'on considérait comme incompatibles corpusculaire/ondulatoire, aléatoire/déterminé, durable/éphémère, réel/virtuel, actuel/potentiel, ordre/désordre, stable/instable, etc.

C'est une véritable dialectique de la nature qui apparaît et qui est aussi une dialectique du déterminé et de l'indéterminé…

Quelle différence entre un « démon de Maxwell » et un « démon de Laplace » ?

Le démon de Laplace pose la question de la prédictibilité et le démon de Maxwell celle de la réversibilité, ce qui est évidemment très différent. Ils ont en commun d'être des espèces d'esprit connaissant tout, jusqu'au plus petit des objets et de leurs mouvements.

Un démon de Laplace, c'est un démon mathématicien, un esprit capable de calculer toute position précédente ou suivante à partir d'une position précisément donnée. Un démon de Maxwell, c'est un esprit capable de trier les molécules pour faire revenir la thermodynamique d'un fluide dans sa position initiale malgré l'agitation désordonnée et aléatoire des molécules des fluides.

Pour créer un lien entre l'information et l'entropie, Maxwell a inventé un être hypothétique, un « démon », qui utilise son aptitude à traiter de l'information en la mémorisant afin de réduire l'entropie d'un gaz homogène (à une température donnée). En bref, le démon est capable de mesurer la vitesse des molécules de gaz et ouvrir ou fermer un clapet entre les deux compartiments en fonction de la vitesse des molécules, les maintenant d'un côté si elles vont vite, et de l'autre côté, si elles sont lentes. Cette action va construire deux compartiments, l'un chaud et l'autre froid, et inverser le temps, agissant apparemment contre le second principe de la thermophysique. Beaucoup de travaux ont été développés depuis cette première vision, et, afin d'éviter le paradoxe de l'inversion du deuxième principe, Leo Szilard a avancé l'idée que la création d'information requiert de l'énergie pour tenir compte de la façon dont le démon de Maxwell pourrait agir [Szilard, 1929]. La théorie de l'information a repris ce genre d'idées.

L'expérience pensée par Maxwell pour contredire le second principe de la thermodynamique est relativement simple à comprendre mais extrêmement difficile à mettre en œuvre, d'où la création de ce « démon ». Imaginons 2 compartiments contigus dans lesquels on a mis d'un coté un gaz froid et de l'autre un gaz chaud. Il existe une porte entre ces 2 compartiments et un démon peut l'ouvrir et la fermer à sa guise. Le démon, malicieux, ouvre la porte de manière à ce que les atomes rapides passent dans le compartiment chaud et que les atomes lents passent dans le compartiment froid. Ainsi, plus le temps s'écoule et plus le gaz chaud se réchauffe et plus le gaz froid se refroidit. Cette observation est en contradiction avec le second principe de la thermodynamique car les 2 compartiments voient leur entropie décroître : en effet, il y a plus d'ordre qu'au départ comme on a séparé les atomes rapides de ceux plus lents. La thermodynamique nous dit que dans le temps, les températures des 2 compartiments devraient converger vers la même valeur alors qu'ici ce n'est pas le cas.

Le démon, pour prendre les décisions de laisser passer ou de renvoyer une particule, est obligé de l'observer, donc d'utiliser l'information dont il dispose. La quantité d'information que cela représente est minime, mais si on passe au niveau microscopique, avec 1023 fois plus de molécules, l'information ainsi utilisée par le démon de Maxwell, que l'on suppose non disponible par l'observateur macroscopique, est importante. La baisse d'entropie découlant de l'exploitation des informations accessibles au démon correspond alors exactement à la différence entre information accessible à l'observateur macroscopique et information accessible au démon. L'impossibilité, pour l'observateur macroscopique, de faire de même que le démon passe donc par l'hypothèse selon laquelle prélever l'information accessible au démon exigerait, pour un observateur macroscopique, de dégrader de l'énergie mécanique en chaleur pour un montant faisant perdre au moins autant d'information (chiffrée par l'entropie macroscopique) que ce que l'opération d'acquisition d'information est censée en faire gagner.

Pourquoi ces démons sont affaiblis ou même pour l'essentiel abandonnés

Qu'est-ce qui a mis en cause ou détruit l'efficacité de ces conceptions, et notamment ces démons ? C'est le développement scientifique lui-même et même le développement mathématique qui ont démoli les conceptions non contradictoires dialectiquement de la connaissance. C'est aussi bien les développements de la connaissance de phénomènes du chaos déterministe et celle de la physique quantique.

En vertu du déterminisme universel, l'intelligence qui connaîtrait avec une absolue précision la position et l'énergie de tout objet dans la position initiale pourrait calculer l'évolution de l'univers à tout moment du temps. Déterminisme est dans ce cas synonyme de prédictibilité. Cependant, il existe des systèmes déterministes non prédictibles (voir théorie du chaos).

Les débuts de la Mécanique avaient fait croire à une prédictibilité générale en sciences comme le proclamait Laplace. Cela provient du fait que les lois que l'on connaissait jusque là permettaient de prédire : par exemple, la loi du mouvement du boulet. Mais ce n'est pas général. Connaître une loi ne signifie pas nécessairement pouvoir calculer l'état futur à partir de la connaissance des états passés.
Le déterminisme suppose en effet l'obéissance à des lois mais pas nécessairement la capacité de prédire. Et inversement, on peut parfaitement prédire ce que l'on ne comprend pas. Nous ne connaissons pas la nature de la gravitation même si on en connaît la loi mathématique qui nous permet de dire où atterrira un boulet de canon Mais des phénomènes non reproductibles sont-ils du domaine de la science ? Bien des commentateurs affirment que non. Selon eux, la validité des théories est établie uniquement si l'expérience présente des résultats que la théorie avait prédits. Il est vrai que c qui caractérise la démarche de la science, c'est la confrontation permanente entre théorie et expérience mais ce n'est pas une relation à sens unique.

Le physicien Werner Heisenberg rappelle dans « La partie et le tout » qu'Einstein répétait volontiers que « Seule la théorie décide de ce que l'on peut observer. » En effet, il faut des concepts et des outils d'analyse pour faire des mesures et, d'autres encore, pour concevoir l'expérience et l'interpréter. Et Heisenberg cite également Wolfgang Pauli, autre spécialiste de la physique quantique : « On peut avoir entièrement compris un certain domaine de la connaissance expérimentale sans pour autant pouvoir prédire exactement les résultats d'expériences futures. »

Quand on dit que la science se fonde sur l'expérience, il faut comprendre non seulement ce qui se produit en laboratoire mais aussi et surtout ce que produit la nature. Or la nature n'a parfois produit qu'une seule fois un phénomène, même si on en trouve des multiples reproductions (comme la vie sur terre et ses diverses manifestations). Et on n'a pas nécessairement les moyens de le reproduire ce qui n'empêche pas de raisonner dessus. Même une expérience reproductible ne l'est pas nécessairement à l'identique. Quant aux lois mathématiques, quand elles existent, ne sont pas forcément prédictives. Dans le cas d'une loi « sensible aux conditions initiales », c'est-à-dire être considérablement modifiée par un petit changement initial, tout changement infiniment petit des conditions de départ peut entraîner des divergences qualitatives par la suite. Dans ce cas, on ne peut prédire les suites d'un passé que si on le connaît au plus petit détail près, ce qui est irréalisable. Dans certains cas, une loi peut parfaitement permettre plusieurs « possibles ». C'est le cas pour une bifurcation. Il peut falloir alors une autre loi, à un autre niveau par exemple, pour que la nature tranche. L'ensemble des deux lois ressemble alors à s'y méprendre à du hasard.

Le principe d'incertitude d'Heisenberg s'oppose en physique quantique au démon de Laplace !!
Niels Bohr expliquait ainsi dans « Théorie atomique et description de la nature » :

« La mécanique quantique est en contradiction logique avec la causalité (...) Il n'y a pas pour le moment d'occasion de parler de causalité dans la nature, parce qu'il n'y a pas d'expérience qui indique sa présence. »

Mais le fondateur de la physique quantique Max Planck expliquait, dans « Initiation à la physique », pourquoi il ne comptait pas céder à la pression de l'opinion courante selon laquelle la découverte du quanta entraînait un renoncement à la notion de causalité mais seulement à son changement de signification :

« A l'heure actuelle, il y a des physiciens qui seraient très portés à retirer au principe de causalité strict son rôle dans le système physique de l'univers. (...) Mais, autant que je puis m'en rendre compte, il n'y a, pour le montent, aucune nécessité de se résigner à l'indéterminisme. (...) Il est toutefois certain que cette façon d'envisager le déterminisme diffère quelque peu de celle qui était habituelle en physique classique. »

Max Planck, dans « Initiations à la physique » (chapitre « La causalité dans la nature » :

« Je prendrai comme point de départ de toutes les considérations qui vont suivre cette petite proposition très simple et très générale : « Un événement est conditionné causalement quand il peut être prédit avec certitude. » Remarquons, cependant, que nous entendons seulement dire par là que la possibilité d'une prédiction exacte de l'avenir est un critérium certain de l'existence d'un lien causal ; mais nullement qu'elle s'identifie, en quelque façon, avec ce lien lui-même…

Dans le cas de la météorologie, il y a une idée qui vient tout naturellement à l'esprit, c'est que la complexité de l'objet sur lequel elle porte : l'atmosphère…

Mais, à y regarder de plus près, nous aboutissons à une constatation fort intéressante : quelques simples que soient les circonstances choisies, quelque précis que soient les instruments dont nous disposons, jamais il ne nous sera possible de calculer à l'avance le résultat d'une mesure avec une exactitude absolue, c'est-à-dire telle que les nombres trouvés par l'expérience et par le calcul coïncident dans toutes leurs décimales. Il y a toujours une certaine marge d'incertitude, contrairement à ce qui se passe dans les calculs purement mathématiques…

Si maintenant nous rapprochons ce fait de la proposition énoncée en premier lieu : un événement est conditionné causalement quand il peut être prédit avec certitude ; nous nous trouvons en présence d'un dilemme très désagréable, mais inévitable : ou bien nous maintenons la lettre de notre proposition et alors il n'y a pas dans la nature un seul cas où l'on puisse affirmer l'existence d'un lien causal ; ou bien nous maintenons a priori l'existence d'une causalité stricte et il devient nécessaire de modifier d'une manière ou d'une autre la proposition dont nous sommes partis.

En fait, la physique, jusqu'à présent, s'est bâtie sur le fondement de la seconde des deux alternatives dont nous avons parlé plus haut, c'est-à-dire que, pour conserver au principe de causalité toute sa rigueur, elle a modifié quelque peu son point de départ : à savoir l'affirmation qu'un événement est considéré comme conditionné causalement, quand il peut être prédit avec certitude. Dans ce but, elle a changé légèrement l'acception du mot « événement ». Pour la physique théorique, en effet, l' « événement » n'est pas le processus de mesure, pris en lui-même ; car ce dernier contient toujours des éléments fortuits et accidentels ; c'est un certain phénomène purement imaginaire qui a lieu dans un monde qui tient lieu et place du monde sensible tel que nous le font connaître directement les organes de nos sens, aidés au besoin et perfectionnés par l'usage des instruments de mesure…

Par la suite, en physique, toute grandeur mesurable, qu'il s'agisse d'un intervalle de temps, d'une longueur, d'une charge électrique, a une double signification, selon qu'on la considère comme étant le résultat immédiat d'une mesure ou qu'on la suppose se rapporter à ce modèle appelé par nous « image représentative physique de l'univers ».

Dans la première acceptation, une grandeur doit toujours être considérée comme étant définie d'une manière imprécise ; c'est pourquoi elle ne saurait être représentée par aucun nombre déterminé ; dans la seconde acceptation, une grandeur est au contraire un symbole mathématique déterminé sur lequel on opère en observant des règles d'une rigueur absolue…

Il est donc absolument faux de dire, comme on le fait parfois, que l'image physique de l'univers ne doit contenir que des grandeurs directement observables…

En résumé nous pouvons dire que la prévision des événements du monde sensible est toujours plus ou moins entachée d'incertitude, alors que les lois qui régissent l'image représentative physique de l'univers sont toujours déterminées par une causalité stricte…

La nouvelle image représentative de l'univers, celle qui est le fait de la physique quantique, est justement issue du besoin d'établir un déterminisme strict qui soit compatible avec l'existence du quantum d'action. Dans ce but, le point matériel, élément primordial de l'ancien univers, a été dépouillé de son caractère élémentaire, il s'est dissous, en quelque sorte, dans un système d'ondes matérielles…

Les indéterministes ont précisément trouvé dans ce fait l'occasion d'une nouvelle attaque contre le principe de la causalité et, cette fois, leur effort semblait avoir pour lui toutes les chances de succès ; car, de toutes les mesures que l'on peut effectuer, on ne peut jamais déduire qu'une fonction ondulatoire à signification purement statistique... Nous rappellerons seulement ici, pour mémoire, l'exemple de l'électron dont la trajectoire sera d'autant plus facilement perturbée que l'on cherchera à l'éclairer de façon à connaître sa position d'une manière plus précise….

Dans ces conditions, il est donc tout naturel de penser qu'un esprit idéal qui connaîtrait tous les phénomènes physiques d'aujourd'hui, jusque dans leurs moindres détails, pourrait prophétiser avec une certitude absolument parfaite, toutes les particularités du temps qu'il fera demain. Il en irait de même pour tout autre sorte de phénomène…

On pourrait, certes, nous opposer que cet esprit n'est qu'une construction mentale et qu'en fin de compte, notre cerveau lui-même se compose d'atomes obéissant aux lois physiques ; mais un peu de réflexion nous montre que cette objection ne tient pas debout. Il est, en effet, indubitable que nos pensées peuvent nous mener très loin des lois naturelles connues de nous et que nous pouvons concevoir des phénomènes qui n'ont rien à voir avec la physique réelle. On ne saurait pas davantage affirmer que l'esprit idéal dont nous parlons ne peut exister que dans la pensée humaine et qu'il a son existence liée à celle de l'esprit pensant, car pour être logique il faudrait admettre que le soleil, que le monde extérieur tout entier, ne peuvent exister que dans nos sens et, pourtant, tout homme raisonnable est convaincu que le soleil ne perdrait pas la moindre fraction de son éclat, même si le genre humain tout entier venait à être exterminé...

D'ailleurs nous devons bien nous garder de considérer cet esprit comme analogue en quelque façon que ce soit à notre propre esprit. »

Répondant notamment à Heisenberg, Louis de Broglie déclarait le 25 avril 1953 :

« Tandis que tous les grands maîtres de l'époque classique, depuis Laplace jusqu'à Henri Poincaré, ont toujours proclamé que les phénomènes naturels étaient déterminés et que la probabilité, quand elle s'introduit dans les théories scientifiques, résultait de notre ignorance ou de notre incapacité à suivre un déterminisme trop compliqué, dans l'interprétation actuellement admise de la Physique quantique, nous avons affaire à de la « probabilité pure » qui ne résulterait pas d'un déterminisme caché. Dans des théories classiques comme la théorie cinétique des gaz, les lois de probabilités étaient considérées comme résultant de notre ignorance des mouvements entièrement déterminés, mais désordonnés et complexes, des innombrables molécules du gaz : la connaissance des positions et des vitesses des molécules nous aurait en principe permis de calculer rigoureusement toute l'évolution du gaz, mais en pratique les probabilités s'introduisent par suite de notre ignorance de la valeur de ces paramètres cachés. Or, l'interprétation purement probabiliste de la Mécanique ondulatoire rejette une telle interprétation des lois de probabilités qu'elle fournit : ces lois ne résulteraient pas de notre ignorance des paramètres cachés qui seraient les coordonnées et la vitesse du corpuscule, car ces paramètres cachés n'existeraient pas, le corpuscule ne pouvant se manifester avec une position ou avec une vitesse bien définie que fugitivement au moment d'une observation ou d'une mesure. La probabilité en Physique quantique ne résulterait plus d'une ignorance : elle serait de la contingence pure… »

Georgio Israël, dans « Chaos et déterminisme » (ouvrage collectif, chapitre « L'histoire du déterminisme et ses rencontres avec les mathématiques ») :

« Quand on parle aujourd'hui de déterminisme, l'esprit court immédiatement à Laplace et à l'introduction de son « Essai philosophique sur les probabilités »… La lecture du texte de Laplace montre qu'à l'évidence son déterminisme est un causalisme métaphysique à la Leibniz. On y trouve en effet une référence explicite au principe de raison suffisante ; et la lecture des parties plus philosophiques de l' « Essai » ne fait que renforcer cette impression. Même si on a proposé des interprétations plus subtiles, les analyses les plus récentes semblent reconnaître que le point de vue de Laplace est inspiré d'une vision matérialiste, mécaniste et causaliste absolue. C'est même cette vision qui fournit, à ses yeux, la seule justification possible de l'utilisation du calcul des probabilités dans l'analyse scientifique…

Dans l'introduction à une réédition de l' « Essai », René Thom observe :

« A l'époque où Laplace écrivit l'essai, on avait intégré de nombreuses équations différentielles, mais il n'existait aucun théorème permettant d'affirmer qu'une telle intégration était effectivement toujours possible… » (…)

L'a priori de la formulation par Laplace du déterminisme en langage pré-mathématique était une conception philosophique causaliste. La métaphysique ouvre le chemin et les mathématiques suivent.

Faut-il considérer le principe causaliste comme le reflet philosophique d'une intuition physique de la nature causale des phénomènes… Il n'en est rien. Non seulement parce que l'approche de Laplace n'a rien d'expérimental, mais aussi parce que le contenu du théorème d'existence et d'unicité (des solutions d'une certaine catégorie d'équations différentielles assez régulières) a beaucoup de points de divergences avec le principe causaliste. »

Chabert et Dahan Dalmedico, dans « Chaos et déterminisme » (chapitre « Les idées nouvelles de Poincaré » :

« Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard. Si nous connaissions exactement les lois de la nature et la situation de l'Univers à l'instant initial, nous pourrions prédire exactement la situation de ce même Univers à un instant ultérieur. Mais, lors même que les lois naturelles n'auraient plus de secret pour nous, nous ne pourrions connaître la situation initiale qu'approximativement. Si cela nous permet de prévoir la situation ultérieure avec la même approximation, c'est tout ce qu'il nous faut, nous disons que le phénomène a été prévu, qu'il est régi par des lois ; mais il n'en est pas toujours ainsi, il peut arriver que des petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les phénomènes finaux ; une petite erreur sur les premières produirait une erreur énorme sur les derniers. La prédiction devient impossible et nous avons le phénomène fortuit. »

Dans cet extrait de « Science et Méthode » (1908), devenu aujourd'hui un grand classique, Henri Poincaré souligne à l'évidence la possibilité d'une « sensibilité aux conditions initiales » et la distinction qui en résulte entre déterminisme et prédictibilité. En fait, les travaux de Poincaré vont bien au-delà et il apparaît maintenant comme le génial initiateur des études contemporaines dans la théorie mathématique des systèmes dynamiques, travaux qui relancent sur de nouvelles bases les réflexions concernant le déterminisme et la prédictibilité…

Les systèmes dynamiques sont des systèmes évoluant au cours du temps et mathématiquement décrits par des équations différentielles, cette description exprimant le caractère déterministe de leur évolution. La théorie cherche notamment à préciser les comportements asymptotiques de tels systèmes, c'est-à-dire ce que les solutions de ces équations différentielles sont susceptibles de devenir au bout d'un temps long…

Dès le début de ses travaux, Poincaré avait conçu l'étude qualitative des équations différentielles en relation avec la question de la stabilité du système solaire. En effet, cette stabilité est une propriété qualitative globale de la trajectoire des planètes, que ne permettraient pas d'établir les méthodes analytiques utilisées jusque-là par les astronomes. Poincaré s'est attaqué au problème dans son célèbre mémoire « Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique », couronné du Grand Prix international offert par le roi de Suède en 1889, puis dans les « Méthodes nouvelles de la mécanique céleste. On peut distinguer deux aspects dans ses travaux : l'un est relatif à la possibilité de prévoir effectivement le mouvement des planètes, notamment par le calcul des éphémérides ; l'autre est théorique et consiste à développer des méthodes et des concepts puissants, valables non seulement pour notre système solaire dans ses conditions actuelles, mais aussi pour des systèmes dynamiques newtoniens quelconques dont on ne connaît a priori aucune solution…

Dans son œuvre, Poincaré discute du théorème de récurrence : un système dynamique reviendra arbitrairement près de son état initial, sauf pour un ensemble de cas exceptionnels de probabilité nulle. Ils interviennent aussi dans le modèle de fluide incompressible utilisé par Poincaré pour illustrer la notion d'invariant intégral… D'où la propriété de densité des trajectoires des molécules dans l'espace de phase, ce que l'on appelle maintenant l'hypothèse ergodique. Boltzmann la formule dans le cadre de la mécanique statistique et Maxwell en théorie cinétique des gaz…

Dans un mémoire de 1894, Poincaré discute, très précisément, le modèle de théorie cinétique des gaz, qu'il attribue alors uniquement à Maxwell. Ce modèle était en butte aux critiques de plusieurs savants, notamment Lord Kelvin ; Poincaré en résume l'idée fondamentale :

« Dans une problème de mécanique, il y a certaines fonctions des coordonnées et de leurs dérivées qui doivent demeurer constantes pendant toute la durée du mouvement. C'est ce qu'on appelle des intégrales… Maxwell admet que, quelle que soit la situation initiale du système, il passera toujours une infinité de fois, je ne dis pas par toutes les situations comparables à l'existence des intégrales, mais aussi près que l'on voudra d'une quelconque de ces situations. C'est ce que l'on appelle le postulat de Maxwell. » (…) Poincaré cite d'autre corollaires comme le fait que les vitesses soient uniformément distribuées dans toutes les directions. Tous ces résultats sont fondés sur le concept de « valeur moyenne » ; selon Poincaré, il s'agit toujours de la moyenne prise à la fois par rapport au temps et par rapport aux diverses molécules du gaz : « C'est la moyenne des moyennes, pour ainsi dire. C'est elle seule, en effet, qui peut être supposée accessible aux observations. »

Poincaré ajoute : « Si le postulat de Maxwell est la véritable pierre angulaire de la théorie cinétique des gaz qui s'écroulerait sans lui…, il ne repose que sur une base bien fragile. »

Poincaré puise dans ses résultats de mécanique céleste de quoi suspecter sa validité universelle….

« Si le postulat était vrai, le système solaire serait instable : s'il est stable en effet, il ne peut passer que par des situations différentes de sa situation initiale. Or, si la stabilité n'est pas démontrée, l'instabilité l'est encore moins et est même peu probable. Il est possible et même vraisemblable que le postulat de Maxwell est vrai pour certains systèmes et faux pour d'autres, sans qu'on ait aucun moyen de discerner les uns des autres. Il est permis de supposer provisoirement qu'il s'applique aux gaz tels que la théorie cinétique les conçoit ; mais cette théorie ne sera solidement assise que quand on aura justifié cette supposition mieux qu'on ne l'a fait jusqu'ici. »

« Le déterminisme de Simon de Laplace et le déterminisme aujourd'hui » de Amy Dahan Dalmedico dans « Chaos et déterminisme » :

« La conviction « déterministe » de Laplace s'impose d'emblée et est assez courante à cette époque, bien que ce mot n'ait pas été en usage au XVIIIe siècle. L'astronomie, sous sa forme de mécanique céleste, avait fourni le paradigme par excellence de ce déterminisme, entendu au sens de la possibilité de prédiction, par le calcul ou la loi mathématique ; l'idée que le monde est écrit en langage mathématique, selon l'expression de Galilée, est à son apogée, notamment après le calcul par Clairaut du retour de la comète de Halley…

La formulation laplacienne du déterminisme possède, nous le savons maintenant, une contrepartie mathématique : le théorème d'existence et d'unicité des solutions des équations différentielles. Certains ont pu penser que Laplace l'avait extrapolé à partir de la constatation mathématique simple qu'une équation différentielle linéaire du second ordre possède une unique courbe solution, passant par un point donné, avec une tangente donnée ; autrement dit, en termes mécaniques, un corps en mouvement, soumis à une force qui ne dépend que de la position spatiale du corps, a une trajectoire entièrement déterminée dès que la position et la vitesse à un instant donné le sont. Mais, à cette époque, aucun résultat mathématique sur ce sujet n'est connu et le premier théorème précis est prouvé par Cauchy, dans les années 1830.

De plus, en mécanique céleste, les choses sont beaucoup plus compliquées puisqu'on est confronté, non pas à une équation différentielle, mais à un système différentiel provenant d'un problème à n corps et Laplace savait mieux que quiconque qu'on était incapable, à ce jour, de les résoudre, à peine d'en approcher les solutions.

C'est tout simplement dans le cadre d'une métaphysique matérialiste mécaniste…. il vaudrait mieux, pensons-nous, parler de déterminisme ontologique global, fondé sur une intime conviction métaphysique : la nature est connaissable, elle obéit aux lois mathématiques…

Trois éléments caractérisent le déterminisme de Pierre-Simon Laplace : la conviction – d'ordre métaphysique – du déterminisme global de la nature et de la structure causale de cette dernière, conviction indissolublement liée à un idéal d'intelligibilité du monde ; l'affirmation corrélative de la possibilité de prédiction par les lois mathématiques ; enfin, le réductionnisme mécaniste. »

« Le chaos dans le système solaire » de Ivars Peterson :

« En 1773, Pierre Simon de Laplace, alors âgé de 24 ans, fut l'un des premiers scientifiques à tenter de prouver la stabilité du Système solaire. A cette époque, les avis étaient partagés. Isaac Newton pensait qu'une intervention divine était de temps en temps nécessaire pour restaurer l'ordre dans le Système solaire, « remettre les pendules à l'heure », et empêcher sa désintégration. Leonard Euler, impressionné par la difficulté du calcul du mouvement de la Lune, jugeait impossible la prise en compte des innombrables forces et des interactions complexes que devait intégrer tout modèle réaliste du Système solaire. Selon lui, toute prévision concernant le destin du Système solaire était illusoire.

Tous les phénomènes naturels sont la conséquence d'un petit nombre de lois simples et immuables, pensait Laplace. Fort de cette conviction, il appliqua sa fantastique puissance de calcul à la détermination de la dynamique du Système solaire. Son analyse achevée, il conclut à la stabilité du Système solaire : les planètes parcourent éternellement leurs cycles compliqués, sans jamais s'éloigner des trajectoires qui leur sont assignées….

La laborieuse démonstration de la stabilité du Système solaire donnée par Laplace s'appliquait à un Système solaire idéalisé et non au monde réel. Son modèle négligeait tout un ensemble d'influences gravitationnelles subtiles qui auraient changé les conclusions de son analyse…

En général, les formules obtenues en résolvant les équations différentielles suffisent pour prévoir l'avenir ou déduire le passé des corps célestes. Idéalement, si l'on connaissait à un instant donné la position et la vitesse de toutes les particules matérielles présentes dans le Système solaire, on pourrait déterminer le mouvement ultérieur de ces particules… Cependant, les calculs exploratoires de Newton et, surtout, les travaux réalisés ultérieurement par de nombreux scientifiques, démontrèrent combien il était difficile de résoudre les équations différentielles associées à des systèmes contenant plus de deux corps…

Dans l'introduction d'un recueil rassemblant ses premiers articles sur les équations différentielles, Poincaré écrivit : « Ne peut-on se demander si l'un des corps restera toujours dans une certaine région du ciel ou bien s'il pourra s'éloigner indéfiniment ; si la distance de deux corps augmentera, ou diminuera à l'infini, ou bien si elle restera comprise entre certaines limites ? Ne peut-on se poser mille questions de ce genre, qui seront toutes résolues quand on saura construire qualitativement les trajectoires des trois corps ? »

Poincaré démontra d'abord que si les équations décrivant un système de trois corps en interaction gravitationnelle établissent une relation bien définie entre le temps et la position des corps, il n'existe pour autant aucun raccourci de calcul général, aucune formule magique, permettant de prédire les positions à long terme. Autrement dit, les séries déduites de la théorie des perturbations divergent. Le système newtonien laisse une place énorme à l'imprévisible, et la question de la stabilité ne peut être tranchée par le simple examen des séries divergentes associées aux solutions des équations de mouvement du Système solaire.

Cependant, si le problème des trois corps ne possède aucune solution complète pouvant être exprimée sous une forme concise, il admet des solutions approximatives aussi précises que l'on veut. Cela signifie que le calcul des premiers termes d'une série faisant intervenir une variable mesurable donne une réponse satisfaisante pour un large éventail d'applications. C'est cette propriété qui permit de calculer les positions planétaires et lunaires pendant des siècles et qui permet aujourd'hui encore de perfectionner les calculs…

C'est au cours de ces recherches que Poincaré entrevit pour la première fois ce que nous appelons aujourd'hui le chaos dynamique, et qu'il commença à en prendre la mesure…

Poincaré a découvert que les équations fondamentales régissant le mouvement de trois corps en interaction gravitationnelle présentent une sensibilité aux conditions initiales. Bien qu'il ait restreint son analyse au contexte étroit de la mécanique céleste, son raisonnement vaut pour toute la mécanique newtonienne…. La découverte de Poincaré implique qu'un système entièrement régi par des lois exactes et incontournables peut malgré tout présenter un comportement imprévisible, apparemment aléatoire. Cela signifie que de nombreux phénomènes physiques sont, dans une certaine mesure, imprévisibles : on ne peut déterminer l'état futur du système correspondant avec une précision suffisante…

Poincaré revint à maintes reprises sur ces questions pour tenter de préciser la nature et la portée de l'incertitude intrinsèque qu'il avait découverte. »

En découvrant le chaos déterministe, Poincaré a amené notamment à récuser la thèse de Laplace que sa philosophie aurait volontiers acceptée. La meilleure preuve en est que ses propres travaux allaient être rapidement contredits puisqu'il concluait que le système solaire était stable ce que, par la suite, il allait lui-même corriger. Par contre, il a inventé à cette occasion la plupart des méthodes théoriques aujourd'hui appliquées dans un domaine qui n'existait pas à l'époque : l'étude des systèmes dynamiques, autrement appelée chaos déterministe. Il écrit : « Une cause très petite qui nous échappe détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir et alors nous disons que cet effet est dû au hasard ». C'est la notion de sensibilité aux conditions initiales.

Dans « Science et méthode », Henri Poincaré explique que l'origine de l'apparence de hasard par le caractère des lois universelles pour lesquelles un petit changement peut produire un grand effet. Du coup, il faudrait connaître tous les détails de la situation, à toutes les échelles, pour prédire : « Si nous connaissions exactement les lois de la nature et la situation de l'univers à l'instant initial, nous pourrions prédire la situation de ce même univers à un instant ultérieur. Mais, lors même que les lois naturelles n'auraient plus de secret pour nous, nous ne pourrons connaître la situation initiale qu'approximativement (...). Il peut arriver que des petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les phénomènes finaux ; une petite erreur sur les premières produirait une erreur énorme sur les derniers. La prédiction devient impossible et nous avons le phénomène fortuit. » C'est la notion de « sensibilité aux conditions initiales ».

Sa conclusion est qu'avec trois corps interagissant par attraction gravitationnelle on a déjà du chaos c'est-à-dire un phénomène obéissant à la propriété de la sensibilité aux conditions initiales : un tout petit changement de celles-ci peut entraîner un grand changement de la suite de l'évolution. Rappelons que cette thèse révolutionne la conception que l'on avait de la gravitation depuis Newton. Ce dernier pensait que si l'on connaissait précisément les positions et les vitesses de tous les corps célestes on pouvait connaître à tout moment la suite des positions. Poincaré infirme cette thèse. Essayons d'expliquer pourquoi. Je vous rappelle que pour deux corps, du moment que l'on connaît la masse des deux corps et les données de position et de vitesse à l'instant initial on peut calculer les positions des deux corps à tout instant. On connaît en effet une solution analytique qui indique le mouvement et il y a une seule trajectoire possible qui est une ellipse.
On pourrait imaginer que l'on est certain d'avoir une solution puisque l'on connaît les équations du mouvement mais ce n'est pas du tout le cas. La plupart des équations mathématiques non linéaires n'ont pas de solution ou une infinité de solutions.
Une solution analytique est une formule qui indiquera positions et déplacements à tout instant. Les équations ne permettent pas de le dire. Les équations de Newton relient par une formule les diverses dérivées de ces quantités, c'est-à-dire position, vitesse et accélération. Lorsque l'on peut revenir des dérivées aux quantités elles-mêmes on dit que le système d'équations est intégrable mais généralement ce n'est pas le cas. Un exemple bien connu d'intégration est l'équation du mouvement d'un boulet de canon si on connaît la vitesse initiale et l'angle de lancement. Et justement dans le cas du système solaire, en se contentant de trois corps, Poincaré a montré que le système n'est pas intégrable. Il n'y a pas de solution analytique des équations de Newton du mouvement. Poincaré en a même expliqué la raison : il n'y a pas assez d'équations par rapport au nombre d'inconnues. Ce que l'on appelle les inconnues ce sont les positions des corps et leurs variations. Les équations indiquent la conservation d'un certain nombre de quantités qui ne peuvent que s'échanger et non diminuer ou augmenter : l'énergie, la quantité de mouvement et la quantité de rotation.
Il a montré que la multiplicité des trajectoires très proches et imbriquées rend improbable que le système soit intégrable. Les équations ne sont pas assez nombreuses pour en déduire une solution. Il a également montré qu'il en découle une infinité de trajectoires possibles et que l'on n'a aucun moyen de trancher entre elles. En plus la proximité des trajectoires signifie qu'une petite perturbation peut faire sauter le corps d'une trajectoire à une autre imperceptiblement avec du coup un avenir tout à fait différent au bout d'un certain temps. Quelle en est la raison ? Dans le mouvement des trois corps, aucun n'est négligeable. A tout instant la position d'un corps et son mouvement sont modifiés par la position précédente d'un autre corps qui est elle-même modifiée par celle du troisième. C'est ce qui rend impossible les approximations. Impossible par conséquent de dire que tel objet est trop petit pour influencer le système sur le long terme. Impossible de dire que telle modification de distance est négligeable puisqu'elle peut entraîner un changement de trajectoire qui peut être considérable sur le long terme. Impossible même de distinguer l'une des planètes comme un objet indépendant du système. Impossible aussi de distinguer passé et présent. En effet, la position d'une planète dépend de l'ensemble des positions précédentes, de toute l'histoire passée du système. C'est ainsi que, pour prédire, il faudrait connaître avec une précision infinie l'ensemble des conditions précédentes et pas seulement les conditions initiales, c'est-à-dire à un instant donné, du système. Du coup, les trajectoires possibles étant infiniment proches les unes des autres, il suffit d'un petit changement dans les conditions initiales ou d'une petite imprécision pour changer relativement vite l'ensemble de l'histoire de tout le système. Poincaré venait de découvrir le premier domaine d'étude d'un phénomène d'un type nouveau : le chaos déterministe.

Ilya Prigogine, dans « Entre le temps et l'éternité » :

« Si nous pouvions définir la cause « pleine » et l'effet « entier », disait déjà Leibniz, notre connaissance rejoindrait en perfection la science que Dieu a du monde… Ce choix métaphysique de la physique s'est traduit par de multiples références à un dieu qui ne joue pas aux dés, selon Einstein, qui connaît simultanément la position et la vitesse d'une particule, selon Planck, - ou aux démons ; celui de Laplace, susceptible de calculer le passé et le futur de l'Univers à partir de l'observation d'un quelconque de ses états instantanés ; celui de Maxwell, capable d'inverser l'évolution irréversible associée à la croissance de l'entropie en manipulant chaque molécule individuellement. »

Depuis la célèbre fiction forgée par Laplace en 1814 dans ses Essai philosophique sur les probabilités – dite du démon de Laplace, abondamment commentée dans ce Matière première –, qui voit une intelligence infinie calculer selon certaines lois tous les états du monde, le déterminisme est un cadre central de la connaissance scientifique. Pourtant, de nombreux débats parcourent cette idée. Existe-t-il un seul paradigme déterministe, dont les modifications seraient en fait des variantes, ou faut-il pluraliser les déterminismes selon les sciences (biologiques, historiques et sociales, etc.) et les positionnements philosophiques ?
Face aux limites des modèles déterministes et du cadre laplacien, qu'il s'agisse de mécanique classique, de mécanique quantique, de biologie, des sciences humaines ou de philosophie, doit-on accepter l'écart entre l'horizon de notre connaissance et sa mise en pratique, éventuellement en nuançant l'idéal laplacien, ou faut-il au contraire tenter de dépasser tout paradigme déterministe ? Tombe-t-on alors nécessairement dans l'indéterminisme ontologique, comme on l'a souvent affirmé précipitamment ? Enfin, philosophiquement, quelles sont les implications d'un déterminisme conséquent, en particulier sur le plan moral ?
Le déterminisme est la théorie selon laquelle toute action humaine est entièrement due à des événements précédents, et non par l'exercice de la volonté. En philosophie, la théorie est basée sur le principe métaphysique que d'un événement sans cause est impossible. Le succès de scientifiques à découvrir les causes de certains comportements et dans certains cas, effectuer son contrôle tend à soutenir ce principe.
Il y a désaccord sur la formulation adéquate du déterminisme - centrale en cause la philosophie qui ne cesse d'être controversée. Un déterminisme physique, qui a son origine dans l'atomisme de Démocrite et Lucrèce, est la théorie que l'interaction humaine peut être réduite à des relations entre la diversité biologique, entités chimiques ou physiques, ce qui est fondamental pour la formulation moderne sociobiologie et de la neuropsychologie. Le déterminisme historique de Karl Marx, d'autre part, est transpersonnelle et surtout économique. Contrairement à ces deux formulations, le déterminisme psychologique - les fondements philosophiques de la psychanalyse - est la théorie que les objectifs, les besoins et désirs des individus sont au cœur de l'explication du comportement humain. Le comportement récent de déterminisme BF Skinner est une modification de ce point de vue, en ce que Skinner réduit tous les états psychologiques internes de comportement observable publiquement. Son stimulus - réponse compte moderne utilise également des analyses statistiques et probabilistes de la causalité. Jean Paul Sartre et d'autres philosophes contemporains ont fait valoir que le déterminisme est contestée par l'introspection, qui révèle les actions à la suite de nos propres choix et non nécessitées par les événements antérieurs ou des facteurs externes. Déterministes répondre que de telles expériences de la liberté sont des illusions et que l'introspection est une méthode peu fiable et non scientifique pour comprendre le comportement humain.
Ce point de vue a été modifié dans la communauté scientifique, cependant, avec l'énonciation du principe d'incertitude par le physicien Werner Heisenberg. Ramifications de son travail en mécanique quantique conduit Heisenberg d'affirmer que le scientifique, autant d'un participant en tant qu'observateur, interfère avec la nature même de la neutralité et l'objet en question. Son travail est également question de savoir si il est possible de déterminer un cadre objectif à travers lequel on peut distinguer la cause de l'effet, et si on peut connaître un effet objectif si l'on est toujours une partie de sa cause. Déterminisme est parfois confondue avec la prédestination et le fatalisme, mais en tant que tel, il affirme que ni les affaires humaines ont été arrangés par un être hors de l'ordre de causalité, ni qu'une personne a un destin inévitable. »

Ilya Prigogine dans « La fin des certitudes » :

« Que devient le démon de Laplace dans le monde que décrivent les lois du chaos ? Le chaos déterministe nous apprend qu'il ne pourrait prédire le futur que s'il connaissait l'état du monde avec une précision infinie. Mais on peut désormais aller plus loin car il existe une forme d'instabilité dynamique encore plus forte, telle que les trajectoires sont détruites quelque soit la précision de la description. Ce type d'instabilité est d'une importance fondamentale puisqu'il s'applique, comme nous le verrons, aussi bien à la dynamique classique qu'à la mécanique quantique. ll est central dans tout ce livre. Une fois de plus, notre point de départ est le travail fondamental d'Henri Poincaré à la fin du XIXème siècle, "Les méthodes nouvelles de la Mécanique".

Nous avons déjà vu que Poincaré avait établi une distinction fondamentale entre systèmes stables et systèmes instables. Mais il y a plus. Il a introduit la notion cruciale de "système dynamique non intégrable". Il a montré que la plupart des systèmes dynamiques étaient non intégrables. I1 s'agissait de prime abord d'un résultat négatif, longtemps considéré comme un simple problème de technique mathématique. Pourtant comme nous allons le voir, ce résultat exprime la condition sine qua non à toute possibilité d'articuler de manière cohérente le langage de la dynamique à ce monde en devenir qui est le nôtre. Qu'est-ce en effet qu'un système intégrable au sens de Poincaré ? Tout système dynamique peut être caractérisé par une énergie cinétique, qui dépend de la seule vitesse des corps qui le composent, et par une énergie potentielle, qui dépend de l'interaction entre ces corps, c'est-à-dire de leurs distances relatives. Un cas particulièrement simple est celui de particules libres, dénuées d'interactions mutuelles. Dans ce cas, il n y a pas d'énergie potentielle ct le calcul de la trajectoire devient trivial. Un tel système est intégrable au sens de Poincaré. On peut montrer que tout système dynamique intégrable peut être représenté comme s'il était constitué de corps dépourvus d'interactions. Nous reviendrons au chapitre V sur le formalisme hamiltonien qui permet ce type de transformation. Nous nous bornons ici à présenter la définition de 1'intégrabilité énoncée par Poincaré : un système dynamique intégrable est un système dont on peut définir les variables de telle sorte que l'énergie potentielle soit éliminée, c'est-à-dire de telle sorte que son comportement devienne isomorphe à celui d'un système de particules libres sans interaction. Poincaré a montré qu'en général de telles variables ne peuvent pas être obtenues. Des lors, en général, les systèmes dynamiques sont non intégrables. Si la démonstration de Poincaré avait conduit à un résultat différent, s'il avait pu montrer que tous les systèmes dynamiques étaient intégrables, jeter un pont entre le monde dynamique et le monde des processus que nous observons aurait été exclu. Dans un monde isomorphe à un ensemble de corps sans interaction, il n'y a pas de place pour la flèche du temps ni pour l'auto-organisation, ni pour la vie. Mais Poincaré n'a pas seulement démontré que l'intégrabilité s'applique seulement à une classe réduite de systèmes dynamiques, il a identifié la raison du caractère exceptionnel de cette propriété : 1'existence de résonance entre les degrés de liberté du système. Il a, ce faisant, identifié le problème à partir duquel une formulation élargie de la dynamique devient possible. La notion de résonance caractérise un rapport entre des fréquences. Un exemple simple de fréquence est celui de l'oscillateur harmonique, qui décrit le comportement d'une particule liée à un centre par une force proportionnelle à la distance : si on écarte la particule du centre, elle oscillera avec une fréquence bien définie. Considérons maintenant le cas le plus familier d'oscillateur, celui du ressort qui, éloigné de sa position d'équilibre, vibre avec une fréquence caractéristique. Soumettons un tel ressort à une force extérieure, caractérisée elle aussi par une fréquence que nous pouvons faire varier. Nous observons alors un phénomène de couplage entre deux fréquences. La résonance se produit lorsque les deux fréquences, celle du ressort et celle de la force extérieure, correspondent à un rapport numérique simple (l'une des fréquences est égale à un multiple entier de l'autre). L'amplitude de la vibration du pendule augmente alors considérablement. Le même phénomène se produit en musique, lorsque nous jouons une note sur un instrument. Nous entendons les harmoniques. La résonance "couple" les sons. Les fréquences, et en particulier la question de leur résonance, sont au coeur de la description des systèmes dynamiques. Chacun des degrés de liberté d'un système dynamique est caractérisé par une fréquence. La valeur des différentes fréquences dépend en général du point de l'espace des phases. Considérons un système à deux degrés de liberté, caractérisé par les fréquences w1 et w2. Par définition, en chaque point de l'espace des phases où la somme n1w1+n1w2 s'annule pour des valeurs entières, non nulles de n1 et n2 nous avons résonance, car en un tel point n1/n2=-w2/w1. Or, le calcul de la trajectoire de tels systèmes fait intervenir des dénominateurs de type 1/(n1w1+n2w2), qui divergent donc aux points de résonance, ce qui rend le calcul impossible. C'est le problème des petits diviseurs, déjà souligné par Le Verrier. Ce que Poincaré a montré, c'est que les résonances et les dénominateurs dangereux qui leur correspondent constituaient un obstacle incontournable s'opposant à l'intégration de la plupart des systèmes dynamiques. Poincaré avait compris que son résultat menait à ce qu'il appela "le problème général de la dynamique", mais ce problème fut longtemps négligé. Max Born a écrit : "Il serait vraiment remarquable que la Nature ait trouvé le moyen de résister au progrès de la connaissance en ce cachant derrière le rempart des difficultés analytiques du problème à n-corps". (...)
Les systèmes non intégrables de Poincaré seront ici d'une importance considérable. Dans ce cas, la rupture entre la description individuelle (trajectoire ou fonction d'onde) et la description statistique sera encore plus spectaculaire. Avait comme nous le verrons, pour de tels systèmes, le démon de Laplace reste impuissant, quelle que soit sa connaissance, finie ou même infinie,. Le futur n'est plus donné. Il devient, comme l'avait prédit le poète Paul Valéry, "une construction".
(...)
La non-intégrabilité est due aux résonances. Or, les résonances expriment des conditions qui doivent être satisfaites par les fréquences : elles ne sont pas des événements locaux qui se produisent à un instant donné. Elles introduisent donc un élément étranger à la notion de trajectoire, qui correspond à une description locale d'espace temps.
(...)
La physique de l'équilibre nous a donc inspiré une fausse image de la matière. Nous retrouvons maintenant la signification dynamique de ce que nous avions constaté au niveau phénomène logique : la matière à l'équilibre est aveugle et, dans les situations de non équilibre, elle commence à voir. »

Poincaré dans « Leçons sur les hypothèses cosmogoniques » :

« Le monde de M. ARRHENIUS n'est pas seulement infini dans l'espace, mais il est éternel dans le temps ; c'est surtout ici que ses vues sont géniales et qu'elles nous apparaissent comme suggestives, quelques objections qu'elles soulèvent d'ailleurs. L'Univers est comme une vaste machine thermique, fonctionnant entre une source chaude et une source froide ; la source chaude est représentée par les Étoiles et la source froide par les nébuleuses. Mais nos machines thermiques ne tarderaient pas à s'arrêter, si on ne leur fournissait sans cesse de nouveaux combustibles ; abandonnées à elles-mêmes, les deux sources s'épuiseraient, c'est-à-dire que leurs températures s'égaliseraient et finiraient par se mettre en équilibre. C'est là ce qu'exige le principe de CARNOT. Et ce principe lui-même est une conséquence des lois de la Mécanique statistique. C'est parce que les molécules sont très nombreuses qu'elles tendent à se mélanger et à ne plus obéir qu'aux lois du hasard. Pour revenir en arrière, il faudrait les démêler, détruire le mélange une fois fait ; et cela semble impossible ; il faudrait pour cela le démon de MAXWELL, c'est-à-dire un être très délié et très intelligent, capable de trier des objets aussi petits.
Pour que le monde pût recommencer indéfiniment, il faudrait donc une sorte de démon de MAXWELL automatique. Ce démon, M. ARRHENIUS croit l'avoir trouvé. Les nébuleuses sont très froides, mais très peu denses, très peu capables par conséquent de retenir par leur attraction les corps en mouvement qui tendent à en sortir. Les molécules gazeuses sont animées de vitesses diverses, et plus les vitesses sont grandes en moyenne plus le gaz est chaud. Le rôle du démon de MAXWELL, s'il voulait refroidir une enceinte, serait de trier les molécules chaudes, c'est-à-dire celles dont la vitesse est grande et de les expulser de l'enceinte, où ne resteraient que les molécules froides. Or, les molécules qui ont le plus de chances de s'échapper de la nébuleuse, sans y être retenues par la gravitation, ce sont précisément les molécules à grande vitesse, les molécules chaudes ; les autres restant seules, la nébuleuse pourra rester froide tout en recevant de la chaleur.
On peut tenter de se placer à d'autres points de vue, de dire par exemple qu'ici la véritable source froide, c'est le vide avec la température du zéro absolu et qu'alors le rendement du cycle de CARNOT est égal à 1. D'autre part, ce qui distingue la chaleur de la force vive mécanique, c'est que les corps chauds sont formés de molécules nombreuses dont les vitesses ont des directions diverses, tandis que les vitesses qui produisent la force vive mécanique ont une direction unique ; réunies, les molécules gazeuses forment un gaz qui peut être froid et dont le contact refroidit ; isolées, au contraire, elles seraient des projectiles dont le choc réchaufferait. Or, dans le vide interplanétaire, elles sont séparées par d'énormes distances et pour ainsi dire isolées ; leur énergie s'élèverait donc en dignité, elle cesserait d'être de la simple « Chaleur » pour être promue au rang de « Travail ».
Bien des doutes subsistent toutefois ; le vide ne va-t-il pas se combler, si le monde est infini ; et, s'il ne l'est pas, sa matière en s'échappant, ne va-t-elle pas s'évaporer jusqu'à ce qu'il ne reste rien ? De toutes manières, nous devrions renoncer au rêve du « Retour éternel « et de la perpétuelle renaissance des mondes ; il semble donc que la solution de M. ARRHENIUS est encore insuffisante ; ce n'est pas assez de mettre un démon dans la source froide, il en faudrait encore un dans la source chaude.
Après cet exposé, on attend sans doute de moi une conclusion, et c'est cela qui m'embarrasse. Plus on étudie cette question de l'origine des astres, moins on est pressé de conclure. Chacune des théories proposées est séduisante par certains côtés. Les unes donnent d'une façon très satisfaisante l'explication d'un certain nombre de faits ; les autres embrassent davantage, mais les explications perdent en précision ce qu'elles gagnent en étendue ; ou bien, au contraire, elles nous donnent une précision trop grande, mais qui n'est qu'illusoire et qui sent le coup de pouce.
S'il n'y avait que le système solaire, je n'hésiterais pas à préférer la vieille hypothèse de LAPLACE ; il y a très peu de choses à faire pour la remettre à neuf. Mais la variété des systèmes stellaires nous oblige à élargir nos cadres, de sorte que l'hypothèse de LAPLACE, si elle ne doit pas être entièrement abandonnée, devrait être modifiée de façon à n'être plus qu'une forme, adaptée spécialement au système solaire, d'une hypothèse plus générale qui conviendrait à l'Univers tout entier et qui nous expliquerait à la fois les destins divers des Étoiles, et comment chacune d'elles s'est fait sa place dans le grand tout. »

source

Ilya Prigogine dans « La fin des certitudes » :

« Le chaos déterministe nous apprend qu'il ne pourrait prédire le futur que s'il connaissait l'état du monde avec une précision infinie. Mais on peut désormais aller plus loin car il existe une forme d'instabilité dynamique encore plus forte, telle que les trajectoires sont détruites quelque soit la précision de la description. Ce type d'instabilité est d'une importance fondamentale puisqu ïl s'applique, comme nous le verrons, aussi bien à la dynamique classique qu'à la mécanique quantique…. Les systèmes non intégrables de Poincaré sont d'une importance considérable. Dans ce cas, la rupture entre la description individuelle (trajectoire ou fonction d'onde) et la description statistique sera encore plus spectaculaire. Avait comme nous le verrons, pour de tels systèmes, le démon de Laplace reste impuissant, quelle que soit sa connaissance, finie ou même infinie. »

Paul Langevin dans « Statistique et déterminisme » :

« Jean Perrin a insisté sur la remarquable convergence des résultats ainsi obtenus, et enlevé les derniers retranchements des énergétistes intransigeants. Le déterminisme statistique. — Ces résultats marquaient un triomphe et une revanche pour le mécanisme combiné à l'atomisme, et l'introduction d'un nouvel aspect du déterminisme, plus proche du point de vue humain et qu'on peut appeler le déterminisme ou mécanisme statistique. Tout en maintenant la conception de Laplace et l'hypothèse d'un univers composé de molécules soumises aux lois de la mécanique newtonienne, on admet franchement, non plus la possibilité d'erreurs sur les conditions initiales, mais, comme dans les jeux de hasard, notre ignorance complète de ce qui concerne les cas individuels, et le rôle prépondérant de la statistique dans la prévision des résultats d'observation qui portent en général sur des foules de corpuscules extraordinairement nombreuses. Dans la plupart des cas, le nouveau déterminisme est entièrement d'accord avec la thermodynamique, qu'il domine en l'interprétant, et la plupart des lois de la physique ont le caractère de lois statistiques concernant les configurations les plus probables, seules pratiquement réalisées. Dans le domaine du microscopique, en raison de la moindre complexité des systèmes, la probabilité des configurations autres que la plus probable cesse d'être négligeable et des fluctuations apparaissent autour de cette dernière ; l'importance de ces fluctuations permet d'évaluer le degré de complexité du système et par conséquent d'atteindre les grandeurs moléculaires. Ces résultats se sont trouvés confirmés et précisés lorsque, à la fin du siècle dernier et au commencement de celui-ci, en même temps que se développait l'atomisme statistique, la découverte de l'électron et celle des rayons de Röntgen sont venues permettre la détermination directe, individuelle, et non plus statistique, de certaines de ces grandeurs : charge électrique élémentaire ou grain d'électricité, dimensions des cellules occupées par les atomes dans les divers réseaux cristallins ; puis, par leur intermédiaire, la détermination précise du nombre N d' Avogadro et de la constante k de Boltzmann. Le déterminisme statistique, non seulement réalisait la synthèse nécessaire entre le mécanisme et la thermodynamique, mais venait encore offrir à la spéculation philosophique la possibilité d'échapper au fatalisme impliqué dans le déterminisme absolu et de laisser sa place à l'action. Il suffisait d'admettre la faculté pour l'être vivant de mettre à profit, à la façon du démon de Maxwell ou d'un joueur heureux, les fluctuations favorables, et d'aiguiller, en quelque sorte, l'évolution du monde dans un sens déterminé par sa volonté ou par son instinct. Cette solution du problème de la liberté, vraiment trop facile, me semble fallacieuse en tant qu'elle reporte la difficulté sur l'aiguillage, sur la trappe du démon de Maxwell et sur la manière, nécessairement mécanique, dont il la manoeuvre. Je n'y fais allusion que parce qu'elle a été sérieusement proposée. Ce triomphe du mécanisme, sous sa forme atomique et statistique, devait être sans lendemain. En même temps qu'il se produisait, commençait à se développer la crise des quanta, issue des progrès de nos connaissances des faits qui concernent les interactions ai complexes de la matière et de la lumière et de la nécessité de concilier le double aspect corpusculaire et ondulatoire de la réalité. »

Le démon de Laplace

Encore sur le démon de Laplace

Le démon de Maxwell

Einstein : dieu ne joue pas aux dés

Phénomènes non linéaires, physiques et astrophysiques : un exemple, la Turbulence

Robert Paris — 2018-10-14T22:05:00Z

La turbulence apparaît dans tous les phénomènes dissipatifs non-linéaires, de la physique à l'astrophysique

PHYSIQUE

ASTROPHYSIQUE

Léonard de Vinci étudiait la turbulence

Grâce au pouvoir de résolution spécifique du télescope Herschel, les astrophysiciens ont pu pour la première fois mesurer précisément les dimensions des filaments interstellaires. 90 filaments dans les trois nuages IC5146, Aquila et Polaris ont ainsi été passés au crible par les chercheurs. Chaque filament peut s'étendre sur des dizaines d'années lumière dans l'espace. La surprise est venue de la largeur uniforme de tous les filaments observés : les chercheurs ont constaté qu'ils s'étalaient tous sur une bande de près de 0,3 années-lumière (Arzoumanian, D., Ph. André, Ph., Didelon, P. et al. 2011, Astronomy & Astrophysics). Considérée comme petite dans le milieu interstellaire, cette largeur correspond néanmoins à environ 20.000 fois la distance de la Terre au Soleil.

Ce résultat surprenant sur la largeur des filaments interstellaires fournit un deuxième indice quant à leur origine. Le diamètre uniforme de 0,3 années-lumière des filaments se rapproche en effet d'une autre échelle caractéristique connue depuis le début des années 80 dans le milieu interstellaire : l'échelle en dessous de laquelle les mouvements désordonnés qui correspondent à ce que l'on appelle la « turbulence interstellaire » deviennent plus lents que la vitesse du son. A partir de ce constat et d'une comparaison des observations avec plusieurs modèles théoriques, les astronomes de l'équipe du « relevé de la ceinture de Gould » ont pu conclure que les filaments observés avec Herschel sont probablement le résultat direct de la « turbulence interstellaire ».

Cette turbulence correspond à des mouvements de gaz désordonnés se propageant dans les nuages interstellaires. Elle est observée depuis les années 70 par les radioastronomes. Les chercheurs s'interrogent encore sur son origine ; elle ferait suite aux explosions d'étoiles massives en fin de vie - ou supernovae - qui injectent une quantité énorme d'énergie dans le milieu interstellaire.

Les mouvements de gaz désordonnés qui en résultent ont lieu à des vitesses supersoniques3. A l'image du ‘bang' d'un avion passant le mur du son, ils produiraient donc des chocs qui compriment la matière interstellaire, jusqu'à transformer celle-ci en des filaments plus denses que leur milieu environnant.

Lorsqu'on observe ces nuages interstellaires à grande échelle, les vitesses des turbulences interstellaires sont élevées, supersoniques. En revanche, si on cible les observations sur de petites régions interstellaires, les vitesses sont plus faibles, jusqu'à devenir inférieures au mur du son. La largeur observée des filaments correspond justement à l'échelle intermédiaire où les mouvements turbulents sont proches de la vitesse du son. Certains modèles théoriques prédisent d'ailleurs que l'épaisseur caractéristique des structures - telles que des filaments - comprimées par chocs dans les nuages interstellaires doit correspondre à l'échelle « sonique » de la turbulence. Couplé à l'observation d'une profusion de filaments dans des nuages ou cirrus très ténus comme Polaris où les forces de gravité ne peuvent pas être invoquées pour former la texture filamentaire, il s'agit là d'une indication très forte quant à la connexion entre la turbulence interstellaire et l'origine des filaments vus par Herschel.

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