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La dialectique du fini et de l’infini pour Hegel

dimanche 5 février 2023, par Robert Paris

La dialectique du fini et de l’infini pour Hegel

La question actuelle pour les sciences

En mathématiques, un segment de longueur finie contient un nombre infini de points et un nombre infini de segments infiniment petits, autant que la droite infinie !

En Physique, l’infiniment petit est en relation avec l’infiniment grand via les inégalités d’Heisenberg. En fait, la Physique a été contrainte de pourchasser les infinis partout comme notions non physiques tout en les utilisant partout mathématiquement parce qu’indispensables aux mathématiques de la continuité, la dérivation et l’intégration.

La physique quantique récuse autant l’infiniment petit (le vide n’est pas zéro) que l’infiniment grand de la matière et des interactions. Elle relie les grandes quantités et les petites par des relations qui excluent l’annulation ou l’infinitude : le produit de deux quantités comme le temps et l’énergie doit être supérieur à un quanta.

La question des infinis est une vieille question en physique. L’un des objectifs fondamentaux de la physique moderne a consisté à chercher le moyen de s’affranchir des infinis qui apparaissaient dans les équations classiques. Cela a mené aussi bien à la mécanique quantique, à l’électrodynamique quantique, à la renormalisation qu’à un grand nombre d’autres grandes découvertes comme la relativité. Cette dernière affirme en effet qu’il existe une limite en ce qui concerne la matière et la lumière : une vitesse ne peut pas grandir indéfiniment. Elle est limitée par la vitesse de la lumière. Cependant, il n’y pas seulement une limite supérieure du mouvement mais également une limite inférieure soulignée cette fois par la physique quantique. Celle-ci affirme qu’on ne peut pas obtenir d’immobilité absolue et qu’il est donc impossible d’obtenir une précision absolue de vitesse ou de position (principe d’incertitude de la physique quantique). L’existence des quanta signifie également qu’il n’y a pas d’infinis puisqu’en termes de matière et de lumière, on ne peut pas descendre en dessous d’un quanta de Planck.

Lee Smolin dans "Rien ne va plus en physique" :

« Dans la nature, on n’a jamais rencontré quelque chose de mesurable qui aurait une valeur infinie. Masi en théorie quantique aussi bien qu’en relativité générale, on trouve des prédictions selon lesquelles certaines quantités physiquement significatives sont infinies. C’est la façon dont la nature punit les théoriciens impudents qui osent briser son unité. La relativité générale a un problème avec les infinis car, à l’intérieur d’un trou noir, la densité de la matière et la force du champ gravitationnel deviennent très rapidement infinis. (…) En un point de densité infinie, les équations de la relativité générale ne tiennent plus. (…) La théorie quantique, elle aussi, génère des infinis. Ceux-ci surgissent lorsqu’on essaye d’utiliser la mécanique quantique pour décrire les champs, comme par exemple le champ électromagnétique. En effet, les champs électrique et magnétique ont des valeurs en chaque point de l’espace. Cela signifie que l’on a affaire à un nombre infini de variables. En théorie quantique, il existe des fluctuations non contrôlables des valeurs de chaque variable quantique. Avec un nombre infini de variables, dont les fluctuations sont non contrôlables, on peut obtenir des équations qui prédisent des valeurs infinies quand on leur pose des questions sur la probabilité que tel événement se produise ou sur la valeur d’une force. (…) La théorie quantique contient en son sein quelques paradoxes conceptuels qui sautent aux yeux et qui restent non résolus même quatre-vingt ans après sa création. Un électron est à la fois une onde et une particule. Même chose pour la lumière. De plus, la théorie ne donne que des prédictions statistiques du comportement subatomique. Notre capacité à faire mieux que cela se trouve limitée par le « principe d’incertitude », qui dit que la position de la particule et son impulsion ne peuvent pas être mesurées au même moment. »

LA DIALECTIQUE DU FINI ET DE L’INFINI POUR HEGEL

« L’infini passe absolument pour l’Absolu, car il est déterminé expressément comme négation du fini…

Mais en fait on n’a pas ainsi ôté toute limitation et finitude à l’infini…

On arrive ainsi à la détermination réciproque du fini et de l’infini. Le fini est fini seulement dans le rapport avec le devoir être et l’infini – et l’infini n’est infini que dans le rapport avec le fini. Ils sont inséparables et en même temps complètement autres vis-à-vis l’un de l’autre, - chacun implique l’autre de lui dans lui ; ainsi chacun est l’unité de lui-même et de son autre, et dans sa détermination il est être déterminé à ne pas être ce qu’il est lui-même et ce qu’est son autre.

Cette détermination réciproque qui nie et elle-même et sa négation, est ce qui apparaît comme le « progrès à l’infini », qui dans tant de formes et d’applications passe pour quelque chose d’ « ultime », dont on ne sort plus.

La pensée ordinaire passe pour avoir atteint sa fin quand elle arrive à cette formule : « et ainsi de suite à l’infini ». Ce progrès apparaît partout où on pousse des déterminations « relatives » jusqu’à leur opposition, si bien qu’elles sont une unité inséparable, tout en attribuant à chacune vis-à-vis de l’autre une existence indépendante.

Ce progrès est donc la « contradiction » qui n’est pas résolue, mais est toujours déclarée comme « présente »…

La falsification que l’entendement opère sur le fini et l’infini et qui consiste à figer leur rapport réciproque comme différence qualitative, à les affirmer dans leur détermination comme séparés et notamment comme séparés absolument, se fonde sur l’oubli de ce qu’est pour lui-même le concept de ces moments. Selon ce concept, l’unité du fini et de l’infini n’est pas leur assemblage extérieur, ni une union incongrue, contraire à leur détermination, dans laquelle seraient liés des termes séparés et opposés en soi, - indépendants, existants vis-à-vis l’un de l’autre, et par là incompatibles.

Au contraire, chacun est en lui-même cette unité, et cela seulement en tant que son dépassement dans lequel aucun n’a sur l’autre l’avantage de l’être en soi et de l’existence affirmative.

Comme nous l’avons déjà montré, la finitude n’est qu’en tant que sortante au-delà de soi ; elle contient donc essentiellement son autre, et elle est par là dans elle-même l’autre d’elle-même. Le fini n’est pas dépassé par l’infini en tant que puissance existante au-delà de lui, mais c’est son infinitude que de se dépasser soi-même…

La solution de cette contradiction n’est pas la reconnaissance de l’égale justesse et de l’égale injustesse des deux affirmations, - cela n’est qu’une autre forme de la contradiction qui demeure, - mais l’idéalité des deux ; en tant qu’idéels ils sont seulement des « moments » quand on les comprend dans leur distinction, comme négations réciproques.

HEGEL dans "Science de la Logique"

La spécificité du Concept d’infini mathématique

§ 538
L’infini mathématique a un double intérêt. D’une part son introduction dans les mathématiques a conduit à une expansion de la science et à des résultats importants ; mais d’autre part il est remarquable que la mathématique n’ait pas encore réussi à justifier son emploi de cet infini par le Concept (Concept pris dans son sens propre). En définitive, les justifications reposent sur la justesse des résultats obtenus à l’aide dudit infini, justesse prouvée par de tout autres motifs : mais les justifications ne reposent pas sur la clarté du sujet et sur l’opération par laquelle le des résultats sont obtenus, car il est même admis que l’opération elle-même est incorrecte.

§ 539
Cela seul est en soi un mauvais état de choses ; une telle procédure n’est pas scientifique. Mais elle comporte aussi l’inconvénient que la mathématique, ignorant la nature de cet instrument parce qu’elle ne maîtrise pas la métaphysique et la critique de l’infini, est incapable de déterminer le champ de son application et de se prémunir contre son usage abusif.

§ 540
Mais d’un point de vue philosophique, l’infini mathématique est important parce que sous-jacent, en fait, se trouve le Concept d’infini véritable et il est de loin supérieur à l’infini dit métaphysique ordinaire sur lequel sont fondées les objections à l’infini mathématique. Souvent, la science des mathématiques ne peut se défendre contre ces objections qu’en niant la compétence de la métaphysique, affirmant qu’elle n’a rien à voir avec cette science et n’a pas à se préoccuper de concepts métaphysiques tant qu’elle opère de manière cohérente dans sa propre sphère. . Les mathématiques doivent considérer non pas ce qui est vrai en soi mais ce qui est vrai dans son propre domaine. La métaphysique, bien qu’en désaccord avec l’usage de l’infini mathématique, ne peut nier ou invalider les brillants résultats qu’on en tire,et les mathématiques ne peuvent pas atteindre la clarté sur la métaphysique de son propre concept ou, par conséquent, sur la dérivation des modes de procédure nécessités par l’utilisation de l’infini.

§ 541
Si c’était uniquement la difficulté du Concept en tant que tel qui troublait les mathématiques, elle pourrait l’ignorer sans plus de cérémonie puisque le Concept est plus que l’énoncé des déterminités essentielles d’une chose, c’est-à-dire des déterminations de l’entendement : et les mathématiques ont veillé à ce que ces déterminités ne manquent pas de précision ; car ce n’est pas une science qui doit s’occuper des concepts de ses objets et qui doit générer leur contenu en expliquant le concept, même si cela ne pourrait s’effectuer que par ratiocination. Mais la mathématique, dans la méthode de son infini, trouve une contradiction radicale avec cette méthode même qui lui est propre et sur laquelle elle repose en tant que science.Car le calcul infinitésimal permet et requiert des modes de procédure que les mathématiques doivent rejeter entièrement lorsqu’elles opèrent avec des quantités finies, et en même temps il traite ces quantités infinies comme si elles étaient finies et insiste pour appliquer aux premiers les mêmes modes d’opération qui sont valable pour ce dernier ; c’est un trait cardinal du développement de cette science qu’elle est parvenue à appliquer aux déterminations transcendantales et à leur traitement la forme du calcul ordinaire.c’est un trait cardinal du développement de cette science qu’elle est parvenue à appliquer aux déterminations transcendantales et à leur traitement la forme du calcul ordinaire.c’est un trait cardinal du développement de cette science qu’elle est parvenue à appliquer aux déterminations transcendantales et à leur traitement la forme du calcul ordinaire.

§ 542
Les mathématiques montrent que, malgré l’affrontement entre ses modes de procédure, les résultats obtenus par l’utilisation de l’infini sont tout à fait en accord avec ceux trouvés par la méthode strictement mathématique, à savoir géométrique et analytique. Mais d’abord, cela ne s’applique pas à tous les résultats et l’introduction de l’infini n’a pas pour seul but d’abréger la méthode ordinaire mais pour obtenir des résultats que cette méthode n’est pas en mesure d’assurer. Deuxièmement, le succès ne justifie pas à lui seul le mode de procédure. Ce procédé du calcul infinitésimal se montre chargé d’une apparente inexactitude, à savoir, ayant augmenté les grandeurs finies d’une quantité infiniment petite, cette quantité est dans l’opération ultérieure en partie retenue et en partie ignorée.La particularité de ce procédé est que malgré l’inexactitude admise, on obtient un résultat qui n’est pas seulement assez proche et tel que la différence peut être ignorée, mais qui est parfaitement exact. Dans l’opération elle-même, cependant, qui précède le résultat, on ne peut se passer de la conception qu’une quantité n’est pas égale à rien, mais est si insignifiante qu’elle peut être laissée de côté. Cependant, ce qu’il faut entendre par déterminité mathématique exclut tout à fait toute distinction plus ou moins précise, de même qu’en philosophie il ne peut être question de plus ou moins de probabilité mais uniquement de Vérité. Même si la méthode et l’usage de l’infini se justifient par le résultat, il n’est pourtant pas si superflu d’en exiger la justification qu’il semble dans le cas du nez de demander une preuve du droit d’en user. Car la connaissance mathématique est la connaissance scientifique, de sorte que la preuve est essentielle ; et même en ce qui concerne les résultats, c’est un fait qu’une méthode mathématique rigoureuse ne leur donne pas à tous la marque du succès, qui d’ailleurs n’est qu’extérieur.

§ 543
Il vaut la peine d’examiner de plus près le concept mathématique de l’infini ainsi que la plus remarquable des tentatives visant à justifier son emploi et à éliminer la difficulté dont la méthode se sent alourdie. La considération de ces justifications et de ces caractères de l’infini mathématique que j’entreprendrai assez longuement dans cette Remarque jettera en même temps le meilleur éclairage sur la nature du vrai Concept lui-même et montrera comment cette dernière était vaguement présente comme base de ces procédures.

§ 544
La définition habituelle de l’infini mathématique est que c’est une grandeur dont il n’y a ni plus grand (quand il est défini comme l’infiniment grand) ni plus petit (quand il est défini comme l’infiniment petit), ou dans le premier cas est plus grand que, dans ce dernier cas, inférieur à une grandeur donnée. Il est vrai que dans cette définition la vrai Concept n’est pas exprimé mais seulement, comme on l’a déjà remarqué, la même contradiction qui est présente dans le progrès infini ; mais voyons ce qu’il contient implicitement. En mathématiques, une grandeur est définie comme ce qui peut être augmenté ou diminué ; en général, comme une limite indifférente. Or, puisque l’infiniment grand ou petit est ce qui ne peut être ni augmenté ni diminué, il n’est en fait plus un quantum en tant que tel.

§ 545
C’est une conséquence nécessaire et directe. Mais c’est juste la réflexion que le quantum (et dans cette remarque quantum en tant que tel, comme nous le trouvons, j’appelle quantum fini) est supprimée, qui n’est généralement pas faite, et qui crée la difficulté pour la pensée ordinaire ; car le quantum, en tant qu’il est infini, doit être pensé comme supprimé, comme quelque chose qui n’est pas un quantum mais qui conserve pourtant son caractère quantitatif.

§ 546
Citer l’opinion de Kant sur ladite définition qu’il trouve ne s’accorde pas avec ce que l’on entend par un tout infini : « Selon le concept usuel, une grandeur est infinie au-delà de laquelle il ne peut y avoir de plus une unité donnée) ; mais il ne peut pas y avoir de plus grande quantité car une ou plusieurs unités peuvent toujours y être ajoutées. Mais notre concept d’un tout infini ne représente pas sa grandeur et ce n’est donc pas le concept d’un maximum (ou d’un minimum) ; ce concept exprime plutôt seulement la relation du tout à une unité arbitrairement assumée, par rapport à laquelle la relation est plus grande que n’importe quel nombre. Selon que cette unité supposée est plus ou moins grande, l’infini serait plus ou moins grand. L’infini, cependant, puisqu’il consiste uniquement dans le rapport à cette unité donnée, resterait toujours le même, même si bien sûr la grandeur absolue de l’ensemble ne serait pas connue à travers elle.

§ 547
Kant s’oppose à ce que les infinis soient considérés comme un maximum, comme une quantité complète d’une unité donnée. Le maximum ou le minimum en tant que tel apparaît encore comme un quantum, un montant. Une telle conception ne peut écarter la conclusion, avancée par Kant, qui conduit à un infini plus ou moins grand. Et en général, tant que l’infini est représenté comme un quantum, la distinction du plus ou du moins s’applique encore à lui. Cette critique ne s’applique cependant pas au Concept du véritable infini mathématique, de la différence infinie, car ce n’est plus un quantum fini.

§ 548
Le concept d’infini de Kant, d’autre part, qu’il appelle véritablement transcendantal, est « que la synthèse successive de l’unité dans la mesure d’un quantum ne peut jamais être achevée ». Un quantum en tant que tel est présupposé comme donné ; en synthétisant l’unité, celle-ci est censée être convertie en une quantité, en un quantum assignable défini ; mais cette synthèse, dit-on, ne peut jamais être achevée. Il ressort de là que nous n’avons ici qu’une expression du cheminement vers l’infini, uniquement représenté transcendantalement, c’est-à-dire à proprement parler, subjectivement et psychologiquement. Certes, en lui-même le quantum est censé être achevé ; mais transcendantalement, c’est-à-dire dans le sujet qui lui donne un rapport à une unité, le quantum ne vient à se déterminer que comme incomplet et comme simplement grevé d’un au-delà. Ici donc, il n’y a pas de progrès au-delà de la contradiction contenue dans la quantité ; mais la contradiction est répartie entre l’objet et le sujet, la limitation étant attribuée au premier, et au second le progrès vers l’infini, dans son sens fallacieux, au-delà de toute déterminité assignée.

§ 549
D’autre part, il a été dit plus haut que le caractère de l’infini mathématique et la manière dont il est utilisé dans l’analyse supérieure correspond au Concept de l’infini véritable ; la comparaison des deux déterminations va maintenant être développée en détail. En premier lieu, en ce qui concerne le véritable quantum infini, il était caractérisé comme infini en lui-même ; il est tel parce que, comme nous l’avons vu, le quantum fini ou quantum en tant que tel et son au-delà, le faux infini, sont également supprimés. Ainsi le quantum supprimé est revenu à une simple unité et à un rapport à soi ; mais pas seulement comme le quantum extensif qui, en passant en quantum intensif, n’a sa déterminité qu’en lui-même [ou implicitement] dans une pluralité extérieure, à laquelle pourtant il est indifférent et dont il est supposé distinct.

§ 550
Le quantum infini, au contraire, contient en lui d’abord l’extériorité et deuxièmement sa négation ; ce n’est donc plus un quantum fini, pas une déterminité quantitative qui aurait un être déterminé comme quantum ; c’est simple, et donc seulement un instant. C’est une déterminité quantitative sous forme qualitative ; son infinité consiste en ce qu’elle est une déterminité qualitative. En tant que tel moment, il est en unité essentielle avec son autre, et n’est déterminé que par cet autre son, c’est-à-dire qu’il n’a de sens que par rapport à ce qui se tient par rapport à lui. En dehors de cette relation, c’est une nullité — simplement parce que le quantum en tant que tel est indifférent à la relation, pourtant dans la relation est censée être une détermination immédiate et inerte. Comme un instant seulement, il n’est, dans la relation, pas quelque chose d’indépendant, d’indifférent ; le quantum dans son infinité est un être-pour-soi, car il n’est en même temps une déterminité quantitative que sous la forme d’un être-pour-un.

§ 551
Le Concept de l’infini telle qu’exposée ici abstraitement se révélera être la base de l’infini mathématique et le Concept lui-même deviendra plus clair si l’on considère les différentes étapes de l’expression d’un quantum comme moment d’un rapport, du plus bas où il est encore aussi un quantum en tant que tel, au supérieur où il acquiert le sens et l’expression d’une grandeur proprement infinie.

§ 552
Prenons donc d’abord le quantum dans la relation où c’est un nombre fractionnaire. Une telle fraction, 2/7 par exemple, n’est pas un quantum comme 1, 2, 3, etc. ; bien que ce soit un nombre fini ordinaire, ce n’est pas un nombre immédiat comme les nombres entiers mais, en tant que fraction, est directement déterminé par deux autres nombres qui sont liés l’un à l’autre comme quantité et unité, l’unité elle-même étant une quantité spécifique. Cependant, si l’on fait abstraction de cette détermination plus précise d’eux et les considérons uniquement comme des quanta dans le rapport qualitatif dans lequel ils sont ici, alors 2 et 7 sont des quanta indifférents ; mais puisqu’ils n’apparaissent ici que comme des moments, l’un de l’autre, et par conséquent d’un tiers (du quantum qu’on appelle l’exposant),ils comptent directement non plus simplement comme 2 et 7 mais seulement selon la relation spécifique dans laquelle ils se trouvent l’un par rapport à l’autre. A leur place, on peut donc tout aussi bien mettre 4 et 14, ou 6 et 21, et ainsi de suite à l’infini. Avec cela, alors, ils commencent à avoir un caractère qualitatif. Si 2 et 7 comptaient comme de simples quanta, alors 2 est juste 2 et rien de plus, et 7 est simplement 7 ; 4, 14, 6, 21 etc., sont complètement différents d’eux et, en tant que seuls quanta immédiats, ne peuvent leur être substitués. Mais dans la mesure où 2 et 7 ne doivent pas être pris comme tels quanta immédiats, leur limite indifférente est supprimée ; de ce côté donc ils contiennent le moment de l’infini, puisque non seulement ils ne sont plus seulement 2 et 7, mais leur déterminité quantitative demeure — mais comme une déterminité en elle-même qualitative,à savoir en fonction de leur signification en tant que moments dans le rapport. Leur place peut être prise par une infinité d’autres sans que la valeur de la fraction soit altérée, en vertu de la déterminité que possède le rapport.

§ 553
Cependant, la représentation de l’infini par un nombre fractionnaire est encore imparfaite car les deux côtés de la fraction, 2 et 7, peuvent être retirés de la relation et sont des quanta ordinaires, indifférents ; leur liaison comme moments du rapport est une circonstance extérieure qui ne les concerne pas directement. Leur relation, aussi, est elle-même un quantum ordinaire, l’exposant du rapport.

§ 554
Les lettres avec lesquelles opère l’arithmétique générale, l’universalité suivante dans laquelle les nombres sont élevés, ne possèdent pas la propriété d’avoir une valeur numérique spécifique ; ce ne sont que des symboles généraux et des possibilités indéterminées d’une valeur spécifique. La fraction a/b semble donc être une expression plus appropriée de l’infini, puisque a et b, pris hors de leur relation l’un avec l’autre, restent indéterminés, et pris séparément, eux aussi, n’ont pas de valeur particulière particulière. Cependant, bien que ces lettres soient présentées comme des grandeurs indéterminées, leur signification est d’être un quantum fini. Donc, quoiqu’ils soient la représentation générale du nombre, il n’est que d’un nombre déterminé, et le fait qu’ils soient en rapport est également une circonstance inessentielle et ils gardent leur valeur en dehors de lui.

§ 555
Si l’on considère de plus près ce qui est présent dans le rapport, on constate qu’il contient les deux déterminations suivantes : d’abord c’est un quantum, d’autre part, cependant, ce quantum n’est pas immédiat mais contient une opposition qualitative ; en même temps il y reste un quantum déterminé, indifférent du fait qu’il rentre en lui-même de son altérité, de l’opposition, et donc aussi infini. Ces deux déterminations sont représentées sous la forme familière suivante développée dans leur différence l’une par rapport à l’autre.

§ 556
La fraction 2/7 peut être exprimée par 0,285714..., 1/(1 - a) par 1 + a + a2 + a3 etc. Ainsi exprimée, c’est une série infinie ; la fraction elle-même est appelée la somme ou l’expression finie de celle-ci. Une comparaison des deux expressions montre que l’une d’elles, la série infinie, représente la fraction non plus comme un rapport mais de ce côté où elle est un quantum comme un agrégat d’unités additionnées, comme une somme. Que les grandeurs dont il est supposé consister en tant que montant soient à leur tour des fractions décimales et sont donc elles-mêmes des rapports, n’a pas d’importance ici ; car cette circonstance concerne le genre particulier d’unité de ces grandeurs, non les grandeurs en tant que constituant une quantité. tout comme un entier à plusieurs chiffres dans le système décimal est compté essentiellement comme un montant,et le fait qu’il se compose des produits d’un nombre et du nombre dix et des puissances de dix est ignoré. De même ici, il importe peu qu’il y ait des fractions autres que l’exemple pris de 2/7 qui, lorsqu’elles sont exprimées en fractions décimales, ne donnent pas une série infinie ; mais ils peuvent tous s’exprimer ainsi dans un système numérique basé sur une autre unité.

§ 557
Or dans la série infinie, qui est censée représenter la fraction comme quantité, l’aspect de la fraction comme rapport s’est évanoui et avec lui s’évanouit aussi l’aspect qui, comme nous l’avons déjà montré, fait la fraction en elle-même, en soi infinie. Mais cet infini est entré d’une autre manière ; la série, à savoir, est elle-même infinie.

§ 558
Or la nature de cette infinité de séries va de soi ; c’est le faux infini de la progression. La série contient et montre la contradiction de représenter ce qui est une relation possédant une nature qualitative, comme dépourvue de relation, comme un simple quantum, comme une quantité. La conséquence de ceci est qu’il manque toujours quelque chose au montant qui s’exprime dans la série, de sorte que pour atteindre la déterminité requise, il faut toujours aller plus loin que les termes déjà posés. La loi de progression est connue, elle est implicite dans la détermination du quantum contenu dans la fraction et dans la nature de la forme sous laquelle elle est supposée s’exprimer. En poursuivant la série, le montant peut bien entendu être rendu aussi précis que nécessaire ; mais la représentation par la série continue à n’être qu’un devoir ;il est chargé d’un au-delà qui ne peut être supprimé, car exprimer en quantité ce qui repose sur une déterminité qualitative est une contradiction durable.

§ 559
Dans cette série infinie, cette inexactitude est effectivement présente, alors que dans le véritable infini mathématique il n’y a qu’une apparence d’inexactitude. Ces deux sortes d’infini mathématique sont aussi peu à confondre que les deux sortes d’infini philosophique. Pour représenter le véritable infini mathématique, la forme des séries a été utilisée à l’origine et elle a été de nouveau invoquée récemment ; mais cette forme n’est pas nécessaire pour cela. Au contraire, l’infini de la série infinie est essentiellement différent de l’infini véritable, comme la suite le montrera. En effet la forme des séries infinies est même inférieure à l’expression fractionnaire.

§ 560
Car la série infinie contient le faux infini, parce que ce que la série est censée exprimer reste un devoir-être et ce qu’elle exprime se charge d’un au-delà qui ne s’évanouit pas et diffère de ce qu’elle était censée exprimer. Il est infini non à cause des termes effectivement exprimés, mais parce qu’ils sont incomplets, parce que l’autre qui leur appartient essentiellement est au-delà d’eux ; ce qui est réellement présent dans la série, quel que soit le nombre de termes qu’il y ait, n’est que quelque chose de fini, au sens propre de ce mot, posé comme fini, c’est-à-dire comme quelque chose qui n’est pas ce qu’il devrait être. Mais d’un autre côté, ce qu’on appelle l’expression finie ou la somme d’une telle série ne manque de rien ; il contient cette valeur complète que la série ne recherche que ; l’au-delà est rappelé de sa fuite ;ce qu’il est et ce qu’il devrait être ne sont pas séparés mais identiques.

§ 561
Ce qui distingue ces deux, c’est plus précisément ceci, que dans la série infinie le négatif est en dehors de ses termes qui ne sont présents qu’en tant que parties de la somme. Par contre, dans l’expression finie qu’est un rapport, le négatif est immanent comme détermination réciproque des côtés du rapport et c’est un retour en soi accompli, une unité rapportée à soi comme négation de la négation. (les deux côtés du rapport ne sont que des moments), et a par conséquent en lui la détermination de l’infini. Ainsi la somme habituellement dite, le 2/7 ou 1/(1 - a) est en fait un rapport ; et cette expression dite finie est l’expression vraiment infinie. La série infinie, au contraire, est en vérité une somme ; son but est de représenter sous la forme d’une somme ce qui est en soi un rapport,et les termes existants de la série ne sont pas les termes d’un rapport mais d’un agrégat. De plus, la série est en fait l’expression finie ; car il est l’agrégat incomplet et reste essentiellement déficient. Selon ce qui y est réellement présent, c’est un quantum spécifique, mais en même temps il est inférieur à ce qu’il devrait être ; et puis, aussi, ce qui lui manque, c’est lui-même un quantum spécifique ; cette partie manquante est en effet ce qu’on appelle l’infini dans la série, du seul point de vue formel qu’elle est un manque, un non-être ; par rapport à son contenu, c’est un quantum fini. Seul ce qui est réellement présent dans la série, plus ce qui manque, constituent ensemble la quantité de la fraction, le quantum spécifique que la série aussi devrait être mais n’est pas capable d’être. Le mot infini, même utilisé dans les séries infinies,est communément considéré comme quelque chose de haut et d’exalté ; c’est une sorte de superstition, la superstition de l’entendement ; nous avons vu comment, au contraire, elle n’indique qu’une déficience.

§ 562
On peut encore remarquer que l’existence de séries infinies qui ne peuvent être sommées est une circonstance extérieure et contingente par rapport à la forme des séries comme telle. Ils contiennent une sorte d’infini plus élevé que ceux qui peuvent être sommés, à savoir une incommensurabilité, ou l’impossibilité de représenter le rapport quantitatif qu’ils contiennent comme un quantum, même sous la forme d’une fraction ; mais la forme de série comme telle qu’ils ont contient la même détermination d’infini faux qui est présente dans la série capable de sommation.

§ 563
L’inversion terminologique que nous venons de remarquer à propos de la fraction et de son expression en série, se produit aussi lorsque l’infini mathématique — non pas celui qui vient d’être nommé mais l’infini véritable — est appelé l’infini relatif, tandis que l’infini métaphysique — par lequel est compris l’abstrait, l’infini faux est appelé absolu. Mais en fait c’est cet infini métaphysique qui n’est que relatif, parce que la négation qu’il exprime ne s’oppose à une limite que de telle manière que cette limite persiste hors d’elle et n’est pas supplantée par elle ; l’infini mathématique, au contraire, a en lui-même véritablement supplanté la limite finie parce que l’au-delà de celle-ci s’unit à elle.

§ 564
C’est d’abord en ce sens, où il a été démontré que l’expression dite somme ou finie d’une série infinie est plutôt à considérer comme l’expression infinie, que Spinoza oppose le concept de l’infini véritable à celui du faux et l’illustre par des exemples. Cela éclairera davantage son concept si je poursuis cet exposé avec ce qu’il dit sur le sujet.

§ 565
Il commence par définir l’infini comme l’affirmation absolue de toute espèce d’existence naturelle, le fini au contraire comme une déterminité, comme une négation. C’est-à-dire que l’affirmation absolue d’une existence est à prendre comme son rapport à elle-même, n’étant pas dépendante d’une autre ; le fini, au contraire, est la négation, un cessant d’être sous la forme d’un rapport à un autre qui commence en dehors de lui. Or l’affirmation absolue d’une existence n’épuise pas, il est vrai, le Concept d’infini ; cela implique que l’infini est une affirmation, non comme immédiate, mais seulement comme restituée par le reflet de l’autre en lui-même, ou comme négation du négatif. Mais chez Spinoza, la substance et son unité absolue a la forme d’une unité inerte, c’est-à-dire d’une unité qui n’est pas auto-médiée,d’une fixité ou rigidité à laquelle manque encore le Concept d’unité négative de soi, c’est-à-dire de subjectivité.

§ 566
L’exemple mathématique avec lequel il illustre le véritable infini est un espace entre deux cercles inégaux qui ne sont pas concentriques, dont l’un se trouve à l’intérieur de l’autre sans le toucher. Il semble qu’il ait tenu beaucoup à cette figure et au concept qu’elle servait à illustrer, ce qui en fait la devise de son Éthique. « Les mathématiciens concluent », dit-il, « que les inégalités possibles dans un tel espace sont infinies, non de la quantité infinie de parties, car sa taille est fixe et limitée et je peux supposer de tels espaces plus grands et plus petits, mais parce que la nature de le fait dépasse toute déterminité. Il est évident que Spinoza rejette cette conception de l’infini qui le représente comme une somme ou comme une série qui ne s’achève pas, et il fait remarquer qu’ici, dans l’espace de son exemple, l’infini n’est pas au-delà,mais réellement présent et complet ; cet espace est borné, mais il est infini « parce que la nature du fait dépasse toute déterminité », parce que la détermination de grandeur qu’il contient ne peut pas en même temps être représentée comme un quantum, ou, selon les mots de Kant déjà cités, la synthèse ne peut être complété pour former un quantum (discret). Comment en général l’opposition du quantum continu et discret conduit à l’infini, sera montré en détail dans une remarque ultérieure. Spinoza appelle l’infini d’une série l’infini de l’imagination ; d’autre part, l’infini comme rapport à soi, il appelle l’infini de la pensée, ou infinitum actu. Il est, à savoir, actu, effectivement infini parce qu’il est complet et présent en lui-même. Ainsi la série 0.285714 ... ou 1 + a + a2 + a3 ... est l’infini simplement de l’imagination ou de la supposition ; car il n’a pas d’actualité, il manque décidément quelque chose ; d’autre part 2/7 ou 1/(1 - a) n’est en réalité pas seulement ce qu’est la série dans ses termes développés, mais est, en plus, ce qui manque à la série, ce qu’elle devrait seulement être. Le 2/7 ou 1/(1 - a) est également une grandeur finie comme l’espace de Spinoza enfermé entre deux cercles, avec ses inégalités, et peut comme cet espace être agrandi ou réduit. Mais cela n’implique pas l’absurdité d’un infini plus grand ou plus petit ; car ce quantum du tout ne concerne pas le rapport de ses moments, la nature du fait, c’est-à-dire la détermination qualitative de la grandeur ; ce qui est réellement présent dans la série infinie est également un quantum fini, mais il est aussi encore déficient.L’imagination au contraire s’arrête au quantique en tant que tel et ne réfléchit pas sur le rapport qualitatif qui constitue le fondement de l’incommensurabilité existante.

§ 567
L’incommensurabilité qui réside dans l’exemple de Spinoza embrasse en général les fonctions de lignes courbes et plus précisément, conduit à l’infini que les mathématiques ont introduit avec de telles fonctions, en général, avec les fonctions de grandeurs variables. Cet infini est le véritable infini qualitatif mathématique que Spinoza avait aussi en tête. Nous allons maintenant examiner en détail cette détermination.

§ 568
Tout d’abord, en ce qui concerne la catégorie de variabilité à laquelle on accorde une telle importance et qui embrasse les grandeurs liées dans ces fonctions, il est à noter que ces grandeurs ne sont pas censées être variables comme le sont les deux nombres 2 et 7 dans la fraction 2/7 : leur place peut aussi bien être prise par 4 et 14, 6 et 21, et par d’autres nombres à l’infini sans altérer la valeur de la fraction ; et encore plus dans a/b, a et b peuvent-ils être remplacés par n’importe quel nombre arbitraire sans altérer ce que a/b est censé exprimer. Or au sens où à la place aussi de x et y d’une fonction, on peut mettre une multitude infinie, c’est-à-dire inépuisable, de nombres, a et b sont tout autant de grandeurs variables que lesdits x et y.L’expression « grandeurs variables » est donc très vague et mal choisie pour ces déterminations de grandeurs dont l’intérêt et la manière de traiter résident dans quelque chose de tout à fait distinct de leur simple variabilité.

§ 569
Pour éclaircir où est le véritable caractère de ces moments d’une fonction dont s’occupe l’analyse supérieure, il faut encore parcourir les étapes sur lesquelles nous avons déjà attiré l’attention. Dans 2/7 ou a/b, 2 et 7 sont chacun des quanta déterminés indépendants et la relation ne leur est pas essentielle ; a et b sont également destinés à représenter des quanta qui restent ce qu’ils sont même en dehors de la relation. Et de plus, 2/7 et a/b sont chacun un quantum fixe, un quotient ; le rapport constitue un montant dont l’unité est exprimée par le dénominateur et le montant de ces unités par le numérateur, ou inversement ; même si 4 et 14, et ainsi de suite, sont substitués à 2 et 7, le rapport, également en tant que quantum, reste le même. Mais maintenant dans la fonction y2/x = p, par exemple, ceci est essentiellement changé ; ici,il est vrai que x et y peuvent représenter des quanta définis, mais seuls x et y2 ont un quotient déterminé, pas x et y. Par conséquent, non seulement ces côtés du rapport x et y ne sont pas des quanta déterminés, mais, deuxièmement, leur rapport n’est pas un quantum fixe (un tel quantum n’est pas signifié comme dans le cas de a et b), pas un quotient fixe. , mais ce quotient est, en tant que quantum, absolument variable. Mais c’est uniquement parce que x a une relation, non avec y, mais avec le carré de y. Le rapport d’une grandeur à une puissance n’est pas un rapport quantique, mais essentiellement un rapport qualitatif ; le rapport de force est le trait qui doit être considéré comme la détermination fondamentale. Mais dans la fonction de la droite y = ax, a est une fraction et un quotient ordinaires ; par conséquent cette fonction n’est que formellement fonction de grandeurs variables,ou bien x et y sont ici ce que sont a et b dans a/b, c’est-à-dire qu’ils ne sont pas dans cette détermination dans laquelle le calcul différentiel et intégral les considère. En raison de la nature particulière des grandeurs variables dans ce mode de considération, il aurait été approprié d’introduire à la fois un nom spécial pour elles et d’autres symboles que ceux généralement utilisés pour les quantités inconnues dans toute équation finie, déterminée ou indéterminée ; car il y a une différence essentielle entre ces grandeurs et ces quanta qui sont simplement inconnues, mais sont en elles-mêmes complètement déterminées ou sont une gamme définie de quanta déterminés. C’est, aussi, seulement à cause d’un manque de conscience de ce qui constitue l’intérêt particulier de l’analyse supérieure et de ce qui a conduit à la nécessité et à l’invention du calcul différentiel,que les fonctions du premier degré et l’équation de la droite sont elles-mêmes comprises dans le traitement de ce calcul ; un tel formalisme provient aussi en partie de l’erreur d’imaginer que l’exigence intrinsèquement correcte de généralisation d’une méthode a été satisfaite lorsque la déterminité spécifique sur laquelle se fonde la nécessité du calcul est omise, comme si dans ce domaine nous étions concernés seulement avec des grandeurs variables. Bien des formalismes auraient été, en effet, évités si l’on avait perçu que le calcul ne s’occupe pas de grandeurs variables en tant que telles, mais de relations de puissances.dans l’erreur de s’imaginer que l’exigence intrinsèquement correcte de la généralisation d’une méthode est satisfaite lorsqu’on omet la déterminité spécifique sur laquelle se fonde la nécessité du calcul, comme si dans ce domaine il ne s’agissait que de grandeurs variables. Bien des formalismes auraient été, en effet, évités si l’on avait perçu que le calcul ne s’occupe pas de grandeurs variables en tant que telles, mais de relations de puissances.dans l’erreur de s’imaginer que l’exigence intrinsèquement correcte de la généralisation d’une méthode est satisfaite lorsqu’on omet la déterminité spécifique sur laquelle se fonde la nécessité du calcul, comme si dans ce domaine il ne s’agissait que de grandeurs variables. Bien des formalismes auraient été, en effet, évités si l’on avait perçu que le calcul ne s’occupe pas de grandeurs variables en tant que telles, mais de relations de puissances.

§ 570
Mais il y a encore une autre étape où le caractère particulier de l’infini mathématique devient prédominant. Dans une équation dans laquelle x et y sont déterminés principalement par une relation de puissance, x et y en tant que tels sont toujours supposés signifier des quanta ; or cette signification est entièrement et complètement perdue dans les différences dites infinitésimales. Dx, dy, ne sont plus des quanta, ni ne sont censés signifier des quanta ; c’est uniquement dans leur relation les uns avec les autres qu’ils ont un sens, un sens simplement comme moments. Ils ne sont plus quelque chose (quelque chose pris comme un quantum), non des différences finies ; mais ils ne sont rien non plus ; pas des nullités vides. En dehors de leur relation, ce sont de pures nullités, mais elles ne sont destinées qu’à être prises comme moments de la relation, comme déterminations du coefficient différentiel dx/dy.

§ 571
Dans ce concept de l’infini, le quantum s’achève véritablement en une réalité qualitative ; il est posé comme actuellement infini ; il est sublimé non seulement comme tel ou tel quantum, mais comme quantum en général. Mais la déterminité quantitative reste comme élément du principe des quanta, ou, comme on l’a dit aussi, les quanta restent dans leur concept premier.

§ 572
C’est ce concept qui a été la cible de toutes les attaques portées à la détermination fondamentale des mathématiques de cet infini, c’est-à-dire du calcul différentiel et intégral. Ne pas le reconnaître était le résultat d’idées erronées de la part des mathématiciens eux-mêmes ; mais c’est l’incapacité à justifier l’objet en tant que Concept qui est principalement responsable de ces attaques. Mais les mathématiques, comme nous l’avons remarqué plus haut, ne peuvent ici éluder le Concept ; car, en tant que mathématiques de l’infini, elle ne se borne pas à la déterminité finie de ses objets (comme dans les mathématiques ordinaires, qui ne considèrent et ne rapportent l’espace et le nombre et leurs déterminations qu’en fonction de leur finitude) ; au contraire, lorsqu’elle traite une détermination tirée des mathématiques ordinaires, elle la convertit en une identité avec son contraire, par exempleconvertir une ligne courbe en ligne droite, le cercle en polygone, etc. Par conséquent, les opérations qu’il se permet d’effectuer dans le calcul différentiel et intégral sont en complète contradiction avec la nature des déterminations simplement finies et de leurs relations et seraient donc doivent être justifiés uniquement par le Concept.

§ 573
Bien que les mathématiques de l’infini soutenaient que ces déterminations quantitatives sont des grandeurs évanouissantes, c’est-à-dire des grandeurs qui ne sont plus un quantum particulier et pourtant ne sont pas rien mais sont encore une déterminité relativement à une autre, il semblait parfaitement clair qu’un tel état intermédiaire, comme on l’appelait, entre l’être et le rien n’existe pas. Ce que nous devons penser de cette objection et de l’état dit intermédiaire, a déjà été indiqué plus haut dans la remarque 4 à la catégorie du devenir. L’unité de l’être et du rien n’est bien entendu pas un état ; un état serait une détermination de l’être et du rien dans laquelle ces moments pourraient être supposés ne s’être effondrés que par accident, pour ainsi dire, dans un état maladif induit extérieurement par une pensée erronée ; au contraire, cette moyenne et cette unité, l’évanouissement ou également le devenir est seul leur vérité.
§ 574
De plus, on a dit que ce qui est infini n’est pas comparable à quelque chose de plus grand ou de plus petit ; il ne peut donc pas y avoir de relation entre les infinis selon les ordres ou les dignités de l’infini, bien que dans la science des infinitésimaux ces distinctions se produisent. Sous-jacente à cette objection déjà évoquée, il y a toujours l’idée qu’il s’agit ici de quanta qui sont comparés comme quanta, que des déterminations qui ne sont plus des quanta n’ont plus aucun rapport entre elles. Mais la vérité est plutôt que ce qui n’a d’être que dans le rapport n’est pas un quantum ; la nature du quantum est telle qu’il est supposé avoir une existence complètement indifférente en dehors de son rapport, et sa différence avec un autre quantum est supposée ne pas concerner sa propre détermination ;d’autre part le qualitatif n’est ce qu’il n’est que dans sa distinction d’un autre. Lesdites grandeurs infinies ne sont donc pas simplement comparables, mais elles n’existent que comme moments de comparaison, c’est-à-dire de rapport.
§ 575
J’apporterai les définitions les plus importantes de cet infini qui ont été données en mathématiques. De ceux-ci, il sera clair que la pensée sous-jacente s’accorde avec le Concept développé ici, mais que les auteurs des définitions n’ont pas établi la pensée en tant que Concept et ont trouvé nécessaire dans l’application de recourir à nouveau à des expédients qui sont en conflit avec leur meilleure cause.

§ 576
La pensée ne peut pas être plus correctement déterminée que de la manière dont Newton l’a formulée. J’élimine ici les déterminations qui appartiennent à l’idée de mouvement et de vitesse (d’où, principalement, il a pris le nom de fluxions) parce que la pensée n’y apparaît pas dans sa propre abstraction mais comme concrète et mêlée de formes non essentielles. Newton explique qu’il entend par ces fluxions non pas des indivisibles (une forme qui était utilisée par des mathématiciens antérieurs, Cavalieri et d’autres et qui implique le concept d’un quantum intrinsèquement déterminé), mais des divisibles évanouissants ; pas non plus des sommes et des rapports de parties déterminées mais les limites (limites) des sommes et des rapports. On peut objecter que les grandeurs qui s’évanouissent n’ont pas de rapport final, parce que le rapport avant qu’il ne s’évanouisse n’est pas définitif, et quand il s’est évanoui n’est plus un rapport.Mais par rapport des grandeurs qui s’évanouissent, il faut entendre non pas le rapport avant et après lequel elles s’évanouissent, mais avec lequel elles s’évanouissent. (quacum evanescunt). De même, le premier rapport des grandeurs naissantes est celui avec lequel elles deviennent.

§ 577
Newton fit ce qu’exigeait la méthode scientifique de son temps, il expliqua seulement ce qu’il fallait entendre par une expression ; mais que tel ou tel doit être compris par lui est, à proprement parler, une présomption subjective, ou une exigence historique, sans aucune indication qu’un tel concept est en soi absolument nécessaire ou qu’il y a du vrai en lui. Cependant, ce qui a été cité montre que le concept avancé par Newton correspond à la manière dont la quantité infinie a résulté de la réflexion du quantum en lui-même dans l’exposé ci-dessus. Par grandeurs, on entend les grandeurs dans leur disparition, c’est-à-dire qui ne sont plus des quanta ; aussi, non pas des rapports de parties déterminées, mais les limites du rapport. Le sens est donc qu’avec la disparition des quanta individuellement, les côtés du rapport,là aussi s’évanouit le rapport lui-même en tant que quantum ; la limite du rapport quantitatif est celle dans laquelle il est et n’est pas à la fois, ou, plus précisément, dans laquelle le quantum s’est évanoui, de sorte que le rapport et ses côtés sont conservés, le premier seulement comme rapport qualitatif de quantité et ces derniers de la même manière que les moments qualitatifs de la quantité. Newton ajoute que du fait qu’il existe des rapports finaux de grandeurs évanouissantes, il ne faut pas en déduire qu’il existe des grandeurs finales, indivisibles. Car cela signifierait un nouveau saut de la raison abstraite à ses côtés comme ayant soi-disant une valeur propre indépendante comme indivisibles en dehors de leur relation, comme quelque chose qui serait un, quelque chose dénué de toute relation.la limite du rapport quantitatif est celle dans laquelle il est et n’est pas à la fois, ou, plus précisément, dans laquelle le quantum s’est évanoui, de sorte que le rapport et ses côtés sont conservés, le premier seulement comme rapport qualitatif de quantité et ces derniers de la même manière que les moments qualitatifs de la quantité. Newton ajoute que du fait qu’il existe des rapports finaux de grandeurs évanouissantes, il ne faut pas en déduire qu’il existe des grandeurs finales, indivisibles. Car cela signifierait un nouveau saut de la raison abstraite à ses côtés comme ayant soi-disant une valeur propre indépendante comme indivisibles en dehors de leur relation, comme quelque chose qui serait un, quelque chose dénué de toute relation.la limite du rapport quantitatif est celle dans laquelle il est et n’est pas à la fois, ou, plus précisément, dans laquelle le quantum s’est évanoui, de sorte que le rapport et ses côtés sont conservés, le premier seulement comme rapport qualitatif de quantité et ces derniers de la même manière que les moments qualitatifs de la quantité. Newton ajoute que du fait qu’il existe des rapports finaux de grandeurs évanouissantes, il ne faut pas en déduire qu’il existe des grandeurs finales, indivisibles. Car cela signifierait un nouveau saut de la raison abstraite à ses côtés comme ayant soi-disant une valeur propre indépendante comme indivisibles en dehors de leur relation, comme quelque chose qui serait un, quelque chose dénué de toute relation.le premier seulement comme rapport qualitatif de quantité et le second comme moments qualitatifs de quantité. Newton ajoute que du fait qu’il existe des rapports finaux de grandeurs évanouissantes, il ne faut pas en déduire qu’il existe des grandeurs finales, indivisibles. Car cela signifierait un nouveau saut de la raison abstraite à ses côtés comme ayant soi-disant une valeur propre indépendante comme indivisibles en dehors de leur relation, comme quelque chose qui serait un, quelque chose dénué de toute relation.le premier seulement comme rapport qualitatif de quantité et le second comme moments qualitatifs de quantité. Newton ajoute que du fait qu’il existe des rapports finaux de grandeurs évanouissantes, il ne faut pas en déduire qu’il existe des grandeurs finales, indivisibles. Car cela signifierait un nouveau saut de la raison abstraite à ses côtés comme ayant soi-disant une valeur propre indépendante comme indivisibles en dehors de leur relation, comme quelque chose qui serait un, quelque chose dénué de toute relation.Car cela signifierait un nouveau saut de la raison abstraite à ses côtés comme ayant soi-disant une valeur propre indépendante comme indivisibles en dehors de leur relation, comme quelque chose qui serait un, quelque chose dénué de toute relation.Car cela signifierait un nouveau saut de la raison abstraite à ses côtés comme ayant soi-disant une valeur propre indépendante comme indivisibles en dehors de leur relation, comme quelque chose qui serait un, quelque chose dénué de toute relation.

§ 578
Pour éviter un tel malentendu, il rappelle encore que les rapports finaux ne sont pas des rapports de grandeurs finales, mais des limites auxquelles les rapports des grandeurs décroissantes sans limite sont plus proches que toute différence donnée, c’est-à-dire finie ; les rapports, cependant, ne dépassent pas ces limites, car s’ils le faisaient, ils deviendraient nuls. En d’autres termes, les grandeurs finales auraient pu être comprises comme signifiant, comme on l’a déjà dit, indivisibles ou unitaires. Mais la définition du rapport final exclut la conception à la fois de l’indifférent qui est dépourvu de toute relation, et du quantum fini. Si la détermination requise avait été développée dans le Concept d’une détermination quantitative qui est purement un moment du rapport, il n’y aurait eu nul besoin de la décroissance sans limite en laquelle Newton convertit le quantum et qui n’exprime que le progrès vers l’infini, ni de la détermination de la divisibilité qui n’a plus ici de sens immédiat.

§ 579
Quant à la conservation du rapport dans l’évanouissement des quanta, on trouve ailleurs, comme chez Carnot, l’expression qu’en vertu de la loi de continuité, les grandeurs évanouissantes conservent encore le rapport d’où elles proviennent, avant de s’évanouir.

§ 580
Cette conception exprime la vraie nature de la matière, si la continuité du quantum n’est pas comprise comme la continuité qu’il a dans le progrès infini où le quantum se continue dans son évanouissement de telle manière que dans son au-delà il n’y a qu’un quantum fini encore, seulement un nouveau terme de la série ; mais un progrès continu est toujours imaginé comme un progrès par lequel passent des valeurs, valeurs qui sont encore des quanta finis. D’autre part, là où le passage se fait au vrai infini, c’est le rapport qui est continu ; si continue est-elle, si complètement conservée, qu’on peut dire que la transition consiste uniquement à mettre en relief le rapport pur et à provoquer la détermination non relationnelle — c’est-à-dire qu’un quantum qui est un côté du rapport est encore un quantum en dehors de ce rapport — s’évanouir. Cette épuration du rapport quantitatif est donc analogue à la saisie d’une réalité empirique à partir de son Concept. La réalité empirique est ainsi élevée au-dessus d’elle-même de telle sorte que son Concept contient les mêmes traits caractéristiques qu’il a lui-même, mais ceux-ci sont saisis dans leur essentialité et sont pris dans l’unité du Concept dans laquelle ils ont perdu leur indifférence, le Concept - moins l’existence.

§ 581
L’autre forme d’exposition de Newton des grandeurs en question est tout aussi intéressante, à savoir, en tant que grandeurs ou principes génératifs. Une grandeur générée (genita) est un produit ou un quotient, tel qu’une racine, un rectangle, un carré, ainsi que les côtés de rectangles et de carrés - en général, une grandeur finie. « Une telle grandeur étant considérée comme variable, croissante ou décroissante en mouvement et en flux incessants, il donne à ses incréments ou décréments momentanés le nom de moments. Mais celles-ci ne sont pas à prendre pour des particules d’une grandeur définie (particulae finiae) : telles ne seraient pas elles-mêmes des moments mais des grandeurs engendrées à partir de moments. Ils doivent plutôt être compris comme les principes naissants ou les commencements de grandeurs finies. Ici le quantum se distingue de lui-même : en tant que produit ou être réel [Daseiendes],et dans son devenir (ou comme naissant), dans son commencement et son principe, c’est-à-dire dans son Concept, ou, ce qui est ici la même chose, dans sa détermination qualitative : dans celle-ci les différences quantitatives, les incréments infinis ou les décréments ne sont que des moments ; seul ce qui a le devenir dans son dos est passé dans l’indifférence de l’être déterminé et dans l’extériorité, c’est-à-dire est quantique. Mais si d’une part la philosophie de le vrai Concept doit reconnaître ces déterminations de l’infini par rapport aux incréments ou aux décréments, d’autre part il faut remarquer que les formes mêmes des incréments etc. du progrès continu dont nous avons parlé ; en fait les conceptions d’incrément, de croissance ou d’augmentation de x par dx ou i, et ainsi de suite,sont à considérer comme le vice fondamental de ces méthodes, l’obstacle permanent pour dégager la détermination du moment qualitatif de la quantité dans sa pureté de la conception du quantum ordinaire.

§ 582
La conception des infinitésimaux qui est aussi implicite dans l’incrément ou le décrément lui-même, est bien inférieure aux déterminations ci-dessus. La nature de ces grandeurs est supposée telle qu’elles peuvent être négligées, non seulement par rapport aux grandeurs finies, mais aussi leurs ordres supérieurs par rapport à leurs inférieurs, et même les produits de plusieurs par rapport à un seul. Chez Leibniz, cette demande de négligence est plus frappante que chez les précédents inventeurs de méthodes relatives à ces infinitésimaux dans lesquels cet appel à la négligence se produit également. C’est principalement cet appel à la négligence qui, avec un gain de facilité, a donné à ce calcul l’apparence d’inexactitude et d’erreur manifeste dans sa méthode de procéder. Wolf a essayé de rendre intelligible cette négligence à sa manière de vulgariser les choses, c’est-à-dire en polluant le Concept pur et en mettant à sa place des conceptions sensuelles incorrectes. Par exemple, il compare la négligence des infinitésimaux des ordres supérieurs relativement aux inférieurs avec la procédure d’un arpenteur qui, en mesurant la hauteur d’une montagne n’est pas moins précis si entre-temps le vent a emporté un grain de sable du sommet ; ou en négligeant la hauteur des maisons ou des tours lors du calcul des éclipses lunaires.

§ 583
Même si le bon sens ordinaire en équité permet une telle inexactitude, tous les géomètres rejettent cette conception. Il est bien évident que dans la science des mathématiques il ne peut être question d’une telle précision empirique ; la mesure mathématique par des opérations de calcul ou par des constructions et des preuves géométriques est tout à fait différente de l’arpentage, de la mesure des lignes empiriques, des chiffres, etc. En outre, en comparant le résultat obtenu par une méthode strictement géométrique avec celui obtenu par la méthode de différences infinies, les analystes démontrent que l’un est le même que l’autre et qu’il n’est absolument pas question d’un degré plus ou moins élevé d’exactitude. Et il va de soi qu’un résultat absolument exact ne saurait sortir d’une méthode inexacte. Pourtant d’un autre côté encore,la méthode elle-même ne peut se passer de cette omission de ce qui est considéré comme insignifiant, malgré ses protestations contre la justification de cette omission. Et c’est la difficulté qui engage les efforts des analystes pour rendre intelligible et lever l’inconsistance inhérente.

§ 584
C’est surtout la conception d’Euler en la matière qu’il faut citer ici. Il adopte la définition newtonienne générale et insiste sur le fait que le calcul différentiel considère les rapports des incréments d’une grandeur, mais que la différence infinie en tant que telle doit être considérée comme entièrement nulle. Comment cela doit être compris est clair d’après ce qui précède ; la différence infinie n’est qu’un néant quantique, non pas un néant qualitatif, mais en tant que néant quantique c’est un pur moment du rapport seulement. Ce n’est pas une différence quantitative ; mais c’est pourquoi il est, d’une part, tout à fait faux de parler de ces moments qu’on appelle infinitésimaux, aussi comme incréments ou décréments et comme différences. Cette description implique que quelque chose est ajouté ou soustrait à la grandeur finie initialement donnée, qu’une soustraction ou une addition, une arithmétique,une opération externe a lieu. Mais il est à remarquer que le passage de la fonction de la grandeur variable à sa différentielle est d’une tout autre nature ; comme nous l’avons précisé, elle doit être considérée comme une réduction de la fonction finie au rapport qualitatif de ses déterminations quantitatives. Par contre, l’erreur devient flagrante lorsqu’on dit que les incréments par eux-mêmes sont des zéros, que seuls leurs rapports sont considérés ; car un zéro n’a plus du tout de déterminité. Cette conception va donc jusqu’au négatif du quantum et lui donne une expression définie, mais en même temps elle ne saisit pas ce négatif dans sa signification positive des déterminations qualitatives de la quantité qui, si elles étaient arrachées au ratio et considérés comme des quanta, ne seraient que des zéros.

§ 585
L’opinion de Lagrange sur l’idée de limites ou de rapports finaux est que, bien qu’on puisse bien imaginer le rapport de deux grandeurs tant qu’elles restent finies, ce rapport ne présente à l’intellect aucun concept clair et défini dès que ses termes deviennent simultanément zéro. Et l’entendement doit, en effet, transcender ce côté simplement négatif sur lequel les termes du rapport sont quantitativement nuls, et doit les saisir positivement, comme des moments qualitatifs. Mais nous ne pouvons pas considérer comme satisfaisantes les remarques ultérieures d’Euler concernant cette conception de la sienne dans laquelle il essaie de montrer que deux soi-disant infinitésimaux qui sont supposés n’être rien d’autre que des zéros, sont néanmoins en relation l’un avec l’autre, pour laquelle raison pour laquelle ils sont désignés par des symboles autres que zéro.Il essaie de fonder cela sur la différence entre le rapport arithmétique et géométrique : dans le premier, nous avons un œil sur la différence, dans le second, au quotient, de sorte que bien que dans le premier il n’y ait pas de différence entre deux zéros, ce n’en est pas ainsi dans le rapport géométrique ; si 2 : 1 = 0 : 0 alors de la nature de la proportion il s’ensuit que, puisque le premier terme est deux fois plus grand que le second, le troisième est aussi deux fois plus grand que le quatrième ; ainsi selon la proportion, 0 : 0 doit être pris comme le rapport de 2 : 1. Même en arithmétique commune n. 0 = 0 et donc n : 1 = 0 : 0. Mais c’est juste parce que 2 : 1 ou n : 1 est une relation de quanta qu’il ne peut y avoir de rapport ou d’expression correspondant de 0 : 0.de sorte que si dans le premier il n’y a pas de différence entre deux zéros, il n’en est pas de même dans le rapport géométrique ; si 2 : 1 = 0 : 0 alors de la nature de la proportion il s’ensuit que, puisque le premier terme est deux fois plus grand que le second, le troisième est aussi deux fois plus grand que le quatrième ; ainsi selon la proportion, 0 : 0 doit être pris comme le rapport de 2 : 1. Même en arithmétique commune n. 0 = 0 et donc n : 1 = 0 : 0.

§ 586
Je m’abstiens de citer d’autres exemples car ceux déjà considérés montrent assez clairement que le véritable Concept de l’infini est, en fait, impliquée en eux, mais que la nature spécifique de ce Concept n’a pas été signalée et saisie. Par conséquent, dans l’application effective de la méthode des infinitésimaux, le véritable Concept de l’infini ne peut exercer aucune influence ; au contraire, il y a retour de la déterminité finie de la quantité et l’opération ne peut se passer de la conception d’un quantum qui n’est que relativement petit. Le calcul oblige à soumettre les soi-disant infinitésimaux à des opérations arithmétiques ordinaires d’addition et ainsi de suite, qui sont basées sur la nature des grandeurs finies, et donc de les considérer momentanément comme des grandeurs finies et de les traiter comme telles.C’est au calcul de justifier sa procédure dans laquelle il les fait d’abord descendre dans cette sphère et les traite comme des incréments ou des différences, puis les néglige comme des quanta après qu’il vient de leur appliquer des formes et des lois de grandeurs finies.

Je citerai ensuite les principaux traits des tentatives des géomètres pour lever ces difficultés.

§ 587
Les analystes plus anciens avaient peu de scrupules en la matière, mais les modernes s’efforçaient surtout de ramener le calcul différentiel à l’évidence d’une méthode strictement géométrique et d’atteindre en elle la rigueur des preuves des anciens (expressions de Lagrange) en mathématiques. Mais comme le principe de l’analyse infinitésimale est d’une nature plus élevée que le principe des mathématiques des grandeurs finies, il fallait nécessairement se passer de ce genre d’évidence, de même que la philosophie, elle non plus, ne peut prétendre à cette évidence qui appartient à la nature. sciences, par exemple l’histoire naturelle - et tout comme manger et boire sont considérés comme des affaires plus intelligibles que penser et comprendre. Aussi ne traiterons-nous que des efforts pour atteindre la rigueur de preuve des anciens.

§ 588
Certains ont tenté de se passer complètement du concept de l’infini, et sans lui pour réaliser ce qui semblait être lié à son utilisation. Lagrange parle, par exemple, de la méthode conçue par Landen, disant qu’elle est purement analytique et n’emploie pas de différences infinitésimales, mais part de différentes valeurs de grandeurs variables et les assimile ensuite. Il donne également comme opinion que dans cette méthode, le calcul différentiel perd ses propres avantages particuliers, à savoir la simplicité de la méthode et la facilité d’opération. Il s’agit bien là d’un procédé qui correspond dans une certaine mesure au point de départ de la méthode tangentielle de Descartes dont nous reparlerons en détail plus loin. Cela, nous pouvons le remarquer ici, est généralement évident,que la procédure générale dans laquelle différentes valeurs de grandeurs variables sont supposées et ensuite assimilées, appartient à un autre département du traitement mathématique que celui auquel appartient la méthode du calcul différentiel elle-même ; et que la nature particulière de la relation simple (à examiner en détail plus loin) à laquelle se réduit sa détermination actuelle et concrète, à savoir de la fonction dérivée à l’original, n’est pas mise en évidence.

§ 589
Le plus ancien des modernes, Fermat, Barrow et d’autres par exemple, qui ont d’abord utilisé des infinitésimaux dans cette application qui a ensuite été développée dans le calcul différentiel et intégral, puis Leibniz aussi, et ceux qui l’ont suivi, y compris Euler, ont toujours cru franchement qu’ils avaient le droit d’omettre les produits des différences infinitésimales et leurs puissances supérieures, uniquement au motif qu’ils s’évanouissent relativement à l’ordre inférieur. C’est pour eux la seule base du principe fondamental, à savoir la détermination de ce qui est la différentielle d’un produit ou d’une puissance, car tout l’enseignement théorique se réduit à cela. Le reste est en partie le mécanisme de développement et en partie d’application, dans lequel cependant, comme nous le verrons plus tard, se trouve le plus important, ou plutôt le seul, intérêt.En ce qui concerne le présent sujet, il suffit de mentionner ici ce qui est élémentaire, que sur le même terrain d’insignifiance, le principe cardinal adopté par rapport aux courbes est que les éléments des courbes, à savoir les incréments d’abscisse et d’ordonnée, ont le relation entre elles de la sous-tangente et de l’ordonnée ; dans le but d’obtenir des triangles similaires, l’arc qui forme le troisième côté d’un triangle aux deux incréments du triangle caractéristique (comme on l’appelait à juste titre), est considéré comme une ligne droite, faisant partie de la tangente et un des incréments donc comme atteignant la tangente. Par ces hypothèses, ces déterminations sont, d’une part, élevées au-dessus de la nature des grandeurs finies, mais d’autre part,une méthode qui n’est valable que pour les grandeurs finies et qui ne permet d’omettre rien sous prétexte d’insignifiance, est appliquée aux moments appelés aujourd’hui infinitésimaux. Avec un tel mode de procédure, la difficulté qui encombre la méthode reste dans toute sa dureté.

§ 590
Nous devons mentionner ici une procédure remarquable de Newton, l’invention d’un dispositif ingénieux pour supprimer l’omission arithmétiquement incorrecte des produits de différences infinitésimales ou d’ordres supérieurs de celles-ci dans la découverte des différentielles. Il trouve les différentielles de produits — à partir desquelles les différentiels de quotients, puissances, etc., peuvent alors être facilement déduits — de la manière suivante. Le produit de x et y, quand chacun est réduit de la moitié de sa différence infinitésimale, devient xy - xdy/2 - ydx/2 + dxdy/4 ; mais si x et y augmentent du même montant, cela devient xy + xdy/2 + ydx/2 + dxdy/4. Or, lorsque le premier produit est soustrait du second, ydx + xdy reste en surplus et on dit que c’est le surplus de l’augmentation d’un entier dx et dy, car cet accroissement est la différence entre les deux produits ;c’est donc la différentielle de xy. Clairement, dans cette procédure, le terme qui forme la principale difficulté, le produit des deux différences infinitésimales, s’annule. Mais malgré le nom de Newton il faut dire qu’une telle opération bien que très élémentaire, est incorrecte ; il n’est pas vrai que (x + dx/2) (y + dy/2) - (x - dx/2) (y - dy/2) = (x + dx) (y + dy) - xy. Ce ne peut être que la nécessité d’établir le calcul fluxionnel de la plus haute importance qui pourrait amener un Newton à se tromper avec une telle preuve.il n’est pas vrai que (x + dx/2) (y + dy/2) - (x - dx/2) (y - dy/2) = (x + dx) (y + dy) - xy.

§ 591
D’autres formes que Newton employa dans la dérivation des différentielles sont liées à des significations concrètes des éléments et de leurs pouvoirs, des significations relatives au mouvement. A propos de l’utilisation de la forme sérielle qui caractérise aussi sa méthode, il se propose de dire qu’il est toujours possible d’obtenir le degré de précision requis en ajoutant plus de termes et que les termes omis sont relativement insignifiants, en général, que le résultat est seulement une approximation ; bien qu’ici aussi il aurait été satisfait de ce motif d’omission comme il l’est dans sa méthode de résolution des équations de degré supérieur par approximation, où les puissances supérieures résultant de la substitution dans l’équation donnée de tout terme déterminé, encore inexact, sont omis sur le terrain grossier de leur relative petitesse.

§ 592
L’erreur dans laquelle Newton est tombé en résolvant un problème en omettant des pouvoirs essentiels et supérieurs, erreur qui a donné à ses adversaires l’occasion d’un triomphe de leur méthode sur la sienne, et dont la véritable origine a été indiquée par Lagrange dans sa récente enquête sur elle démontre le formalisme et l’incertitude qui régnaient encore dans l’utilisation de cet instrument. Lagrange montre que Newton a fait l’erreur parce qu’il a omis le terme de la série contenant cette puissance sur laquelle le problème spécifique tournait. Newton s’en était tenu au principe formel et superficiel d’omettre des termes en raison de leur relative petitesse. Par exemple, il est bien connu qu’en mécanique les termes de la série dans laquelle se développe la fonction d’un mouvement ont un sens spécifique, de sorte que le premier terme ou la première fonction se réfère au moment de la vitesse,la seconde à la force d’accélération et la troisième à la résistance des forces. Ici donc, les termes de la série ne doivent pas être considérés simplement comme des parties d’une somme, mais plutôt comme des moments qualitatifs d’un tout déterminé par le concept. De cette façon, l’omission du reste des termes appartenant à la série faussement infinie acquiert un sens tout à fait différent de l’omission en raison de leur petitesse relative.

[Les deux considérations se trouvent simplement mises côte à côte dans l’application par Lagrange de la théorie des fonctions à la mécanique au chapitre du mouvement rectiligne. L’espace traversé, considéré en fonction du temps écoulé, donne l’équation x = ft ; ceci, développé comme f(t + d) donne ft + df’t + d2/2.f"t + , etc.
Ainsi l’espace parcouru dans la période de temps est représenté dans la formule par = df’t + d2f"t + d3/2.3f"’t +, etc. Le mouvement au moyen duquel cet espace a été parcouru est (il est dit) donc — c’est-à-dire parce que le développement analytique donne plusieurs, en fait une infinité de termes — composés de divers mouvements partiels, dont les espaces correspondant au temps seront df’t, d2/2f"t, d3/2.3f" ’dt, etc. Le premier Concept partiel est, dans le mouvement connu, celle qui est formellement uniforme avec une vitesse désignée par f’t, la seconde est un mouvement uniformément accéléré dérivé d’une force d’accélération proportionnelle à f"t. Maintenant, puisque le reste les termes ne se réfèrent à aucun mouvement simple connu,il n’est pas nécessaire d’en tenir spécialement compte et nous montrerons qu’on peut en faire abstraction pour déterminer le mouvement au début du point de temps. Ceci est maintenant montré, mais bien sûr seulement en comparant la série dont tous les termes appartenaient à la détermination de la grandeur de l’espace parcouru dans la période de temps, avec l’équation donnée dans l’art. 3 pour le mouvement d’un corps en chute, à savoir x = at + bt2 dans lequel seuls ces deux termes apparaissent. Mais cette équation n’a elle-même reçu cette forme que parce que l’explication donnée aux termes produits par le développement analytique est présupposée ; cette présupposition est que le mouvement uniformément accéléré est composé d’un mouvement formellement uniforme continué avec la vitesse atteinte dans la période de temps précédente, et d’un incrément (le a dans s = at2, c’est-à-dire le coefficient empirique) qui est attribué à la force de gravité - une distinction qui n’a aucune existence ni aucun fondement dans la nature de la chose elle-même, mais n’est que l’expression faussement matérialisée de ce qui découle du traitement analytique supposé.]
L’erreur dans la solution newtonienne est survenue, non parce que les termes de la série ont été négligés seulement comme parties d’une somme, mais parce que le terme contenant la détermination qualitative, qui est le point essentiel, a été ignoré.

§ 593
Dans cet exemple, la procédure dépend de la signification qualitative. A cet égard, on peut affirmer d’emblée que toute la difficulté du principe serait levée si le sens qualitatif du principe était énoncé et si l’opération en dépendait — au lieu du formalisme qui lie la détermination de le différentiel seulement à ce qui donne son nom au problème, à la différence en tant que telle entre une fonction et sa variation après que sa grandeur variable ait reçu un incrément. En ce sens, il est évident que la différentielle de xn est complètement épuisée par le premier terme de la série qui résulte du développement de (x + dx)n . Ainsi, l’omission du reste des termes n’est pas due à leur relative petitesse ; et donc il n’y a pas d’hypothèse d’inexactitude,une erreur ou une faute qui pourrait être compensée ou rectifiée par une autre erreur — point de vue à partir duquel Carnot justifie en particulier la méthode ordinaire du calcul infinitésimal. Puisqu’il ne s’agit pas d’une somme mais d’une relation, la différentielle est complètement donnée par le premier terme ; et là où d’autres termes, les différentielles d’ordres supérieurs, sont nécessaires, leur détermination n’entraîne pas la continuation d’une série en somme, mais la répétition d’une seule et même relation qui seule est désirée et qui est ainsi déjà complètement donnée dans le premier terme. Le besoin de la forme d’une série, de sa sommation et de tout ce qui s’y rattache, doit alors être entièrement séparé dudit intérêt de la relation.

§ 594
Les explications des méthodes des grandeurs infinitésimales données par Carnot contiennent un exposé des plus lucides de ce qui est essentiel dans les idées évoquées plus haut. Mais en passant à l’application pratique elle-même, entrent plus ou moins les idées usuelles sur l’infiniment petit des termes omis relativement aux autres. Il justifie la méthode, non par la nature de la procédure elle-même, mais par le fait que les résultats sont corrects, et par les avantages d’une simplification et d’un raccourcissement du calcul qui suivent l’introduction d’équations imparfaites, comme il les appelle, c’est-à-dire ceux dans lesquels une telle omission arithmétiquement incorrecte s’est produite.

§ 595
Lagrange, comme on le sait, est revenu à la méthode originelle de Newton, celle des séries, pour se débarrasser des difficultés inhérentes à l’idée de l’infiniment petit et à la méthode des rapports premiers et finaux et des limites. Les avantages de son calcul fonctionnel en termes de précision, d’abstraction et de généralité sont suffisamment reconnus ; nous n’avons qu’à mentionner ce qui est pertinent ici, qu’il repose sur le principe fondamental que la différence, sans devenir nulle, peut être supposée si petite que chaque terme de la série est plus grand que la somme de tous les termes suivants. Cette méthode aussi part des catégories d’incrément et de différence de la fonction, dont la grandeur variable reçoit l’incrément, faisant ainsi intervenir la série gênante de la fonction originelle ;aussi dans la suite les termes à omettre ne sont considérés que comme constituant une somme, tandis que la raison de leur omission consiste en la relativité de leur quantum. Et donc ici aussi, d’une part, le principe de l’omission n’est pas ramené au point de vue exemplifié dans certaines applications, où (comme on l’a remarqué plus haut) les termes de la série sont censés avoir une signification qualitative spécifique, et les termes sont négligés non à cause de leur insignifiance quantitative mais parce qu’ils ne sont pas qualitativement significatifs ; et puis, d’autre part, l’omission elle-même n’a pas sa place dans le point de vue essentiel qui, en ce qui concerne le coefficient dit différentiel, ne devient spécifiquement prépondérant chez Lagrange, dans la soi-disant application du calcul, comme le fera être considérée plus en détail dans la remarque suivante.

§ 596
Le caractère quali- méthode caractéristique. Lagrange critique cette méthode comme manquant de cas d’application et il prétend que l’expression limite ne présente aucune idée définie ; nous reprendrons ici ce second point et examinerons de plus près ce qui est dit de son sens analytique. Or l’idée de limite implique bien la vraie catégorie de la relation qualitativement déterminée des grandeurs variables évoquée plus haut ; car les formes qui se présentent, dx et dy, sont censées être prises simplement et uniquement comme des moments de dy/dx,et dy/dx lui-même doit être considéré comme un seul symbole indivisible.

§ 597
Que le mécanisme du calcul, surtout dans son application, perde ainsi l’avantage qu’il tirait de la séparation des côtés du coefficient différentiel, nous y passerons ici. Or ladite limite doit être la limite d’une fonction donnée ; c’est attribuer à cette fonction une certaine valeur déterminée par son mode de dérivation. Mais avec la seule catégorie de limite, nous n’aurions pas dépassé le cadre de cette Remarque, qui est de démontrer que l’infiniment petit qui se présente dans le calcul différentiel comme dx et dy, n’a pas seulement le sens négatif et vide d’un grandeur non finie, non donnée, comme lorsqu’on parle de « multitude infinie », « à l’infini », etc., mais a au contraire le sens spécifique de la nature qualitative du quantitatif, d’un moment de un rapport en tant que tel. Cette catégorie,or, rien qu’en tant que tel, n’a encore aucun rapport avec ce qui est une fonction donnée et n’entre pas lui-même dans le traitement d’une telle fonction ou dans l’usage à faire de cette détermination ; aussi l’idée de limite, bornée à ce caractère démontré, ne mènerait nulle part. Mais l’expression même de « limite » implique qu’elle est une limite de quelque chose, c’est-à-dire qu’elle exprime une certaine valeur qui réside dans la fonction d’une grandeur variable ; et nous devons examiner la nature de ce rôle concret. Elle est supposée être la limite du rapport entre les deux incréments par lesquels les deux grandeurs variables liées dans une équation (dont l’une est considérée en fonction de l’autre), sont supposées avoir été augmentées ; l’augmentation est prise ici comme tout à fait indéterminée et jusqu’ici il n’est pas fait usage de l’infiniment petit.Mais la manière dont cette limite est trouvée comporte les mêmes incohérences que celles contenues dans les autres méthodes. Cette façon est la suivante : si y = fx, alors quand y devient y + k, fx se transforme en fx + ph + qh2 + rh3 et ainsi de suite ; donc k = ph + qh2, etc., et k/h = p + qh + rh2, etc. Or si k et h s’annulent, le membre de droite de l’équation s’annule également à l’exception de p ; maintenant p est supposé être la limite du rapport des deux incréments. Il est clair que si h, en tant que quantum, est égal à 0, k/h n’est néanmoins pas en même temps égal à 0/0 mais est supposé rester toujours un rapport.et k/h = p + qh + rh2, etc. Maintenant, si k et h s’annulent, le membre de droite de l’équation s’annule également à l’exception de p ; maintenant p est supposé être la limite du rapport des deux incréments. Il est clair que si h, en tant que quantum, est égal à 0, k/h n’est néanmoins pas en même temps égal à 0/0 mais est supposé rester toujours un rapport.et k/h = p + qh + rh2, etc. Maintenant, si k et h s’annulent, le membre de droite de l’équation s’annule également à l’exception de p ; maintenant p est supposé être la limite du rapport des deux incréments. Il est clair que si h, en tant que quantum, est égal à 0, k/h n’est néanmoins pas en même temps égal à 0/0 mais est supposé rester toujours un rapport.

§ 598
Or l’idée de limite est censée avoir l’avantage d’éviter l’inconsistance dont il s’agit ici ; p est, en même temps, supposé ne pas être le rapport réel, qui serait 0/0, mais seulement cette valeur spécifique à laquelle le rapport peut se rapprocher à l’infini, c’est-à-dire peut approcher si près que la différence peut être plus petite que toute différence donnée . Le sens plus précis de l’approximation par rapport aux termes qui sont censés se rapprocher réellement les uns des autres sera examiné plus loin. Mais qu’une différence quantitative, dont la définition est qu’elle non seulement peut, mais doit être plus petite qu’une différence donnée, n’est plus une différence quantitative, cela va de soi, aussi évident que tout peut l’être en mathématiques ; mais on ne s’est toujours pas éloigné de dy/dx = 0. Si par contre dy/dx = p, c’est-à-direest supposé être un rapport quantitatif défini tel qu’il est en fait, alors à l’inverse il y a une difficulté sur la présupposition qui égalise h avec o, présupposition indispensable pour obtenir l’équation k/h = p. Mais s’il est admis que k/h = 0, (et quand h = 0, k est en fait automatiquement = 0, pour k, l’incrément de y, dépend entièrement de l’existence de l’incrément h), alors la question serait surgir, ce que p — qui est une valeur quantitative tout à fait définie — est supposé être. A cela, il y a à la fois une réponse évidente, la réponse simple et maigre qu’il s’agit d’un coefficient dérivé de telle ou telle manière — la première fonction, dérivée d’une certaine manière spécifique, d’une fonction originelle. si l’on s’en contente — et Lagrange l’a bien fait,le faire en pratique — alors la partie générale de la science du calcul différentiel, et aussitôt cette forme particulière de celui-ci appelée théorie des limites serait débarrassée des incréments et de leur petitesse infinie ou arbitraire — épargnée aussi, la difficulté de se débarrasser à nouveau de tous les termes d’une série autres que la première, ou plutôt seulement du coefficient de la première, qui découlent inévitablement de l’introduction de ces incréments ; en outre, il serait aussi purgé de ces catégories formelles qui s’y rattachent, surtout de l’infini, d’approximation infinie et, aussi, des catégories, ici également vides, de grandeur continue » qui, d’ailleurs, comme nisus, deviennent, occasion d’un variation, sont jugés nécessaires.et aussitôt cette forme particulière qu’on en appelle la théorie des limites serait débarrassée des incréments et de leur petitesse infinie ou arbitraire — épargnée aussi, la difficulté de se débarrasser à nouveau de tous les termes d’une série autre que la première, ou plutôt seulement le coefficient du premier, qui découle inévitablement de l’introduction de ces majorations ; en outre, il serait aussi purgé de ces catégories formelles qui s’y rattachent, surtout de l’infini, d’approximation infinie et, aussi, des catégories, ici également vides, de grandeur continue » qui, d’ailleurs, comme nisus, deviennent, occasion d’un variation, sont jugés nécessaires.et aussitôt cette forme particulière qu’on en appelle la théorie des limites serait débarrassée des incréments et de leur petitesse infinie ou arbitraire — épargnée aussi, la difficulté de se débarrasser à nouveau de tous les termes d’une série autre que la première, ou plutôt seulement le coefficient du premier, qui découle inévitablement de l’introduction de ces majorations ; en outre, il serait aussi purgé de ces catégories formelles qui s’y rattachent, surtout de l’infini, d’approximation infinie et, aussi, des catégories, ici également vides, de grandeur continue » qui, d’ailleurs, comme nisus, deviennent, occasion d’un variation, sont jugés nécessaires.qui découlent inévitablement de l’introduction de ces majorations ; en outre, il serait aussi purgé de ces catégories formelles qui s’y rattachent, surtout de l’infini, d’approximation infinie et, aussi, des catégories, ici également vides, de grandeur continue » qui, d’ailleurs, comme nisus, deviennent, occasion d’un variation, sont jugés nécessaires.qui découlent inévitablement de l’introduction de ces majorations ; en outre, il serait aussi purgé de ces catégories formelles qui s’y rattachent, surtout de l’infini, d’approximation infinie et, aussi, des catégories, ici également vides, de grandeur continue » qui, d’ailleurs, comme nisus, deviennent, occasion d’un variation, sont jugés nécessaires.

§ 599
[La catégorie des grandeurs continues ou fluentes entre avec la considération de la variation externe et empirique des grandeurs — qui sont amenées par une équation dans la relation dans laquelle l’une est fonction de l’autre ; mais comme l’objet scientifique du calcul différentiel est une certaine relation (généralement exprimée par le coefficient différentiel), dont la nature spécifique peut également être appelée loi, la simple continuité est un aspect hétérogène de cette nature spécifique, et est d’ailleurs en tout cas une catégorie abstraite et ici vide puisque rien n’est dit de la loi de continuité. Dans quelles définitions formelles on peut être conduit dans ces matières peut être vu de l’exposition pénétrante par mon collègue respecté, le professeur Dirksen des déterminations fondamentales utilisées dans la déduction du calcul différentiel,qui forme une annexe à la critique de quelques travaux récents sur cette science. On cite en effet la définition suivante : « Une grandeur continue, un continuum, est toute grandeur pensée comme dans un état de devenir tel que ce devenir s’accomplit non par bonds mais par un progrès ininterrompu ». C’est sûrement tautologiquement la même chose que ce qu’il s’agissait de définir.]

§ 600
Mais il faudrait alors montrer quelle autre signification et valeur p a — en dehors de la maigre définition, tout à fait adéquate pour la théorie, qu’il s’agit simplement d’une fonction dérivée de l’expansion d’un binôme — c’est-à-dire quelles relations il incarne et quelles autres on peut en faire usage mathématiquement ; ce sera l’objet de la remarque 2. Mais nous allons d’abord discuter de la confusion que la conception d’approximation couramment utilisée dans les exposés du calcul, a occasionné dans la compréhension de la déterminité vraie, qualitative de la relation qui était l’intérêt premier concerné.

§ 601
On a montré que les dits infinitésimaux expriment la disparition des côtés du rapport comme quanta, et qu’il ne reste que leur rapport quantitatif comme déterminé qualitativement ; loin que cela entraîne la perte du rapport qualitatif, c’est que c’est justement ce rapport qui résulte de la conversion des grandeurs finies en grandeurs infinies. Comme nous l’avons vu, c’est en cela que consiste toute la nature de la matière. Ainsi dans le rapport final, par exemple, les quanta d’abscisse et d’ordonnée s’annulent ; mais les côtés de ce rapport restent essentiellement, l’un élément de l’ordonnée, l’autre élément de l’abscisse. Cette disparition étant représentée comme « une approximation infinie, on fait passer l’ordonnée précédemment distinguée dans l’autre ordonnée,et l’abscisse précédemment distinguée dans l’autre abscisse ; mais au fond il n’en est pas ainsi, l’ordonnée ne passe pas dans l’abscisse, ni l’abscisse ne passe dans l’ordonnée. Pour continuer avec cet exemple de grandeurs variables, l’élément de l’ordonnée n’est pas à prendre comme la différence d’une ordonnée d’une autre ordonnée, mais plutôt comme la différence ou la détermination qualitative de la grandeur par rapport à l’élément de l’abscisse ; le principe d’une grandeur variable relativement à celle de l’autre est en relation réciproque avec elle. La différence, n’étant plus une différence de grandeurs finies, a cessé d’être multiple en elle-même ; elle s’est effondrée dans une simple intensité, dans la détermination d’un moment qualitatif d’un rapport par rapport à l’autre.mais au fond il n’en est pas ainsi, l’ordonnée ne passe pas dans l’abscisse, ni l’abscisse ne passe dans l’ordonnée. Pour continuer avec cet exemple de grandeurs variables, l’élément de l’ordonnée n’est pas à prendre comme la différence d’une ordonnée d’une autre ordonnée, mais plutôt comme la différence ou la détermination qualitative de la grandeur par rapport à l’élément de l’abscisse ; le principe d’une grandeur variable relativement à celle de l’autre est en relation réciproque avec elle.

La différence, n’étant plus une différence de grandeurs finies, a cessé d’être multiple en elle-même ; elle s’est effondrée dans une simple intensité, dans la détermination d’un moment qualitatif d’un rapport par rapport à l’autre. Pour continuer avec cet exemple de grandeurs variables, l’élément de l’ordonnée n’est pas à prendre comme la différence d’une ordonnée d’une autre ordonnée, mais plutôt comme la différence ou la détermination qualitative de la grandeur par rapport à l’élément de l’abscisse ; le principe d’une grandeur variable relativement à celle de l’autre est en relation réciproque avec elle.

§ 602
Telle est la nature de la matière mais elle est obscurcie par le fait que ce qu’on vient d’appeler un élément, par exemple, de l’ordonnée, est saisi comme une différence ou un incrément de telle manière qu’il n’est que la différence entre le quantum d’une ordonnée et le quantum d’une autre ordonnée. Et donc la limite ici n’a pas le sens de rapport ; elle ne compte que pour la valeur finale dont se rapproche continuellement une autre grandeur de même espèce, de telle manière qu’elle peut en différer aussi peu qu’on veut, et que le rapport final est un rapport d’égalité. La différence infinie est donc la fluctuation d’une différence d’un quantum par rapport à un autre quantum, et la nature qualitative selon laquelle dx n’est essentiellement pas une détermination du rapport relativement à x, mais à dy, vient à passer inaperçue.Dx est autorisé à disparaître relativement à dx, mais encore plus dx s’évanouit relativement à x ; mais cela veut dire en vérité : il n’a de rapport qu’à mourir. Dans de telles expositions, les géomètres sont principalement soucieux de rendre intelligible l’approximation d’une grandeur à sa limite et de s’en tenir à cet aspect de la différence entre quantique et quantique, comment ce n’est pas une différence et pourtant c’est toujours une différence. Mais tout de même, l’approximation est une catégorie qui d’elle-même ne dit rien et n’explique rien ; dx a déjà une approximation derrière ; il n’est ni près ni plus près ; et « infiniment proche », signifie lui-même la négation de la proximité et de l’approximation.les géomètres sont principalement soucieux de rendre intelligible l’approximation d’une grandeur à sa limite et de s’en tenir à cet aspect de la différence entre quantique et quantique, comment ce n’est pas une différence et pourtant c’est toujours une différence. Mais tout de même, l’approximation est une catégorie qui d’elle-même ne dit rien et n’explique rien ; dx a déjà une approximation derrière ; il n’est ni près ni plus près ; et « infiniment proche », signifie lui-même la négation de la proximité et de l’approximation.les géomètres sont principalement soucieux de rendre intelligible l’approximation d’une grandeur à sa limite et de s’en tenir à cet aspect de la différence entre quantique et quantique, comment ce n’est pas une différence et pourtant c’est toujours une différence. Mais tout de même, l’approximation est une catégorie qui d’elle-même ne dit rien et n’explique rien ; dx a déjà une approximation derrière ; il n’est ni près ni plus près ; et « infiniment proche », signifie lui-même la négation de la proximité et de l’approximation.

§ 603
Or, puisque cela implique que les incréments ou infinitésimaux n’ont été considérés que du côté du quantum qui s’évanouit en eux, et seulement comme une limite, il s’ensuit qu’ils sont saisis comme des moments sans rapport. De là découlerait l’idée inadmissible qu’il est permis dans le rapport final d’égaler, disons abscisse et ordonnée, ou même sinus, cosinus, tangente, vers sinus, et ainsi de suite. Cette idée semble d’abord prévaloir lorsque l’arc est traité comme une tangente ; car l’arc aussi est certainement incommensurable avec la ligne droite, et son élément est d’abord d’une autre qualité que l’élément de la ligne droite. Cela semble encore plus absurde et inadmissible que la confusion d’abscisse, d’ordonnée, de vers sinus, de cosinus, etc., lorsque des rotondes en quadrata, lorsqu’elles font partie d’un arc, même si une partie infiniment petite,est considérée comme faisant partie de la tangente et donc traitée comme une ligne droite. Cependant ce traitement diffère essentiellement de la confusion que nous avons dénoncée ; elle se justifie par la circonstance que dans le triangle qui a pour côtés l’élément d’arc et les éléments de son abscisse et de son ordonnée, le rapport est le même que si cet élément de l’arc était l’élément d’une droite, de la tangente ; les angles qui constituent le rapport essentiel, c’est-à-dire celui qui reste à ces éléments lorsqu’on fait abstraction des grandeurs finies qui leur appartiennent, sont les mêmes. Cela peut aussi s’exprimer comme le passage de lignes droites infiniment petites en lignes courbes, et leur relation dans leur infini comme relation de courbes. Puisque, selon sa définition, une ligne droite est la distance la plus courte entre deux points,sa différence avec la ligne courbe est basée sur la détermination de la quantité, sur la plus petite quantité de ce qui est différencié de cette manière, une détermination, donc, d’un quantum. Mais cette détermination s’évanouit dans la ligne lorsqu’elle est prise comme une grandeur intensive, comme un moment infini, comme un élément, et avec elle aussi sa différence avec la ligne courbe qui ne reposait que sur la différence de quantum. Comme infinis, la droite et l’arc ne conservent donc plus aucun rapport quantitatif ni par conséquent, d’après la définition supposée, aucune différence qualitative l’un par rapport à l’autre ; au contraire, le premier passe dans le second.Mais cette détermination s’évanouit dans la ligne lorsqu’elle est prise comme une grandeur intensive, comme un moment infini, comme un élément, et avec elle aussi sa différence avec la ligne courbe qui ne reposait que sur la différence de quantum. Comme infinis, la droite et l’arc ne conservent donc plus aucun rapport quantitatif ni par conséquent, d’après la définition supposée, aucune différence qualitative l’un par rapport à l’autre ; au contraire, le premier passe dans le second.Mais cette détermination s’évanouit dans la ligne lorsqu’elle est prise comme une grandeur intensive, comme un moment infini, comme un élément, et avec elle aussi sa différence avec la ligne courbe qui ne reposait que sur la différence de quantum. Comme infinis, la droite et l’arc ne conservent donc plus aucun rapport quantitatif ni par conséquent, d’après la définition supposée, aucune différence qualitative l’un par rapport à l’autre ; au contraire, le premier passe dans le second.toute différence qualitative les uns par rapport aux autres non plus ; au contraire, le premier passe dans le second.toute différence qualitative les uns par rapport aux autres non plus ; au contraire, le premier passe dans le second.

§ 604
L’égalisation de formes hétérogènes est analogue, bien qu’elle soit également distincte, l’hypothèse que des parties infiniment petites d’un même tout sont égales les unes aux autres ; une hypothèse en elle-même indéfinie et complètement indifférente, mais qui, appliquée à un objet hétérogène en lui-même, c’est-à-dire un objet dont la détermination quantitative est essentiellement non uniforme, produit l’inversion particulière contenue dans cette proposition de la mécanique supérieure qui affirme que des parties infiniment petites de une courbe sont parcourus en des temps égaux, infiniment petits dans un mouvement uniforme, en tant que ceci est affirmé d’un mouvement dans lequel dans des parties égales finies, c’est-à-dire existantes, des parties de temps finies, c’est-à-dire existantes, inégales de la courbe sont parcourues, de un mouvement donc qui existe comme non uniforme et est supposé comme tel.Cette proposition est l’expression verbale de ce que l’on suppose être la signification d’un terme analytique obtenu dans le développement susmentionné de la formule relative à un mouvement qui n’est pas uniforme mais est par ailleurs conforme à une loi. Les premiers mathématiciens cherchaient à exprimer en mots et en propositions et à exposer dans des tables géométriques les résultats du calcul infinitésimal nouvellement inventé (qui d’ailleurs avait toujours à voir avec des objets concrets), principalement afin de les utiliser pour des théorèmes susceptibles de la méthode ordinaire de preuve. . Les termes d’une formule mathématique en laquelle le traitement analytique résolvait la grandeur de l’objet, du mouvement, par exemple, y acquéraient une signification objective, telle que vitesse, force d’accélération, etc. conformément à ce sens, ils étaient censés fournir des propositions correctes,lois physiques ; leurs connexions et relations objectives étaient également censées être déterminées conformément à la connexion analytique. Un exemple particulier est que dans un mouvement uniformément accéléré, il est supposé exister une vitesse spéciale proportionnelle aux temps, mais qu’à cette vitesse s’accroît constamment un accroissement de la force de gravité.

§ 605
Dans la forme analytique moderne de la mécanique, de telles propositions sont présentées simplement comme des résultats du calcul, sans rechercher si par elles-mêmes et en elles-mêmes elles ont une signification réelle, c’est-à-dire une signification à laquelle correspond une existence physique et si une telle signification peut être démontré. La difficulté de rendre intelligible la connexion de telles formes lorsqu’elles sont prises dans le sens réel auquel on fait allusion, par exemple le passage de ladite vitesse simplement uniforme à une vitesse uniformément accélérée, est considérée comme complètement éliminée par le traitement analytique dans lequel une telle connexion est un simple résultat de l’autorité désormais établie une fois pour toutes des opérations du calcul. Il est annoncé comme un triomphe de la science qu’au moyen du seul calcul, on trouve des lois transcendant l’expérience, c’est-à-dire propositions sur l’existence qui n’ont pas d’existence. Mais dans la période antérieure, encore naïve du calcul infinitésimal, le but était d’attribuer à ces formes et propositions représentées dans les diagrammes géométriques un sens réel qui leur est propre et de rendre ce sens plausible, et d’appliquer les formes et propositions portant un tel sens dans la preuve des principales propositions concernées.

§ 606
On ne peut nier que dans ce domaine, beaucoup de choses ont été acceptées comme preuve, surtout à l’aide de la conception nébuleuse de l’infiniment petit, pour la seule raison que le résultat était toujours déjà connu d’avance, et que la preuve qui était ainsi arrangée que le résultat a bien émergé, a au moins produit l’illusion d’un cadre de preuve, une illusion qui était encore préférée à la simple croyance ou à la connaissance de l’expérience. Mais je n’hésite pas à considérer cette affectation comme rien de plus que de la jonglerie et de l’habillage, et j’inclus dans cette description même les preuves de Newton, en particulier celles appartenant à ce qui vient d’être cité, pour lesquelles Newton a été exalté aux cieux et exalté au-dessus de Kepler, à savoir qu’il a démontré mathématiquement ce que Kepler avait découvert simplement empiriquement.

§ 607
L’échafaudage vide de telles preuves a été érigé afin de prouver les lois physiques. Mais les mathématiques sont tout à fait incapables de prouver des déterminations quantitatives du monde physique dans la mesure où ce sont des lois fondées sur la nature qualitative des moments [de la matière] ; et pour cette raison que cette science n’est pas la philosophie, ne part pas du Concept, et donc l’élément qualitatif, en tant qu’il n’est pas pris lemmatiquement de l’expérience, est hors de sa sphère. Le désir de soutenir l’honneur des mathématiques, que toutes ses propositions doivent être rigoureusement prouvées, lui a souvent fait oublier ses limites ; aussi semblait-il contre son honneur de reconnaître simplement l’expérience comme la source et la seule preuve des propositions empiriques. La conscience a depuis lors développé une vision plus instruite de la question ; Si longtemps,cependant, comme la conscience n’est pas clairement consciente de la distinction entre ce qui est mathématiquement démontrable et ce qui ne peut venir que d’une autre source, entre ce qui ne sont que des termes d’une expansion analytique et ce qui sont des existences physiques, la méthode scientifique ne peut pas être développée en une méthode rigoureuse et pure. attitude dans ce domaine. Sans aucun doute, cependant, la même justice sera rendue à ce cadre de preuve newtonienne qu’à une autre structure newtonienne artificielle et sans fondement d’expériences optiques et des conclusions qui en découlent. Les mathématiques appliquées regorgent encore d’un pareil mélange d’expérience et de réflexion ; mais de même qu’une partie après l’autre de l’optique newtonienne commença depuis longtemps à être ignorée dans la pratique par la science - avec l’incohérence cependant que tout le reste, bien qu’en contradiction, était autorisé à subsister - de même,c’est un fait que déjà certaines de ces preuves illusoires sont tombées dans l’oubli ou ont été remplacées par d’autres.

Le but du calcul différentiel déduit de son application

§ 608
Dans la remarque précédente nous avons considéré d’une part la nature spécifique de le Concept d’infinitésimal qui est utilisée dans le calcul différentiel, et d’autre part la base de son introduction dans le calcul ; les deux sont des déterminations abstraites et donc en elles-mêmes aussi faciles. La soi-disant application présente cependant de plus grandes difficultés, mais aussi le côté le plus intéressant ; les éléments de ce côté concret doivent faire l’objet de cette Remarque. Toute la méthode du calcul différentiel est complète dans la proposition que dxn = nx(n - 1)dx, ou (f(x + i) - fx)/i = P, c’est-à-dire est égal au coefficient du premier terme du binôme x + d, ou x + 1, développé selon les puissances de dx ou i. Il n’y a rien à apprendre de plus : l’élaboration des prochaines formes, de la différentielle d’un produit,d’une grandeur exponentielle et ainsi de suite, suit mécaniquement ; en peu de temps, en une demi-heure peut-être — car avec la découverte de la différentielle l’inverse est aussi donnée la découverte de la fonction originelle à partir de la différentielle ou de l’intégration — on peut être en possession de toute la théorie. Ce qui prend plus de temps, c’est simplement l’effort de comprendre, de rendre intelligible, comment se fait-il qu’après avoir si facilement accompli la première étape de la tâche, la découverte de ladite différentielle, analytiquement, c’est-à-dire purement arithmétiquement, par le développement de la fonction de la variable après que celle-ci a reçu la forme d’un binôme par l’ajout d’un incrément ; comment se fait-il que la seconde étape puisse être correcte, à savoir l’omission de tous les termes, sauf le premier, de la série issue de l’expansion.S’il ne fallait que ce coefficient, alors avec sa détermination tout ce qui concerne la théorie serait, comme nous l’avons dit, réglé et réglé en moins d’une demi-heure et l’omission des autres termes de la série (avec le la détermination de la première fonction, la détermination de la seconde, de la troisième, etc., s’accomplit également) loin de poser la moindre difficulté, ne seraient pas remises en cause puisqu’elles sont totalement hors de propos.

§ 609
On peut commencer par remarquer que la méthode du calcul différentiel montre à première vue qu’elle n’a pas été inventée et construite pour elle-même. Non seulement elle n’a pas été inventée pour elle-même comme autre mode de procédure analytique ; au contraire, l’omission arbitraire de termes résultant de l’expansion d’une fonction est absolument contraire à tous les principes mathématiques, elle étant arbitraire en ce sens que l’ensemble de ce développement est néanmoins supposé appartenir complètement à la matière en cours, celle-ci étant considérée comme la différence entre la fonction développée d’une variable (après avoir reçu la forme d’un binôme) et la fonction d’origine. La nécessité d’un tel mode de procédure et l’absence de toute justification interne suggèrent à la fois que l’origine et le fondement doivent être ailleurs.Il arrive aussi dans d’autres sciences, que ce qui est placé au début d’une science comme ses éléments et dont les principes de la science sont censés dériver ne va pas de soi, et que c’est plutôt dans la suite que la raison d’étre et la preuve de ces éléments doit être trouvée. Le cours des événements dans l’histoire du calcul différentiel montre clairement que la matière avait son origine principalement dans les diverses méthodes dites tangentielles, dans ce que l’on pourrait considérer comme des dispositifs ingénieux ; ce n’est que plus tard que les mathématiciens ont réfléchi à la nature de la méthode après qu’elle ait été étendue à d’autres objets, et l’ont réduite à des formules abstraites qu’ils ont alors également tenté d’élever au rang de principe.que ce qui est placé au commencement d’une science comme ses éléments et dont sont censés dériver les principes de la science ne va pas de soi, et que c’est plutôt dans la suite que la raison d’être et la preuve de ces éléments est à trouver. Le cours des événements dans l’histoire du calcul différentiel montre clairement que la matière avait son origine principalement dans les diverses méthodes dites tangentielles, dans ce que l’on pourrait considérer comme des dispositifs ingénieux ; ce n’est que plus tard que les mathématiciens ont réfléchi à la nature de la méthode après qu’elle ait été étendue à d’autres objets, et l’ont réduite à des formules abstraites qu’ils ont alors également tenté d’élever au rang de principe.que ce qui est placé au commencement d’une science comme ses éléments et dont sont censés dériver les principes de la science ne va pas de soi, et que c’est plutôt dans la suite que la raison d’être et la preuve de ces éléments est à trouver. Le cours des événements dans l’histoire du calcul différentiel montre clairement que la matière avait son origine principalement dans les diverses méthodes dites tangentielles, dans ce que l’on pourrait considérer comme des dispositifs ingénieux ; ce n’est que plus tard que les mathématiciens ont réfléchi à la nature de la méthode après qu’elle ait été étendue à d’autres objets, et l’ont réduite à des formules abstraites qu’ils ont alors également tenté d’élever au rang de principe.Le cours des événements dans l’histoire du calcul différentiel montre clairement que la matière avait son origine principalement dans les diverses méthodes dites tangentielles, dans ce que l’on pourrait considérer comme des dispositifs ingénieux ; ce n’est que plus tard que les mathématiciens ont réfléchi à la nature de la méthode après qu’elle ait été étendue à d’autres objets, et l’ont réduite à des formules abstraites qu’ils ont alors également tenté d’élever au rang de principe.Le cours des événements dans l’histoire du calcul différentiel montre clairement que la matière avait son origine principalement dans les diverses méthodes dites tangentielles, dans ce que l’on pourrait considérer comme des dispositifs ingénieux ; ce n’est que plus tard que les mathématiciens ont réfléchi à la nature de la méthode après qu’elle ait été étendue à d’autres objets, et l’ont réduite à des formules abstraites qu’ils ont alors également tenté d’élever au rang de principe.

§ 610
Nous avons montré que le caractère spécifique du Concept d’infinitésimal est le caractère qualitatif des déterminations de quantité qui se rapportent les unes aux autres principalement comme quanta ; à cela s’est liée l’investigation empirique visant à démontrer la présence de cette nature spécifique dans les descriptions et définitions existantes de l’infinitésimal en tant qu’elle est prise comme une différence infinitésimale et ainsi de suite. Cela n’a été fait que dans l’intérêt de la nature abstraite du Concept en tant que tel ; la question suivante serait de savoir quelle serait la nature du passage de ceci à la formulation et à l’application mathématiques. Pour cela, il faut d’abord poursuivre l’examen du côté théorique, de la spécificité du Concept, qui ne s’avérera pas tout à fait infructueux en soi ;il faut alors considérer le rapport du côté théorique à son application ; et dans les deux cas, nous devons démontrer, dans la mesure où cela est pertinent ici, que les conclusions générales sont en même temps adéquates au but du calcul différentiel et à la manière dont le calcul produit ses résultats.

§ 611
D’abord, il faut se rappeler que la forme mathématique de la déterminité du Concept en discussion a déjà été énoncée en passant. Le caractère spécifiquement qualitatif de la quantité s’indique d’abord dans le rapport quantitatif comme tel ; mais il a déjà été affirmé par anticipation en démontrant les soi-disant sortes de calcul (voir la remarque relative), que c’est le rapport des puissances (encore à traiter à sa place) dans lequel nombre, par l’égalisation de la moments de son Concept, unité et quantité, se pose comme rentré en soi, recevant ainsi en soi le moment d’infini, d’être-pour-soi, c’est-à-dire d’être autodéterminé. Ainsi, comme nous l’avons déjà dit, la nature qualitative expresse de la quantité est essentiellement liée aux formes des pouvoirs,et puisque l’intérêt spécifique du calcul différentiel est d’opérer avec des formes qualitatives de grandeur, son propre sujet particulier doit être le traitement des formes de puissances, et toute la gamme des problèmes, et leurs solutions, montre que l’intérêt réside uniquement dans le traitement des déterminations de pouvoirs en tant que telles.

§ 612
Ce fondement est important et met d’emblée au premier plan quelque chose de défini à la place des catégories purement formelles de grandeurs variables, continues ou infinies ou même de fonctions en général ; mais elle est encore trop générale, car d’autres opérations ont aussi à voir avec des déterminations de puissances. L’élévation à une puissance, l’extraction d’une racine, le traitement des grandeurs exponentielles et des logarithmes, des séries et des équations d’ordre supérieur, tout cela n’a d’intérêt et de préoccupation que pour les relations fondées sur les puissances. Sans doute, ceux-ci constituent ensemble un système de traitement des pouvoirs ; mais laquelle des diverses relations dans lesquelles les déterminations des puissances peuvent être placées est l’intérêt particulier et l’objet du calcul différentiel, cela doit être déterminé par le calcul lui-même, c’est-à-dire par ses soi-disant applications. Ceux-ci sont,en fait, le cœur de toute l’affaire, la procédure proprement dite dans la solution mathématique d’un certain groupe de problèmes ; cette procédure était antérieure à la théorie ou partie générale et n’a été appelée plus tard application qu’en référence à la théorie créée par la suite, dont le but était d’élaborer la méthode générale de la procédure et, ainsi, de la doter de principes premiers, c’est-à-dire avec une justification. Nous avons montré dans la remarque précédente l’inanité de la recherche de principes qui éclaireraient la méthode telle qu’elle est actuellement comprise, principes qui résoudraient réellement la contradiction révélée par la méthode au lieu de l’excuser ou de la masquer simplement par l’insignifiance de ce qui est ici. à omettre (mais qui est vraiment requis par la procédure mathématique), ou, ce qui revient au même,la possibilité d’approximation infinie ou arbitraire, etc. Si de la partie pratique des mathématiques connue sous le nom de calcul différentiel les traits généraux de la méthode devaient être abstraits d’une manière différente de celle suivie jusqu’ici, alors lesdits principes et le souci qu’ils portent se révéleraient également superflus, tout comme elles se révèlent intrinsèquement fausses et en permanence contradictoires.

§ 613
Si nous recherchons cette particularité en reprenant simplement ce que nous trouvons dans cette partie des mathématiques, nous trouvons comme sujet :
(a) Équations dans lesquelles n’importe quel nombre de grandeurs (ici nous pouvons simplement nous limiter à deux) sont combinés en un tout qualitatif de telle sorte que d’abord, ces équations ont leur déterminité dans les grandeurs empiriques qui sont leurs limites fixes, et aussi dans le genre de rapport qu’ils ont avec ces limites et entre eux comme c’est généralement le cas dans une équation ; mais comme il n’y a qu’une seule équation pour les deux grandeurs (de même, relativement plus d’équations pour plus de grandeurs, mais toujours moins que le nombre de grandeurs), ces équations appartiennent à la classe des équations indéterminées ; et deuxièmement, qu’un aspect de la déterminité de ces grandeurs est qu’elles sont — ou au moins l’une d’elles est présente dans l’équation à une puissance plus élevée que la première.

§ 614
Avant d’aller plus loin, il y a une ou deux choses à remarquer à ce sujet. La première est que les grandeurs, telles qu’elles sont décrites sous la première des deux rubriques ci-dessus, ont simplement et uniquement le caractère de variables telles qu’elles se présentent dans les problèmes d’analyse indéterminée. Leur valeur est indéterminée, mais si l’un d’eux reçoit une valeur complètement déterminée, c’est-à-dire une valeur numérique, de l’extérieur, alors l’autre aussi est déterminé, de sorte que l’un est fonction de l’autre. Par conséquent, par rapport à la déterminité quantitative spécifique dont il est ici question, les catégories de grandeurs variables, fonctions et autres sont, comme nous l’avons déjà dit, purement formelles, parce qu’elles sont encore trop générales pour contenir cet élément spécifique sur lequel tout l’intérêt du calcul différentiel est focalisé,ou pour permettre que cet élément soit expliqué par l’analyse ; ce sont en elles-mêmes des déterminations simples, sans importance, faciles qui ne sont rendues difficiles qu’en y important ce qu’elles ne contiennent pas pour qu’on puisse ensuite en tirer cela, à savoir la détermination spécifique du calcul différentiel. Ensuite en ce qui concerne la soi-disant constante, on peut constater qu’elle est en premier lieu une grandeur empirique indifférente déterminant les variables uniquement par rapport à leur quantum empirique comme limite de leur minimum et de leur maximum ; mais la nature de la connexion entre les constantes et les variables est elle-même un facteur significatif dans la nature de la fonction particulière que sont ces grandeurs. Inversement, cependant, les constantes elles-mêmes sont aussi des fonctions ; dans la mesure où une ligne droite, par exemple,a le sens d’être le paramètre d’une parabole, alors ce sens est que c’est la fonction y2/x2 ; et dans le développement du binôme en général, la constante qui est le coefficient du premier terme du développement est la somme des racines, le coefficient du second est la somme des produits, par paires, et ainsi de suite ; ici, donc, les constantes sont simplement des fonctions des racines. Lorsque, dans le calcul intégral, la constante est déterminée à partir de la formule donnée, elle est dans cette mesure traitée en fonction de celle-ci. Nous considérerons plus loin ces coefficients sous un autre caractère que celui de fonctions, leur sens dans l’objet concret étant au centre de tout l’intérêt.la constante qui est le coefficient du premier terme du développement est la somme des racines, le coefficient du second est la somme des produits, deux à deux, et ainsi de suite ; ici, donc, les constantes sont simplement des fonctions des racines. . Nous considérerons plus loin ces coefficients sous un autre caractère que celui de fonctions, leur sens dans l’objet concret étant au centre de tout l’intérêt.il est dans cette mesure traité en fonction de celui-ci.

§ 615
Or la différence entre les variables considérées dans le calcul différentiel, et dans leur caractère de facteurs dans des problèmes indéterminés, doit être vue comme consistant en ce qui a été dit, à savoir qu’au moins une de ces variables (ou même toutes), se trouve dans une puissance supérieure à la première ; et ici encore il est indifférent qu’ils soient tous de la même puissance supérieure ou de puissances inégales ; leur indétermination spécifique qu’ils ont ici consiste uniquement en ce que, dans un tel rapport de pouvoirs, ils sont fonctions les uns des autres. L’altération des variables est ainsi qualitativement déterminée, donc continue, et cette continuité, qui encore n’est elle-même que la catégorie purement formelle d’une identité, d’une déterminité qui se conserve et reste la même dans l’altération,a ici son sens déterminé, uniquement, c’est-à-dire dans le rapport de force, qui n’a pas de quantum pour exposant et qui forme la déterminité non quantitative, permanente, du rapport des variables. Pour cette raison, il convient de noter, dans la critique d’un autre formalisme, que le premier pouvoir n’est qu’un pouvoir par rapport aux pouvoirs supérieurs ; à lui seul, x est simplement n’importe quel quantum indéterminé. Il ne sert donc à rien de différencier pour elles-mêmes les équations y = ax + b (de la droite), ou s = ct (de la vitesse uniforme simple) ; si de y = ax, ou encore de ax + b, on obtient a = dy/dx, ou de s = ct, ds/dt = c, alors a = y/x est également la détermination de la tangente, ou s/t celle de la vitesse simplement en tant que telle.Ce dernier prend la forme dy/dx dans le contexte de ce que l’on dit être le développement du mouvement uniformément accéléré ; mais, comme déjà remarqué, la présence dans le système d’un tel mouvement, d’un moment de vitesse simple et simplement uniforme, c’est-à-dire une vitesse qui n’est pas déterminée par la puissance supérieure de l’un des moments du mouvement est en soi une hypothèse vide de sens basé uniquement sur la routine de la méthode. Puisque la méthode part de la conception de l’incrément que la variable est censée acquérir, alors bien entendu une variable qui n’est fonction que de la première puissance peut aussi recevoir un incrément ; quand maintenant, pour trouver la différentielle, nous devons soustraire la différence de la seconde équation ainsi produite de l’équation donnée, l’absurdité de l’opération devient apparente, car, comme nous l’avons remarqué,l’équation pour les soi-disant incréments, à la fois avant et après l’opération, est la même que pour les variables elles-mêmes.

§ 616
b) Ce qui a été dit détermine la nature de l’équation à traiter ; il s’agit maintenant d’indiquer quel est l’intérêt sur lequel porte le traitement de l’équation. Cette considération ne peut donner que des résultats connus, sous une forme que l’on retrouve surtout dans la version de Lagrange ; mais j’ai rendu l’exposé tout à fait élémentaire pour éliminer les déterminations hétérogènes qui s’y rattachent. La base de traitement d’une équation de ce genre se révèle être ceci, que le pouvoir est pris comme étant en lui-même une relation ou un système de relations. Nous avons dit plus haut que la puissance est le nombre qui a atteint le stade où il détermine sa propre altération, où ses moments d’unité et de quantité sont identiques — comme montré précédemment, complètement identiques d’abord dans le carré, formellement (ce qui ne fait aucune différence ici) en plus haut. pouvoirs.Or la puissance est nombre (la grandeur comme terme plus général peut être préféré, mais elle est toujours en elle-même nombre), et donc une pluralité, et se représente aussi comme une somme ; il peut donc être directement analysé en une quantité arbitraire de nombres qui n’ont aucune autre détermination les uns par rapport aux autres ou à leur somme, sinon qu’ensemble ils sont égaux à la somme. Mais le pouvoir peut aussi être divisé en une somme de différences qui sont déterminées par la forme du pouvoir. Si la puissance est prise comme une somme, alors son nombre radical, la racine, est également pris comme une somme, et arbitrairement après des divisions multiples, dont la multiplicité, cependant, est l’élément indifférent, empiriquement quantitatif. La somme que la racine est supposée être, réduite à sa simple déterminité, c’est-à-dire à sa véritable universalité, est le binôme ;toute augmentation supplémentaire du nombre de termes est une simple répétition de la même détermination et donc dénuée de sens.
[Elle relève uniquement du formalisme de cette généralité à laquelle se réclame forcément l’analyse quand, au lieu de prendre (a + b)n pour l’expansion des pouvoirs, elle donne à l’expression la forme de (a + b + c + d.. .)n comme cela arrive aussi dans de nombreux autres cas ; une telle forme doit être considérée, pour ainsi dire, comme une simple affectation d’une apparence de généralité ; la matière elle-même est épuisée dans le binôme. C’est par l’expansion du binôme que se trouve la loi, et c’est la loi qui est la véritable universalité, non la simple répétition extérieure de la loi qui est tout ce qui est effectué par ce a + b + c + d . ..]

§ 617
Le seul point important ici est la déterminité qualitative des termes résultant de l’élévation à une puissance de la racine prise en somme, et cette déterminité réside uniquement dans l’altération qu’est la potentialisation. Ces termes sont donc entièrement fonctions de potentialisation et de puissance. Or cette représentation du nombre comme somme d’une pluralité de termes qui sont des fonctions de potentialisation, et la découverte de la forme de telles fonctions et aussi cette somme à partir de la pluralité de ces termes, en tant que cela doit dépendre uniquement de cette forme , cela constitue, on le sait, la théorie spéciale des séries. Mais à ce propos, il est essentiel de distinguer un autre objet d’intérêt, à savoir le rapport de la grandeur fondamentale elle-même (dont la déterminité, puisqu’elle est un complexe, c’est-à-dire ici une équation,renferme en lui un pouvoir) aux fonctions de sa potentialisation. Ce rapport, pris en toute abstraction de l’intérêt de la somme précédemment mentionné, se montrera être le seul point de vue que donne l’aspect pratique de la science.

§ 618
Mais d’abord, une autre détermination doit être ajoutée à ce qui a été dit, ou plutôt, une autre qui y est impliquée doit être supprimée. On a dit que la variable dans la détermination de laquelle la puissance entre est considérée comme une somme en elle-même, en fait un système de termes dans la mesure où ceux-ci sont des fonctions de la potentialisation, et qu’ainsi la racine, elle aussi, est considérée comme un somme et sous la forme simplement déterminée d’un binôme : xn = (y + z)n = (yn + ny(n-1)z + ... ). Cet exposé est parti de la somme comme telle pour l’expansion du pouvoir, c’est-à-dire pour l’obtention des fonctions de sa potentialisation ; mais il ne s’agit pas ici d’une somme en tant que telle, ni de la série qui en découle ; ce qu’il faut retenir de la somme, c’est seulement le rapport. La relation en tant que telle des grandeurs est, d’une part,tout ce qui reste après l’abstraction est fait du plus d’une somme comme telle, et d’autre part tout ce qui est nécessaire pour trouver les fonctions produites par l’expansion de la puissance.

§ 619
Mais une telle relation est déjà déterminée par le fait qu’ici l’objet est une équation, ym = axn, et donc déjà un complexe de plusieurs grandeurs (variables) qui en contient une détermination de puissance. Dans ce complexe, chacune de ces variables est posée simplement par rapport aux autres avec le sens, pourrait-on dire, d’un plus implicite en elle — en fonction des autres variables ; leur caractère, celui d’être fonction l’une de l’autre, leur donne cette détermination d’un plus qui, cependant, pour cette même raison, est tout à fait indéterminé — non un accroissement ou un accroissement, ou quoi que ce soit de cette nature. Pourtant, même ce point de vue abstrait, nous pourrions laisser de côté ; on peut tout simplement s’arrêter au point où les variables de l’équation ayant reçu la forme de fonctions les unes des autres, fonctions contenant un rapport de puissances,les fonctions de potentialisation sont alors aussi comparées les unes aux autres — ces fonctions secondes étant déterminées simplement et uniquement par la potentialisation elle-même. Traiter une équation des puissances de ses variables comme une relation des fonctions développées par potentialisation peut, en premier lieu, être considéré comme une simple question de choix ou de possibilité ; l’utilité d’une telle transformation doit être indiquée par un autre but ou usage ; et la seule raison de la transformation était son utilité.l’utilité d’une telle transformation doit être indiquée par un autre but ou usage ; et la seule raison de la transformation était son utilité.l’utilité d’une telle transformation doit être indiquée par un autre but ou usage ; et la seule raison de la transformation était son utilité.

§ 620
Lorsque nous sommes partis plus haut de la représentation de ces fonctions de potentialisation d’une variable qui est prise comme un complexe de somme en elle-même, cela n’a servi qu’en partie à indiquer la nature de telles fonctions, mais en partie aussi à montrer la manière dont elles se trouvent.

§ 621
Ce que nous avons ici est donc le développement analytique ordinaire qui, aux fins du calcul différentiel, est opéré de cette manière, qu’un incrément dx ou i est donné à la variable et ensuite la puissance du binôme est développée par les termes de la série lui appartenant. Mais ce qu’on appelle l’incrément n’est pas un quantum mais seulement une forme dont toute la valeur est d’aider au développement ; il est admis — le plus catégoriquement par Euler et Lagrange et dans la conception de limite mentionnée précédemment — que ce qu’on veut, ce sont seulement les déterminations de puissance résultantes des variables, les soi-disant coefficients, à savoir, de l’incrément et de ses puissances, selon laquelle la série est ordonnée et à laquelle appartiennent les différents coefficients.À ce sujet, nous pourrions peut-être remarquer que puisqu’un incrément (qui n’a pas de quantum) n’est supposé que pour le développement, il serait plus approprié de prendre i (le un) à cette fin, car dans le développement cela ne se produit toujours que comme facteur ; le facteur un remplit donc l’objectif, à savoir que l’augmentation n’implique aucune détermination ou altération quantitative ; d’autre part, dx, qui est chargé de l’idée fausse d’une différence quantitative, et d’autres symboles comme i avec la simple démonstration — inutile ici — de généralité, ont toujours l’apparence et la prétention d’un quantum et de ses pouvoirs ; cette prétention entraîne alors la peine qu’elles doivent néanmoins être enlevées et laissées de côté. Afin de conserver la forme d’une série élargie sur la base des pouvoirs,les désignations des exposants comme indices pourraient aussi bien être rattachées à l’un. Mais en tout cas, il faut faire abstraction de la série et de la détermination des coefficients d’après leur place dans la série ; le rapport entre tous est le même ; la seconde fonction est dérivée de la première exactement de la même manière qu’elle l’est de la fonction originale, et pour la fonction comptée comme seconde, la première fonction dérivée est elle-même originale. Mais le point essentiel d’intérêt n’est pas la série mais simplement et uniquement la détermination de la puissance résultant de l’expansion dans son rapport à la variable qui pour la détermination de la puissance est immédiate. Il ne doit donc pas être défini comme le coefficient du premier terme du développement,car il n’est d’abord que par rapport aux autres termes qui le suivent dans la série, et une puissance telle que celle d’un incrément, comme la série elle-même, est ici hors de propos ; au lieu de cela, l’expression simple : fonction dérivée d’une puissance, ou comme on l’a dit plus haut : fonction de potentialisation d’une grandeur, serait préférable — la connaissance de la manière dont la dérivation est considérée comme un développement inclus dans une puissance étant présupposée.

§ 622
Or, si le commencement strictement mathématique dans cette partie de l’analyse n’est rien de plus que la découverte de la fonction déterminée par l’expansion de la puissance, la question supplémentaire est de savoir que faire de la relation ainsi obtenue, où en a-t-elle une application et un usage. , ou encore, dans quel but de telles fonctions sont-elles recherchées. C’est la découverte de relations dans une matière concrète qui peut être réduite à une telle fonction qui a donné au calcul différentiel son grand intérêt.

§ 623
Mais en ce qui concerne l’applicabilité de la relation, nous n’avons pas besoin d’attendre que des conclusions soient tirées des applications particulières elles-mêmes, la réponse découle directement et automatiquement de la nature de la matière dont nous avons montré qu’elle consiste dans la forme possédée par les moments des pouvoirs : à savoir, l’expansion des puissances, qui donne les fonctions de leur potentialisation, contient (en ignorant toute détermination plus précise) en premier lieu, simplement la réduction de la grandeur à la prochaine puissance inférieure. Cette opération est donc applicable dans le cas des objets dans lesquels il existe également une telle différence de déterminations de puissance. Or, si nous réfléchissons à la nature spécifique de l’espace, nous constatons qu’il contient les trois dimensions qui, pour les distinguer des différences abstraites de hauteur, de longueur et de largeur,nous pouvons appeler béton, c’est-à-dire ligne, surface et espace total ; et lorsqu’elles sont prises dans leurs formes les plus simples et en référence à l’autodétermination et par conséquent aux dimensions analytiques, nous avons la droite, la surface plane et la surface prise comme un carré, et le cube. La droite a un quantum empirique, mais avec le plan entre l’élément qualitatif, la détermination de la puissance ; d’autres modifications, par exemple le fait que cela se produit également dans le cas de courbes planes, nous n’avons pas besoin de considérer, car nous nous occupons principalement de la distinction en général. Avec cela surgit aussi la nécessité de passer d’une puissance supérieure à une puissance inférieure, et vice versa, lorsque, par exemple, des déterminations linéaires doivent être dérivées d’équations données du plan, ou vice versa. Plus loin,le mouvement dans lequel nous avons à considérer le rapport quantitatif de l’espace parcouru au temps écoulé, se manifeste dans les différentes déterminations d’un mouvement qui est simplement uniforme, ou uniformément accéléré, ou alternativement uniformément accéléré et uniformément retardé, et donc un moi -mouvement de retour ; puisque ces différentes sortes de mouvement s’expriment d’après le rapport quantitatif de leurs moments, d’espace et de temps, leurs équations contiennent des déterminations différentes de puissances, et lorsqu’il est nécessaire de déterminer une sorte de mouvement, ou une grandeur spatiale à laquelle on genre de mouvement est lié, d’un autre genre de mouvement, l’opération implique aussi le passage d’une fonction-puissance à une autre, supérieure ou inférieure. Ces deux exemples peuvent suffire aux fins pour lesquelles ils sont cités.

§ 624
L’apparence d’arbitraire présentée par le calcul différentiel dans ses applications serait clarifiée simplement par une conscience de la nature des sphères dans lesquelles son application est permise et de la nécessité et de la condition particulières de cette application. Mais maintenant, le point d’intérêt supplémentaire à l’intérieur de ces sphères elles-mêmes est de savoir entre quelles parties du sujet du problème mathématique se produit une telle relation telle qu’elle est particulièrement posée par le calcul différentiel. Tout d’abord, il faut remarquer qu’il existe deux sortes de relations. L’opération de dépotentialisation d’une équation considérée d’après les fonctions dérivées de ses variables, donne un résultat qui, en lui-même, n’est plus vraiment une équation mais une relation ; cette relation est l’objet du calcul différentiel proprement dit. Cela nous donne aussi, deuxièmement,la relation de la forme de puissance supérieure (l’équation originale) elle-même à la forme inférieure (la dérivée). Cette seconde relation, nous devons l’ignorer pour le moment ; il s’avérera être le sujet particulier du calcul intégral.

§ 625
Commençons par considérer la première relation ; pour la détermination de son moment (à tirer de l’application, où est l’intérêt de l’opération) nous prendrons l’exemple le plus simple des courbes déterminées par une équation du second degré. Comme nous le savons, la relation des coordonnées est donnée directement par l’équation sous forme de puissance. De la détermination fondamentale découlent les déterminations des autres droites liées aux coordonnées, tangente, sous-tangente, normale, etc.

§ 626
Mais les équations entre ces droites et la coordonnée sont des équations linéaires ; les touts par rapport auxquels ces lignes sont déterminées comme parties, sont des triangles rectangles formés de droites. Le passage de l’équation d’origine qui contient la forme puissance, auxdites équations linéaires, implique maintenant le passage précité de la fonction d’origine (qui est une équation), à la fonction dérivée (qui est une relation, une relation, c’est-à-dire , entre certaines lignes contenues dans la courbe). Le problème consiste à trouver le lien entre la relation de ces droites et l’équation de la courbe.

§ 627
Il n’est pas sans intérêt, en ce qui concerne l’élément historique, de remarquer à ce point, que les premiers découvreurs n’ont pu que consigner leurs découvertes d’une manière toute empirique sans pouvoir rendre compte de l’opération, qui restait une affaire tout à fait extérieure. Il suffira ici de se référer à Barrow, à celui qui fut le maître de Newton. Dans son lect. Opter. et Geom., où il traite les problèmes de géométrie supérieure selon la méthode des indivisibles, méthode qui, d’abord, est distincte du trait caractéristique du calcul différentiel, il consigne aussi sa méthode de détermination des tangentes — « parce que ses amis l’ont poussé à le faire ». Pour se faire une idée juste de la façon dont cette procédure est formulée simplement comme une règle externe, dans le même style que la « règle de trois »,ou mieux encore le soi-disant « test en chassant les neuf », il faut lire la propre exposition de Barrow. Il trace ensuite les minuscules lignes appelées incréments du triangle caractéristique d’une courbe et donne ensuite l’instruction, sous la forme d’une simple règle, de rejeter comme superflus les termes qui, à la suite de l’expansion des équations, apparaissent comme puissances desdits incréments ou comme produits (etenim isti termini nihilum valebunt) ; de même, les termes qui ne contiennent que des grandeurs à trouver dans l’équation d’origine sont à rejeter (la soustraction ultérieure de l’équation d’origine à celle formée avec les incréments) ; et enfin, pour les incréments de l’ordonnée et de l’abscisse, l’ordonnée elle-même et la sous-tangente respectivement sont à substituer. La procédure, si l’on peut dire,peut difficilement être exposé d’une manière plus semblable à celle d’un maître d’école ; cette dernière substitution est l’hypothèse de la proportionnalité des incréments de l’ordonnée et de l’abscisse avec l’ordonnée et la sous-tangente, hypothèse sur laquelle est basée la détermination de la tangente dans la méthode différentielle ordinaire ; dans la règle de Barrow, cette hypothèse apparaît dans toute sa nudité naïve. Un moyen simple de déterminer la sous-tangente a été trouvé ; les artifices de Roberval et de Fermat ont un caractère semblable. La méthode de recherche des valeurs maximales et minimales à partir de laquelle Fermat est partie repose sur la même base et la même procédure. C’était un engouement mathématique à l’époque de trouver des soi-disant méthodes, c’est-à-dire des règles de ce genre et d’en faire un secret — ce qui était non seulement facile, mais à un égard même nécessaire,pour la même raison que c’était facile, c’est-à-dire parce que les inventeurs n’avaient trouvé qu’une règle empirique extérieure, pas une méthode, c’est-à-dire rien qui dérive de principes établis. Leibniz accepta de telles soi-disant méthodes de ses contemporains et Newton aussi qui les obtint directement de son professeur ; en généralisant leur forme et leur applicabilité, ils ont ouvert de nouvelles voies aux sciences, mais en même temps ils ont ressenti le besoin d’arracher la procédure à la forme de règles purement extérieures et d’essayer de lui procurer la justification nécessaire.en généralisant leur forme et leur applicabilité, ils ont ouvert de nouvelles voies aux sciences, mais en même temps ils ont ressenti le besoin d’arracher la procédure à la forme de règles purement extérieures et d’essayer de lui procurer la justification nécessaire.en généralisant leur forme et leur applicabilité, ils ont ouvert de nouvelles voies aux sciences, mais en même temps ils ont ressenti le besoin d’arracher la procédure à la forme de règles purement extérieures et d’essayer de lui procurer la justification nécessaire.

§ 628
Si nous analysons la méthode de plus près, nous trouvons que la véritable procédure est la suivante. Premièrement, les formes puissances (des variables bien sûr) contenues dans l’équation sont réduites à leurs premières fonctions. Mais la valeur des termes de l’équation s’en trouve altérée ; il n’y a plus d’équation, mais seulement une relation entre la première fonction de l’une des variables et la première fonction de l’autre. Au lieu de px = y2 nous avons p : 2y, ou au lieu de 2ax - x2 = y2, nous avons a - x : y, la relation qui fut plus tard désignée par dy/dx. Or l’équation représente une courbe ; mais cette relation, qui en dépend entièrement et en dérive (ci-dessus, selon une simple règle), est au contraire une relation linéaire avec laquelle certaines droites sont en proportion : p : 2y ou a - x : y sont eux-mêmes des relations de droite de la courbe,des coordonnées et des paramètres. Mais avec tout cela, rien n’est encore connu. L’intérêt est de trouver que la relation dérivée s’applique à d’autres lignes liées à la courbe, de trouver l’égalité de deux relations. Et donc il y a, en second lieu, la question, quelles sont les droites déterminées par la nature de la courbe, se tenant dans une telle relation ? Mais c’est justement ce que l’on savait déjà : à savoir que le rapport ainsi obtenu est le rapport de l’ordonnée à la sous-tangente. C’est ce que les anciens avaient trouvé d’une manière géométrique ingénieuse ; ce que les modernes ont découvert, c’est le procédé empirique de préparer l’équation de la courbe de telle sorte qu’elle donne cette première relation dont on savait déjà qu’elle est égale à une relation contenant la droite (ici la sous-tangente) qui doit être déterminée. Maintenant, d’une part,cette préparation de l’équation — la différenciation — a été méthodiquement conçue et exécutée ; mais d’autre part les incréments imaginaires des coordonnées et un triangle caractéristique imaginaire formé par eux et par un incrément également imaginaire de la tangente, ont été inventés afin que la proportionnalité du rapport trouvée en abaissant le degré de l’équation au rapport formé par l’ordonnée et la sous-tangente, peut être représenté, non comme quelque chose d’uniquement accepté empiriquement comme un fait déjà familier, mais comme quelque chose de démontré. Cependant, sous ladite forme de règles, le fait déjà connu se révèle absolument et indubitablement comme l’unique occasion et la justification respective de l’hypothèse du triangle caractéristique et de ladite proportionnalité.

§ 629
Or Lagrange rejeta cette prétention et s’engagea dans la voie véritablement scientifique. Il faut remercier sa méthode d’avoir mis en évidence le véritable intérêt car elle consiste à séparer les deux transitions nécessaires à la solution du problème et à traiter et prouver chacune d’elles séparément. Une partie de cette solution (pour l’énoncé plus détaillé du processus, nous nous limiterons à l’exemple du problème élémentaire de la recherche de la sous-tangente), la partie théorique ou générale, à savoir la recherche de la première fonction à partir de l’équation donnée de la est traitée séparément ; le résultat est une relation linéaire, une courbe, relation donc de droites apparaissant dans le système déterminé par la courbe. L’autre partie de la solution est maintenant de trouver les lignes de la courbe qui se trouvent dans cette relation.Or cela s’effectue de manière directe, c’est-à-dire sans le triangle caractéristique, ce qui signifie qu’il n’y a pas d’hypothèse d’arcs, d’ordonnées et d’abscisses infiniment petits, les deux derniers ayant la signification de dy et dx, c’est-à-dire d’être des côtés de cette relation, et en même temps égalant directement l’ordonnée et l’abscisse infiniment petites avec l’ordonnée et la sous-tangente elles-mêmes. Une ligne (et un point aussi) n’est déterminée que dans la mesure où elle forme le côté d’un triangle et la détermination d’un point aussi ne tombe que dans ce triangle. Ceci, on peut le mentionner en passant, est la proposition fondamentale de la géométrie analytique d’où dérivent les coordonnées de cette science, de même (c’est le même point de vue) en mécanique elle donne naissance au parallélogramme des forces,pour cette raison même les nombreux efforts pour trouver une preuve de ce dernier sont tout à fait inutiles. La sous-tangente, maintenant, est faite pour être le côté d’un triangle dont les autres côtés sont l’ordonnée et la tangente qui lui est connectée. L’équation de ce dernier, en droite, est p = aq (la détermination ne nécessite pas le terme supplémentaire, + b qui n’est ajouté qu’en raison du penchant pour la généralité) ; — la détermination du rapport p/q relève de a, le coefficient de q qui est la fonction première (dérivée) respective de l’équation, mais ne peut être simplement considéré que comme a = p/q étant, comme nous l’avons dit, le détermination essentielle de la droite qui s’applique comme tangente à la courbe. Mais la première fonction (dérivée) de l’équation de la courbe est également la détermination d’une droite ;vu alors que la coordonnée p de la première droite et y, la coordonnée de la courbe, sont supposées identiques (de sorte que le point auquel la courbe est touchée par la première droite supposée tangente est aussi le point de départ de la droite déterminé par la première fonction de la courbe), le problème est de montrer que cette deuxième droite coïncide avec la première, c’est-à-dire est une tangente ; ou, exprimé algébriquement, que puisque y = fx et p = Fq, et on suppose que y = p et donc que fx = Fq, donc f’x = F’q. Maintenant pour montrer que la droite appliquée comme tangente et la droite déterminée par la première fonction de l’équation coïncident, et que donc cette dernière est une tangente,Descartes a recours à l’incrément i de l’abscisse et à l’incrément de l’ordonnée déterminé par le développement de la fonction. Ainsi, ici aussi, l’augmentation répréhensible fait également son apparition ; mais son introduction dans le but indiqué et son rôle dans l’expansion de la fonction doivent être soigneusement distingués de l’emploi mentionné précédemment de l’incrément dans la recherche de l’équation différentielle et dans le triangle caractéristique. Son emploi ici est justifié et nécessaire car elle relève du domaine de la géométrie, la détermination géométrique d’une tangente en tant que telle impliquant qu’entre elle et la courbe avec laquelle elle a un point commun, aucune autre droite ne peut être tracée qui passe également par ledit point. Car, ainsi déterminé,la qualité de tangente ou de non-tangente se réduit à une différence quantitative, cette ligne étant la tangente dont simplement une plus grande petitesse est affirmée par rapport à la détermination en question. Cette petitesse en apparence seulement relative ne contient aucun élément empirique, c’est-à-dire rien qui dépende d’un quantum en tant que tel ; en vertu de la nature de la formule elle est explicitement qualitative si la différence des moments dont dépend la grandeur à comparer est une différence de puissances. Puisque cette différence devient celle de i et i2 et que i (qui après tout est censé signifier un nombre) est alors à concevoir comme une fraction, i2 est donc en lui-même et explicitement plus petit que i, de sorte que la conception même d’un la grandeur en rapport avec i est ici superflue et en fait hors de propos.Pour la même raison, la démonstration de la plus grande petitesse n’a rien à voir avec un infinitésimal, qu’il n’est donc pas du tout nécessaire d’introduire ici.

§ 630
Il faut aussi mentionner la méthode tangentielle de Descartes, ne serait-ce que pour sa beauté et sa renommée — méritée mais aujourd’hui largement oubliée ; elle a d’ailleurs une incidence sur la nature des équations, ce qui, encore une fois, appelle une remarque supplémentaire. Descartes expose cette méthode indépendante, dans laquelle la détermination linéaire requise se trouve également à partir de la même fonction dérivée, dans sa géométrie qui s’est avérée si féconde à d’autres égards ; il y a enseigné la grande base de la nature des équations et de leur construction géométrique, et aussi de l’application de l’analyse, ainsi considérablement élargie dans sa portée, à la géométrie. Avec lui, le problème a pris la forme de tracer des lignes droites perpendiculairement à des points donnés sur une courbe comme méthode pour déterminer la sous-tangente, etc.On peut comprendre la satisfaction qu’il ressentit à sa découverte, qui concernait un objet d’intérêt scientifique général à l’époque et qui est donc purement géométrique et donc bien supérieur aux simples règles de ses rivaux, évoquées plus haut. Ses mots sont les suivants : ’J’ose dire que c’est ceci le problème le plus utile et le plus général, non seulement que je sache, mais même que j’aie jamais désiré de savoir en géométrie.’ Il fonde sa solution sur l’équation analytique du triangle rectangle formé par l’ordonnée du point de la courbe à laquelle la droite requise dans le problème doit être tracée perpendiculairement, par cette même droite (la normale), et troisièmement, par cette partie de l’axe qui est coupée par l’ordonnée et la normale (la subnormale). Maintenant à partir de l’équation connue d’une courbe,la valeur soit de l’ordonnée, soit de l’abscisse est substituée dans ledit triangle, le résultat étant une équation du second degré (et Descartes montre comment même les courbes dont les équations contiennent des puissances plus élevées se réduisent à cela) ; dans cette équation, une seule des variables apparaît, à savoir, comme un carré et au premier degré — une équation quadratique qui apparaît d’abord comme une équation dite impure. Descartes fait maintenant la réflexion que si le point supposé sur la courbe est imaginé être un point d’intersection de la courbe et d’un cercle, alors ce cercle coupera également la courbe en un autre point et nous obtiendrons alors pour les x inégaux ainsi produit, deux équations avec les mêmes constantes et de même forme, ou bien une seule équation avec des valeurs inégales de x.Mais l’équation ne devient une que pour le triangle dans lequel l’hypoténuse est perpendiculaire à la courbe ou est la normale, le cas étant conçu de cette manière, que les deux points d’intersection de la courbe et du cercle sont faits pour coïncider et le cercle est ainsi amené à toucher la courbe. Mais dans ce cas, il est également vrai que les x ou y de l’équation quadratique n’ont plus de racines inégales. Or, puisque dans une équation quadratique à deux racines égales, le coefficient du terme contenant l’inconnue à la première puissance est le double de la racine unique, nous obtenons une équation qui donne les déterminations requises. Ce procédé doit être considéré comme le dispositif brillant d’un esprit véritablement analytique, en comparaison duquel la proportionnalité dogmatiquement supposée de la sous-tangente et de l’ordonnée avec l’infiniment petit postulé,ce qu’on appelle des incréments, des gouttes d’abscisse et d’ordonnée en arrière-plan.

§ 631
L’équation finale ainsi obtenue, dans laquelle le coefficient du second terme de l’équation quadratique est assimilé à la racine double ou inconnue, est la même que celle obtenue par la méthode du calcul différentiel. La différentiation de x2 - ax - b = 0 donne la nouvelle équation 2x - a = 0 ; ou x3 - px - q = 0 donne 3x2 - p = 0. Mais il se propose ici de remarquer qu’il n’est nullement évident qu’une telle équation dérivée soit également correcte. Nous avons déjà signalé qu’une équation à deux variables (qui, du seul fait qu’elles sont variables, ne perdent pas leur caractère d’inconnues) ne donne qu’une proportion ; et pour la simple raison énoncée, à savoir que lorsque les fonctions de potentialisation sont substituées aux pouvoirs eux-mêmes,la valeur des deux termes de l’équation est modifiée et on ne sait pas encore si une équation existe encore entre eux avec leurs valeurs ainsi modifiées. Tout ce que l’équation dy/dx = P exprime, c’est que P est un rapport et qu’aucune autre signification réelle ne peut être attribuée à dyldx. Mais même ainsi, nous ne savons toujours pas de ce rapport = P, à quel autre rapport il est égal ; et c’est seulement une telle équation ou proportionnalité qui lui donne une valeur et un sens. Nous avons déjà mentionné que ce sens, qui s’appelait l’application, était tiré d’une autre source, empiriquement ; de même, dans le cas des équations dont nous discutons ici et qui ont été obtenues par différentiation, c’est d’une autre source qu’il faut savoir si elles ont des racines égales afin de savoir si l’équation ainsi obtenue est encore correcte.Mais ce fait n’est pas expressément signalé dans les manuels ; elle est éliminée, certes, lorsqu’une équation à une inconnue, réduite à zéro, est d’emblée assimilée à y, avec pour résultat, bien entendu, que la différentiation donne un dy/dx, c’est-à-dire seulement un rapport. Le calcul fonctionnel, il est vrai, est censé traiter des fonctions de potentialisation et le calcul différentiel des différentielles ; mais il ne s’ensuit nullement de cela seul que les grandeurs d’où sont tirées les différentielles ou les fonctions de potentialisation, sont elles-mêmes supposées n’être que des fonctions d’autres grandeurs. Par ailleurs, dans la partie théorique, dans l’instruction pour dériver les différentielles, c’est-à-dire les fonctions de potentialisation,rien n’indique que les grandeurs qui doivent être soumises à un tel traitement soient elles-mêmes supposées être des fonctions d’autres grandeurs.

§ 632
De plus, à propos de l’omission de la constante lors de la différenciation, on peut attirer l’attention sur le fait que l’omission a ici le sens que la constante ne joue aucun rôle dans la détermination des racines si celles-ci sont égales, la détermination étant épuisée par le coefficient du second terme de l’équation : comme dans l’exemple cité de Descartes où la constante est elle-même le carré des racines, qui peut donc être déterminée à partir de la constante aussi bien que des coefficients — vu que, comme les coefficients, le constante est simplement une fonction des racines de l’équation. Dans l’exposé habituel, l’omission des soi-disant constantes (qui ne sont liées aux autres termes que par plus et moins) résulte du simple mécanisme du processus de différenciation,dans lequel pour trouver le différentiel d’une expression composée, seules les variables reçoivent un incrément, et l’expression ainsi formée est soustraite de l’expression originale. Le sens des constantes et de leur omission, en quoi elles sont elles-mêmes des fonctions et, en tant que telles, sont ou ne sont pas utiles, ne sont pas discutés.

§ 633
A propos de l’omission des constantes, nous pouvons faire une observation similaire sur les noms de différenciation et d’intégration comme nous l’avons fait auparavant sur les expressions fini et infini : c’est-à-dire que le caractère de l’opération dément en fait son nom. Différencier signifie que des différences sont posées, alors que le résultat de la différenciation est, en fait, de réduire les dimensions d’une équation, et omettre la constante, c’est retirer de l’équation un élément dans sa déterminité. Comme nous l’avons remarqué, les racines des variables sont rendues égales, et donc leur différence est annulée. En intégration, par contre, la constante doit être rajoutée et bien qu’en conséquence l’équation soit intégrée, il en est ainsi dans le sens où la différence précédemment annulée des racines est restaurée, c’est-à-direce qui était posé comme égal est à nouveau différencié. L’expression ordinaire contribue à obscurcir l’essence de la matière et à tout mettre d’un point de vue non seulement subordonné mais même étranger à l’intérêt principal, le point de vue, à savoir celui de la différence infiniment petite, de l’accroissement et de la de même, et aussi de la simple différence en tant que telle entre la fonction donnée et la fonction dérivée, sans aucune indication de leur différence spécifique, c’est-à-dire qualitative.et aussi de la simple différence en tant que telle entre la fonction donnée et la fonction dérivée, sans aucune indication de leur différence spécifique, c’est-à-dire qualitative.et aussi de la simple différence en tant que telle entre la fonction donnée et la fonction dérivée, sans aucune indication de leur différence spécifique, c’est-à-dire qualitative.

§ 634
Un autre domaine important dans lequel le calcul différentiel est employé est la mécanique. Les significations des fonctions de puissance distinctes fournies par les équations élémentaires de son objet, le mouvement, ont déjà été mentionnées en passant ; à ce stade, je vais m’occuper d’eux directement. L’équation, c’est-à-dire l’expression mathématique, pour un mouvement simplement uniforme, c = s/t ou s = ct, dans laquelle les espaces parcourus sont proportionnels aux temps écoulés conformément à une unité empirique c (la grandeur de la vitesse), offre aucune signification pour la différentiation : le coefficient c est déjà complètement déterminé et connu, et aucune autre expansion des puissances n’est possible. Nous avons déjà remarqué comment s = at2, l’équation du mouvement d’un corps en chute, est analysée ; le premier terme de l’analyse, ds/dt = 2at est traduit en langage,et aussi dans l’existence, de telle manière qu’elle est supposée être un facteur d’une somme (conception que nous avons depuis longtemps abandonnée), être une partie du mouvement, laquelle partie est d’ailleurs attribuée à la force d’inertie, c’est-à-dire d’un mouvement simplement uniforme, de telle manière que dans des parties de temps infiniment petites, le mouvement est uniforme, mais dans des parties de temps finies, c’est-à-dire dans des parties de temps réellement existantes, il est non uniforme. Certes, fs = 2at ; et la signification de a et de t eux-mêmes est connue, ainsi que le fait que le mouvement est déterminé comme une vitesse uniforme ; puisque a = s/t2, 2at est égal simplement à 2s/t.de telle manière que dans des parties de temps infiniment petites, le mouvement est uniforme, mais dans des parties de temps finies, c’est-à-dire dans des parties de temps réellement existantes, il est non uniforme. Certes, fs = 2at ; et la signification de a et de t eux-mêmes est connue, ainsi que le fait que le mouvement est déterminé comme une vitesse uniforme ; puisque a = s/t2, 2at est égal simplement à 2s/t.de telle manière que dans des parties de temps infiniment petites, le mouvement est uniforme, mais dans des parties de temps finies, c’est-à-dire dans des parties de temps réellement existantes, il est non uniforme. Certes, fs = 2at ; et la signification de a et de t eux-mêmes est connue, ainsi que le fait que le mouvement est déterminé comme une vitesse uniforme ; puisque a = s/t2, 2at est égal simplement à 2s/t.

§ 635
Mais sachant cela, nous ne sommes pas du tout plus sages ; c’est seulement la supposition erronée que 2at est une partie du mouvement considéré comme une somme, qui donne l’apparence fausse d’une proposition physique. Le facteur lui-même, a, l’unité empirique — un simple quantum — est attribué à la gravité ; mais si l’on veut employer la catégorie « force de gravité », il faudrait plutôt dire que le tout, s = at2, est l’effet, ou mieux la loi, de la gravité. De même avec la proposition dérivée de ds/dt = 2at, que si la gravité cessait d’agir, le corps, avec la vitesse atteinte à la fin de sa chute, couvrirait le double de la distance qu’il a parcourue, dans le même laps de temps que son tomber. Cela implique aussi une métaphysique elle-même malsaine : la fin de la chute, ou la fin d’une période de temps où le corps est tombé, est elle-même encore une période de temps ;s’il ne l’était pas, on supposerait un état de repos et donc pas de vitesse, car la vitesse ne peut être fixée qu’en fonction de l’espace parcouru dans un laps de temps, non à sa fin. Lorsque, cependant, le calcul différentiel est appliqué sans restriction dans d’autres départements de physique où il n’y a aucun mouvement, comme par exemple dans le comportement de la lumière (en dehors de ce qu’on appelle sa propagation dans l’espace) et dans l’application de déterminations quantitatives aux couleurs, et la première fonction d’une fonction quadratique ici est aussi appelée vitesse, alors cela doit être considéré comme un formalisme encore plus illégitime d’invention d’une existence.le calcul différentiel est appliqué sans restriction dans d’autres départements de physique où il n’y a aucun mouvement, comme par exemple dans le comportement de la lumière (en dehors de ce qu’on appelle sa propagation dans l’espace) et dans l’application des déterminations quantitatives aux couleurs, et la première fonction d’une fonction quadratique est ici aussi appelée vitesse, alors cela doit être considéré comme un formalisme encore plus illégitime d’invention d’une existence.le calcul différentiel est appliqué sans restriction dans d’autres départements de physique où il n’y a aucun mouvement, comme par exemple dans le comportement de la lumière (en dehors de ce qu’on appelle sa propagation dans l’espace) et dans l’application des déterminations quantitatives aux couleurs, et la première fonction d’une fonction quadratique est ici aussi appelée vitesse, alors cela doit être considéré comme un formalisme encore plus illégitime d’invention d’une existence.alors cela doit être considéré comme un formalisme encore plus illégitime d’invention d’une existence.alors cela doit être considéré comme un formalisme encore plus illégitime d’invention d’une existence.

§ 636
Le mouvement représenté par l’équation s = at2 se retrouve, dit Lagrange, empiriquement dans la chute des corps ; le prochain mouvement le plus simple serait celui dont l’équation était s = ct3, mais un tel mouvement n’est pas trouvé dans la Nature ; on ne sait pas quelle signification le coefficient c pourrait avoir. Or, bien que ce soit bien le cas, il existe néanmoins un mouvement dont l’équation est s3 = at2 — loi de Kepler du mouvement des corps du système solaire ; la signification 2at ici de la première fonction dérivée 2at/3s2 et le traitement direct ultérieur de cette équation par différenciation, le développement des lois et des déterminations de ce mouvement absolu à partir de ce point de départ, doivent en effet présenter un problème intéressant dans lequel l’analyse montrerait un éclat des plus dignes d’eux-mêmes.

§ 637
Ainsi l’application du calcul différentiel aux équations élémentaires du mouvement n’offre par elle-même aucun intérêt réel ; l’intérêt formel vient du mécanisme général du calcul. Mais une autre signification est acquise par l’analyse du mouvement à propos de la détermination de sa trajectoire ; s’il s’agit d’une courbe et que son équation contient des puissances plus élevées, alors des transitions sont nécessaires des fonctions rectilignes, en tant que fonctions de potentialisation, aux puissances elles-mêmes ; et comme les premières doivent être obtenues à partir de l’équation originelle du mouvement contenant le facteur temps, ce facteur étant éliminé, les puissances doivent en même temps être réduites aux fonctions inférieures de développement à partir desquelles lesdites équations linéaires peuvent être obtenues.Cet aspect conduit à la caractéristique intéressante de l’autre partie du calcul différentiel.

§ 638
Le but de ce qui précède a été de mettre en évidence et d’établir la nature simple et spécifique du calcul différentiel et de la démontrer dans quelques exemples élémentaires. On a trouvé que sa nature consiste en ceci, qu’à partir d’une équation de fonctions de puissance le coefficient du terme de l’expansion, la soi-disant première fonction, est obtenu, et la relation que cette première fonction représente est démontrée dans les moments de la matière concrète, ces moments étant eux-mêmes déterminés par l’équation ainsi obtenue entre les deux relations. Nous examinerons aussi brièvement le principe du calcul intégral pour voir quelle lumière est jetée sur sa nature spécifique et concrète par l’application du principe.Le point de vue du calcul intégral a été simplifié et plus correctement déterminé simplement par le fait qu’il n’est plus considéré comme une méthode de sommation dans laquelle il apparaissait essentiellement lié à la forme des séries ; la méthode a été ainsi nommée par opposition à la différenciation où l’incrément compte comme l’élément essentiel. Le problème de ce calcul est d’abord comme celui du calcul différentiel, théorique ou plutôt formel, mais il est, comme chacun sait, l’inverse de ce dernier. Ici, le point de départ est une fonction qui est considérée comme dérivée, comme le coefficient du premier terme résultant du développement d’une équation encore inconnue, et le problème est de trouver la fonction puissance originale à partir de la dérivée ;ce qui serait considéré dans l’ordre naturel du développement comme la fonction originelle est ici dérivé, et la fonction précédemment considérée comme dérivée est ici la fonction donnée, ou simplement originelle. Or la partie formelle de cette opération semble avoir été accomplie déjà dans le calcul différentiel où la transition et la relation de l’original à la fonction dérivée en général ont été établies. Bien qu’en faisant cela il soit nécessaire dans bien des cas d’avoir recours à la forme des séries simplement pour obtenir la fonction qui doit être le point de départ et aussi pour effectuer le passage de celle-ci à la fonction d’origine, il est important de se rappeler que cette forme en tant que telle n’a rien à voir directement avec le principe particulier d’intégration.ou simplement original, fonction. Or la partie formelle de cette opération semble avoir été accomplie déjà dans le calcul différentiel où la transition et la relation de l’original à la fonction dérivée en général ont été établies. Bien qu’en faisant cela il soit nécessaire dans bien des cas d’avoir recours à la forme des séries simplement pour obtenir la fonction qui doit être le point de départ et aussi pour effectuer le passage de celle-ci à la fonction d’origine, il est important de se rappeler que cette forme en tant que telle n’a rien à voir directement avec le principe particulier d’intégration.ou simplement original, fonction. Or la partie formelle de cette opération semble avoir été accomplie déjà dans le calcul différentiel où la transition et la relation de l’original à la fonction dérivée en général ont été établies. Bien qu’en faisant cela il soit nécessaire dans bien des cas d’avoir recours à la forme des séries simplement pour obtenir la fonction qui doit être le point de départ et aussi pour effectuer le passage de celle-ci à la fonction d’origine, il est important de se rappeler que cette forme en tant que telle n’a rien à voir directement avec le principe particulier d’intégration.Bien qu’en faisant cela il soit nécessaire dans bien des cas d’avoir recours à la forme des séries simplement pour obtenir la fonction qui doit être le point de départ et aussi pour effectuer le passage de celle-ci à la fonction d’origine, il est important de se rappeler que cette forme en tant que telle n’a rien à voir directement avec le principe particulier d’intégration.Bien qu’en faisant cela il soit nécessaire dans bien des cas d’avoir recours à la forme des séries simplement pour obtenir la fonction qui doit être le point de départ et aussi pour effectuer le passage de celle-ci à la fonction d’origine, il est important de se rappeler que cette forme en tant que telle n’a rien à voir directement avec le principe particulier d’intégration.

§ 639
L’autre partie du problème du calcul apparaît à propos de son fonctionnement formel, à savoir l’application de ce dernier. Mais c’est maintenant lui-même le problème : à savoir, trouver le sens dans le sens mentionné ci-dessus, possédé par la fonction originelle de la fonction donnée (considérée comme première) d’un sujet particulier ; il pourrait sembler que cette doctrine, elle aussi, était en principe déjà définitivement établie dans le calcul différentiel ; mais il s’agit d’une autre circonstance qui empêche la chose d’être si simple. Dans le calcul différentiel, à savoir, on a trouvé que la relation linéaire est obtenue à partir de la première fonction de l’équation d’une courbe, de sorte qu’on sait aussi que l’intégration de cette relation donne l’équation de la courbe dans la relation d’abscisse et ordonnée ; ou,si l’équation pour l’aire délimitée par la courbe était donnée, alors nous serions supposés savoir déjà à partir du calcul différentiel que la signification de la première fonction d’une telle équation serait qu’elle représente l’ordonnée en fonction de l’abscisse, et donc l’équation de la courbe.

§ 640
Le problème est maintenant de déterminer lequel des moments déterminant le sujet est donné dans l’équation elle-même ; car le traitement analytique ne peut partir que de ce qui est donné et passer ensuite aux autres moments du sujet. Ce qui est donné, par exemple, n’est pas l’équation d’une aire renfermée par la courbe, ni, disons, de la figure résultant de sa rotation ; ni encore d’un arc de courbe, mais seulement le rapport de l’abscisse et de l’ordonnée dans l’équation de la courbe elle-même. Par conséquent, les transitions de ces déterminations à cette équation elle-même ne peuvent pas encore être traitées dans le calcul différentiel ; la découverte de ces relations est réservée au calcul intégral.

§ 641
Mais en outre, il a été montré que la différentiation d’une équation à plusieurs variables donne la fonction dérivée ou coefficient différentiel, non pas comme une équation mais seulement sous la forme d’un rapport ; le problème est alors de trouver dans les instants de la matière donnée un deuxième rapport égal à ce premier rapport qui est la fonction dérivée. Au contraire, l’objet du calcul intégral est le rapport même de l’original à la fonction dérivée, laquelle est ici supposée donnée ; de sorte que le problème concerne le sens à attribuer à la fonction originelle recherchée dans l’objet de la première fonction dérivée donnée ; ou plutôt, puisque ce sens, par exemple, l’aire délimitée par une courbe ou la rectification d’une courbe représentée comme une droite, trouve déjà son expression dans l’énoncé du problème,montrer qu’une fonction originelle a ce sens, et quel est le moment de la matière qui doit être supposé à cet effet la fonction initiale de la fonction dérivée.

§ 642
Or la méthode usuelle se facilite la chose en utilisant l’idée de la différence infinitésimale ; pour la quadrature des courbes, un rectangle infiniment petit, produit de l’ordonnée dans l’élément, c’est-à-dire le bit infinitésimal de l’abscisse, est pris pour le trapèze dont l’un des côtés est l’arc infiniment petit opposé au bit infinitésimal de l’abscisse ; le produit est maintenant intégré en ce sens que l’intégrale est la somme de l’infinité de trapèzes ou de l’aire à déterminer, c’est-à-dire la grandeur finie de cet élément de l’aire. De même, à partir d’un élément infiniment petit de l’arc et de l’ordonnée et de l’abscisse correspondantes, la méthode ordinaire forme un triangle rectangle dans lequel le carré de l’élément arc est supposé égal à la somme des carrés des deux autres infiniment petits. petits éléments,l’intégration de celle-ci donnant la longueur de l’arc lui-même en quantité finie.

§ 643
Cette procédure repose sur la découverte générale sur laquelle se fonde ce champ d’analyse, en l’occurrence, à savoir que la courbe quadratique, ou l’arc rectifié, correspond à une certaine fonction donnée par l’équation de la courbe, dans le rapport de la fonction dite d’origine à sa dérivée. Le but du calcul intégral est le suivant : lorsqu’une certaine partie d’un objet mathématique (par exemple une courbe) est supposée être la fonction dérivée, quelle autre partie de l’objet est exprimée par la fonction originale correspondante ? On sait que lorsque la fonction de l’ordonnée donnée par l’équation de la courbe est prise comme fonction dérivée, la fonction d’origine correspondante donne l’expression quantitative de l’aire de la courbe coupée par cette ordonnée ; et, lorsqu’une certaine détermination tangentielle est identifiée à la fonction dérivée,la fonction d’origine correspondante exprime la longueur de l’arc appartenant à cette détermination tangentielle, et ainsi de suite. Mais la méthode qui emploie l’infinitésimal, et opère avec lui mécaniquement, se sert simplement de la découverte que ces relations — l’une d’une fonction originelle à sa dérivée et l’autre des grandeurs de deux parties ou éléments de l’objet mathématique — forment proportion, et s’épargne la peine de démontrer la vérité de ce qu’elle suppose simplement comme un fait. Le mérite singulier ici de la perspicacité mathématique est d’avoir découvert à partir de résultats déjà connus ailleurs, que certains aspects spécifiques d’un objet mathématique se trouvent dans la relation les uns avec les autres de la fonction originale à la fonction dérivée.

§ 644
De ces deux fonctions, c’est la fonction dérivée ou, comme on l’a défini, la fonction de potentialisation, qui ici dans le calcul intégral est donnée relativement à l’originale, qu’il faut d’abord trouver par intégration. Mais la fonction dérivée n’est pas directement donnée, et il n’est pas non plus évident de savoir quelle partie ou quel élément de l’objet mathématique doit être corrélé à la fonction dérivée afin qu’en la réduisant à la fonction d’origine, on puisse trouver cette autre partie ou élément , dont l’ampleur doit être déterminée. La méthode habituelle, comme nous l’avons dit,commence par représenter certaines parties de l’objet comme infiniment petites sous la forme de fonctions dérivées déterminables à partir de l’équation originellement donnée de l’objet simplement par différenciation (comme les abscisses et les ordonnées infiniment petites en rapport avec la rectification d’une courbe) ; les parties choisies sont celles qui peuvent être mises dans une certaine relation (celle établie en mathématiques élémentaires) avec le sujet du problème (dans l’exemple donné, avec l’arc) celui-ci aussi étant représenté comme infiniment petit, et de là relation la grandeur requise pour être connue peut être trouvée à partir de la grandeur connue des pièces prises à l’origine. Ainsi, à propos de la rectification des courbes, les trois éléments infiniment petits mentionnés sont reliés dans l’équation du triangle rectangle,tandis que pour la quadrature des courbes, vu que l’aire est prise arithmétiquement pour être simplement le produit des droites, l’ordonnée et l’abscisse infiniment petite sont reliées sous la forme d’un produit. Le passage de tels éléments dits de l’aire, l’arc, etc., à la grandeur de l’aire totale ou à l’arc entier lui-même, passe simplement pour l’ascension de l’expression infinie à l’expression finie, ou à la somme de l’infinité d’éléments dont la grandeur requise est censée consister.passe simplement pour l’ascension de l’expression infinie à l’expression finie, ou à la somme des éléments infiniment nombreux dont la grandeur requise est supposée consister.passe simplement pour l’ascension de l’expression infinie à l’expression finie, ou à la somme des éléments infiniment nombreux dont la grandeur requise est supposée consister.

§ 645
Il est donc simplement superficiel de dire que le calcul intégral est simplement le problème inverse, bien qu’en général le plus difficile, du calcul différentiel ; le véritable intérêt du calcul intégral concerne presque exclusivement la relation entre la fonction originale et la fonction dérivée dans la matière concrète.

§ 646
Même dans cette partie du calcul, Lagrange n’a pas aplani les difficultés de ses problèmes simplement en faisant ces hypothèses directes. Il sera utile d’éclaircir la nature de l’affaire si, ici aussi, nous indiquons les détails de sa méthode en un ou deux exemples. L’objet déclaré de sa méthode est précisément de fournir une preuve indépendante du fait qu’entre des éléments particuliers d’un tout mathématique, par exemple d’une courbe, il existe une relation de l’original à la fonction dérivée. Or cette preuve ne peut être effectuée d’une manière directe à cause de la nature même de la relation dans ce domaine ; dans l’objet mathématique cette relation relie des termes qui sont qualitativement distincts, à savoir, des courbes avec des droites, des dimensions linéaires et leurs fonctions avec des dimensions planes ou surfaciques et leurs fonctions,de sorte que la détermination requise ne peut être prise que comme la moyenne entre un plus et un moins. Par conséquent, il rentre spontanément sous la forme d’un incrément avec un plus et un moins et les ’développons’ énergétiques sont ici en place ; mais nous avons déjà signalé qu’ici les incréments n’ont qu’un sens arithmétique, fini. Du développement de la condition selon laquelle la grandeur requise est supérieure à une limite facilement déterminable et inférieure à l’autre, on déduit alors que, par exemple, la fonction de l’ordonnée est la première fonction dérivée de la fonction de la zone.mais nous avons déjà signalé qu’ici les incréments n’ont qu’un sens arithmétique, fini. Du développement de la condition selon laquelle la grandeur requise est supérieure à une limite facilement déterminable et inférieure à l’autre, on déduit alors que, par exemple, la fonction de l’ordonnée est la première fonction dérivée de la fonction de la zone.mais nous avons déjà signalé qu’ici les incréments n’ont qu’un sens arithmétique, fini. Du développement de la condition selon laquelle la grandeur requise est supérieure à une limite facilement déterminable et inférieure à l’autre, on déduit alors que, par exemple, la fonction de l’ordonnée est la première fonction dérivée de la fonction de la zone.

§ 647
L’exposition de Lagrange sur la rectification des courbes dans laquelle il part du principe d’Archimède est intéressante car elle donne un aperçu de la traduction de la méthode d’Archimède dans le principe de l’analyse moderne, nous permettant ainsi de voir dans le sens profond et véritable de la procédure qui dans l’autre méthode est effectuée mécaniquement. Le mode opératoire est nécessairement analogue à celui qui vient d’être indiqué. Le principe d’Archimède, selon lequel l’arc d’une courbe est plus grand que sa corde et plus petit que la somme des deux tangentes tracées par les extrémités de l’arc et contenues entre ces points et le point d’intersection des tangentes, ne donne aucun équation, mais postule simplement une alternance sans fin entre des termes déterminés comme trop grands ou trop petits,les termes successifs étant toujours trop grands ou trop petits, mais dans des limites toujours plus étroites d’inexactitude ; sa traduction dans la forme analytique moderne, cependant, prend la forme de trouver une expression qui est en soi une simple équation fondamentale. Or alors que le formalisme de l’infinitésimal nous présente directement l’équation dz2 = dx2 + dy2, l’exposé de Lagrange, partant de la base indiquée, démontre que la longueur de l’arc est la fonction originelle d’une fonction dérivée dont le terme caractéristique est lui-même une fonction provenant de la relation d’une fonction dérivée à la fonction d’origine de l’ordonnée.Or alors que le formalisme de l’infinitésimal nous présente directement l’équation dz2 = dx2 + dy2, l’exposé de Lagrange, partant de la base indiquée, démontre que la longueur de l’arc est la fonction originelle d’une fonction dérivée dont le terme caractéristique est lui-même une fonction provenant de la relation d’une fonction dérivée à la fonction d’origine de l’ordonnée.Or alors que le formalisme de l’infinitésimal nous présente directement l’équation dz2 = dx2 + dy2, l’exposé de Lagrange, partant de la base indiquée, démontre que la longueur de l’arc est la fonction originelle d’une fonction dérivée dont le terme caractéristique est lui-même une fonction provenant de la relation d’une fonction dérivée à la fonction d’origine de l’ordonnée.

§ 648
Parce que dans la méthode d’Archimède, ainsi que plus tard dans le traitement des objets stéréométriques par Kepler, l’idée de l’infinitésimal apparaît, cela a souvent été cité comme une autorité pour l’emploi de cette idée dans le calcul différentiel, bien que ce qui est particulier et distinctif dans il n’a pas été spécifiquement signalé. L’infinitésimal signifie, strictement, la négation du quantum en tant que quantum, c’est-à-dire d’une expression dite finie, de la déterminité complète que possède le quantum en tant que tel. De même, dans les célèbres méthodes ultérieures de Valerius et Cavalieri, entre autres, qui reposent sur le traitement des relations des objets géométriques, le principe fondamental est que le quantum en tant que tel des objets concernés, qui ne sont considérés d’abord que dans leur rapports,est à cet effet laissé de côté, les objets étant ainsi considérés comme non quantitatifs.

§ 649
Cependant, dans ces méthodes, l’aspect affirmatif en tant que tel qui est voilé par la détermination simplement négative n’est pas reconnu ou mis en évidence - cet aspect à savoir qui ci-dessus se présentait abstraitement, comme la déterminité qualitative de la quantité, et plus précisément, comme se situant dans le rapport des pouvoirs ; et aussi, puisque ce rapport embrasse lui-même un certain nombre de rapports plus précisément déterminés tels que celui d’une puissance et la fonction de son développement ; celles-ci aussi, à leur tour, sont censées être fondées et dérivées de la détermination générale et négative du même infinitésimal. Dans l’exposition de Lagrange que l’on vient de remarquer,l’aspect affirmatif spécifique qui est impliqué dans la méthode d’Archimède pour développer le problème est mis en évidence avec pour résultat que la procédure qui est chargée d’une progression illimitée se voit attribuer sa propre limite. La grandeur de l’invention moderne en soi et sa capacité à résoudre des problèmes auparavant insolubles et à traiter d’une manière simple ceux précédemment solubles, doit être attribuée uniquement à la découverte de la relation de l’original aux fonctions dites dérivées et de les parties d’un tout mathématique qui se trouvent dans une telle relation.est à attribuer uniquement à la découverte de la relation de l’original avec les fonctions dites dérivées et des parties d’un tout mathématique qui se trouvent dans une telle relation.est à attribuer uniquement à la découverte de la relation de l’original avec les fonctions dites dérivées et des parties d’un tout mathématique qui se trouvent dans une telle relation.

§ 650
Ce qui a été dit peut suffire à signaler cette relation distinctive de grandeurs qui est l’objet du genre particulier de calcul dont nous discutons. Il était possible de borner notre exposé à des problèmes simples et à des méthodes pour les résoudre, il n’aurait pas été opportun non plus pour la détermination du Concept, détermination qui est ici notre seul souci, il n’aurait pas été au pouvoir de l’auteur passé en revue toute la boussole de la soi-disant application du calcul différentiel et intégral, et par référence à tous les problèmes respectifs et leurs solutions à ce que nous avons démontré être le principe du calcul, pour avoir effectué complètement l’induction que le application est basée sur ce principe.Mais des preuves suffisantes ont été produites pour montrer que, de même que chaque mode particulier de calcul a pour objet une déterminité ou une relation de grandeur spécifique, une telle relation constituant l’addition, la multiplication, l’élévation en puissances et l’extraction de racines, et les opérations avec logarithmes et les séries, et ainsi de suite, ainsi que le calcul différentiel et intégral ; le sujet propre à ce calcul pourrait être nommé de la manière la plus appropriée la relation entre une fonction puissance et la fonction de son expansion ou de sa potentialisation, parce que c’est ce qui est le plus facilement suggéré par un aperçu de la nature du sujet.et les opérations avec les logarithmes et les séries, et ainsi de suite, il en va de même pour le calcul différentiel et intégral ; le sujet propre à ce calcul pourrait être nommé de la manière la plus appropriée la relation entre une fonction puissance et la fonction de son expansion ou de sa potentialisation, parce que c’est ce qui est le plus facilement suggéré par un aperçu de la nature du sujet.et les opérations avec les logarithmes et les séries, et ainsi de suite, il en va de même pour le calcul différentiel et intégral ; le sujet propre à ce calcul pourrait être nommé de la manière la plus appropriée la relation entre une fonction puissance et la fonction de son expansion ou de sa potentialisation, parce que c’est ce qui est le plus facilement suggéré par un aperçu de la nature du sujet.

§ 651
Les logarithmes, les fonctions circulaires et les séries sont bien entendu également employés dans le calcul, en particulier dans le but de rendre les expressions plus propices aux opérations nécessaires pour dériver la fonction originale des fonctions d’expansion ; mais ils ne sont utilisés que de la même manière que les autres formes de calcul telles que l’addition, etc., sont également utilisées dans le calcul. Le calcul différentiel et intégral a, en effet, un intérêt plus particulier en commun avec la forme des séries, c’est-à-dire de déterminer les fonctions d’expansion qui, dans la série, sont appelées coefficients des termes ; mais tandis que le calcul ne s’occupe que de la relation de la fonction originelle au coefficient du premier terme de son développement, la série vise à présenter sous la forme d’une somme,groupes de termes classés selon les puissances qui ont ces coefficients. L’infini qui est associé aux séries infinies, l’expression indéterminée du négatif du quantum en général, n’a rien de commun avec la détermination affirmative appartenant à l’infini de ce calcul. De même, l’infinitésimal sous la forme de l’incrément, au moyen duquel l’expansion prend la forme d’une série, n’est qu’un moyen externe pour l’expansion, et le seul sens de son soi-disant infini est de n’avoir aucun autre sens. au-delà de sa signification en tant que tels moyens ; la série, qui en fait n’est pas ce qu’on veut, produit un excès dont l’élimination cause des ennuis inutiles. La méthode de Lagrange, qui a préféré reprendre la forme des séries, se heurte aussi à cette difficulté ; bien que ce soit par sa méthode,dans ce qu’on appelle l’application, que ce qui est vraiment caractéristique du calcul est mis en évidence, car, sans forcer les formes de dx, dy et ainsi de suite, dans les objets, il est directement démontré à quelle partie de l’objet la déterminité de la fonction dérivée (fonction d’expansion) appartient ; et il est donc évident qu’il ne s’agit pas ici de la forme des séries.

[Dans la critique citée ci-dessus se trouvent les vues intéressantes d’un savant profond dans cette science, Herr Spehr ; ils sont cités de son Neue Prinzipien des Fluentenkalkuls, Brunswick, 1826, et concernent un facteur qui a matériellement contribué à ce qui est obscur et non scientifique dans le calcul différentiel et ils sont d’accord avec ce que nous avons dit sur le caractère général de la théorie de ce calcul . « Les recherches purement arithmétiques, dit-il, il est vrai que celles qui ont une incidence primordiale sur le calcul différentiel n’ont pas été séparées du calcul différentiel proprement dit, et en fait, comme chez Lagrange, ont même été prises pour le calcul lui-même tandis que cette dernière n’était considérée que comme leur application. Ces investigations arithmétiques incluent les règles de différenciation, la dérivation du théorème de Taylor, etc.,et même les diverses méthodes d’intégration. Mais il en va tout autrement, car ce sont précisément ces applications qui font l’objet du calcul différentiel proprement dit, tous ces développements et opérations arithmétiques étant présupposés par le calcul de l’analyse. Nous avons montré comment, chez Lagrange, c’est justement la séparation de la soi-disant application de la procédure de la partie générale qui part des séries, qui sert à faire remarquer la matière caractéristique du calcul différentiel. Il est étrange, cependant, que l’auteur, qui se rend compte que ce sont précisément ces applications qui forment l’objet du calcul différentiel proprement dit, s’implique dans la métaphysique formelle (apportée dans cet ouvrage) de grandeur continue, de devenir, de flux, etc.,et devrait vouloir ajouter encore du lest frais à l’ancien ; ces déterminations sont formelles, en ce qu’elles ne sont que des catégories générales qui n’indiquent pas exactement quelle est la nature spécifique de la matière, celle-ci devant être apprise et abstraite de la théorie concrète, c’est-à-dire des applications.]

Dans la pensée d’Hegel :

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-02927772/document

Messages

  • ▬Bonjour Mr Paris.
    ▬En survolant votre article sans vraiment le lire, je Trouve des anomalies dans votre très long texte, où il y a des duplications de phrases dans certain paragraphes de HEGEL dans "Science de la Logique". Comme déjà dit je n’ai pas tout analysé, mais j’ai fait un simple survole, il y a donc sûrement d’autres paragraphes où on retrouve ces erreurs de duplications de phrases.
    ▬§585 : ►►►Mais c’est juste parce que 2 : 1 ou n : 1 est une relation de quanta qu’il ne peut y avoir de rapport ou d’expression correspondant de 0 :◄◄◄ Dupliqué 5 fois, fin du paragraphe
    ▬§590 : ►►►il n’est pas vrai que (x + dx/2) (y + dy/2) - (x - dx/2) (y - dy/2) = (x + dx) (y + dy) - xy. Ce ne peut être que la nécessité d’établir le calcul FLUXIONNEL de la plus haute importance qui pourrait amener un Newton à se tromper avec une telle preuve◄◄◄ Dupliqué 3 fois, fin du paragraphe
    ▬§598 : ►►►ici également vides, de grandeur continue » qui, d’ailleurs, comme nisus, deviennent, occasion d’un variation, sont jugés nécessaires◄◄◄ Dupliqué 5 fois, fin du paragraphe
    ▬§601 : ►►► La différence, n’étant plus une différence◄◄◄ Dupliqué 7 fois, fin du paragraphe
    ▬§614 : ►►►Nous considérerons plus loin ces coefficients◄◄◄ Dupliqué 5 fois, fin du paragraphe
    ▬§634 : ►►►Certes, fs = 2at ;◄◄◄ Dupliqué 3 fois, fin du paragraphe
    ▬§638 : ►►►Or la partie formelle de cette opération semble◄◄◄ Dupliqué 3 fois, fin du paragraphe
    ▬§646 : ►►►Du développement de la condition selon laquelle◄◄◄ Dupliqué 3 fois, fin du paragraphe

    ▬Indépendamment de cette remarque sur cet article, pouvez vous me dire qui est ce Mr Jean-Pierre Chabert, même si je m’en doute, dont vous avez donné un lien sur ses PDF, et dont je me suis volontairement arrêté au cinquième PDF, qui est : "05Ni_ou_Schwarzschild", car cette personne nous entraîne volontairement dans la physique quantique et de son vide pour entreprendre des solutions sur la gravitation quantique.
    ▬Je pense que vous me donnerez pas de réponse, mais je tente quand-même.
    Les liens que vous donnez pour ces PDF vient des article :
    https://www.matierevolution.org/spip.php?article7654#forum43056
    https://www.matierevolution.fr/spip.php?article6545#forum55478
    ▬Amicalement. JFP/Jean-François POULIQUEN

  • Pour les commentaires sur les répétitions, mea culpa bien entendu. C’est une faute de réplication que j’essaie de corriger.

  • ▬JFP 20230219 au soir. Bonsoir Mr Paris.
    ▬Mon allusion à savoir qui pouvait être cette personne de Mr Jean-Pierre Chabert, n’a rien de méchant, car j’ai pensé que cela pouvait être vous Mr Paris, ou encore votre équipe. Ce qui est aberrant, c’est quand on cherche des renseignements sur cette personne, eh bien on ne trouve rien, et pourtant la logique de cette personne est remarquable, car accompagné d’équations, mais avant tout d’explications logiques. Et puis 15 PDF n’est pas à la portée de tous. Dans cela il y a aussi un certain physicien chinois Ni qui est aussi un inconnu et introuvable, car pas trouvé la moindre donnée sur cette personne... Désolé de vous avoir choqué, mais comme rien trouvé, j’ai pensé que....
    ▬Amicalement. JFP/Jean-François POULIQUEN

  • Je vois que vous convergez beaucoup avec lui. Peut-être Chabert serait un pseudonyme de JFP ?

    • ▬JFP 20230220 au soir. Bonsoir Mr Paris et merci d’avoir répondu.
      ▬Je voudrais bien être ce pseudonyme de ce certain Chabert, mais malheureusement je n’ai pas du tout les compétences mathématiques ou de physiques de cette personne, car j’en suis resté à mon certificat d’étude d’y il a 60 ans, et cela est tout comme diplôme, si on peut encore appeler cela un diplôme. Donc les équations ne sont pas mon fort, mais qu’importe, car je me suis attaqué à la simple et géniale équation de tous les temps, qui est cette fameuse formule E=Mc2, remettant en cause ce qu’elle signifie, car l’énergie qui en découle n’est qu’une énergie/force de barrière à la gravitation, et dans ce que je propose, est que cette énergie qui découle de cette formule très simple, est une force de barrière au vide cosmologique qui est la gravitation et non aux forces du vide quantique. Ce E comme énergie, est simplement une barrière à la gravitation qui est elle une vraie fore ou énergie, et donc plus la masse est grande plus l’énergie/force est grande, mais en réalité plus la barrière est grande faisant obstacle à la gravitation. La gravitation ne vient pas des masses, mais la gravitation existe sans les masses, et les masses ne fond que freiner cette gravitation, et donc l’espace-temps qui en découle se trouve déformé, c’est bien ce que dit ce génie de Einstein, en disant que les masses déforment l’espace-temps, et cela suppose que sans masse au voisinage, la force de gravitation existe bien et n’est par déformée, et d’ailleurs on prend à l’envers ce qui devrait être, car plus la masse est grande, plus la gravitation est affaiblie, mais ce que l’on prend comme données est la déformation de cette gravitation, et non la gravitation elle-même.
      ▬Si ces fameux trous-noirs existent vraiment, eh bien cette gravitation initiale de l’espace-temps est complètement stoppée, ce que l’on prend comme unité est la DÉFORMATION de la gravitation. Pour ma part sans même connaître ces mathématiques ou ces physiques, comme cette formule de E=Mc2 est très simple, car l’énergie en équivalence en masse, ou son inverse, n’est qu’une interprétation de physiciens, car il faudrait déjà savoir ce qu’est la gravitation où du moins l’imaginer, mais cela reste en suspend, car nous n’avons que des formules qui nous donnent QUE les effets et non les causes.
      ▬Maintenant est-ce qu’une barrière est une vraie énergie ou force ?
      ▬Et puis pour terminer, est-ce que les équations de ce Mr Chabert sont justes, ? Je serais incapable de dire quoi que ce soit sur ce qu’il donne, mais ce qui est très intéressant est qu’il donne des explications entre ces équations, et c’est sa logique et son raisonnement qui me plaît, en essayant de chercher toujours plus loin, avec déjà des chercheurs qui ont donné des équations différente de ce que peut être la gravitation. Ce Mr Chabert explore des tas de pistes, et c’est ce qui est intéressant, mais à partir de son cinquième PDF, il s’oriente vers la physique quantique, où il me semble que cet implicite de ce vide quantique épousant l’espace-temps, est une tromperie totale et sans preuve, car tous ces physiciens ou scientifiques, comme vous même, accordés à ce vide quantique qu’il envahisse tout l’univers, et c’est bien ce que je refuse d’admettre, car ce qui est implicite devrait être démontré, alors qu’il ne l’est pas.
      ▬Pourquoi accordé systématiquement et implicitement ce vide quantique épousant tout l’univers ? J’ai déjà posé cette question, sur votre site, et pas eu de réponse... Est-ce que l’implicite est une lois ?
      ▬Amicalement. JFP/Jean-François POULIQUEN

  • Cher Mr Pouliquen,

    pourquoi dire qu’il y a partout un vide quantique, dans tout l’univers ?

    parce que cela n’a aucun sens de dire que c’est une particule dite réelle qui crée autour d’elle des myriades de particules et d’antiparticules et qu’il vaut mieux penser qu’elles existent déjà.

  • ▬JFP 20230221. Bonsoir Mr Paris.
    ▬Cher Mr Robert Paris vous me faites dire ce que je n’ai jamais dit, ainsi de dire que c’est la particule réelle qui créer autour d’elle une myriades de particules et d’antiparticules virtuelles, ne sont pas du tout mes propos.
    ▬J’ai bien peur que vos dialogues soient relayés par d’autres personnes, car ce n’est pas du tout ce que j’ai dit, et le relais donné à d’autres de me répondre, ne correspond en rien aux dialogues initiaux, et donc incohérents.
    ▬A ce propos de particules virtuelles et de ces anti-particules virtuelles, qu’est-ce que cela veut dire ? Qu’est-ce l’anti par rapport à son opposé et quelle charge à l’anti comme son contraire. Pourquoi prendrait-on une option de charge positive pour la particule virtuelle et une charge négative pour la particule virtuelle portant cette charge et dites anti ? L’anti comme je le comprend est de charge opposée, mais pourquoi utiliser ces notions plutôt que de dire de charges opposée. Il y a deux types de charge élémentaire le Plus et le Moins, mais est-ce que le Moins est l’anti du Plus, ou son contraire ? Quelle charge à le non-anti et son inverse ?
    ▬Je disais simplement qu’avant que des particules dites réelles existent, c’est à dire que les particules élémentaires n’étaient pas encore formées, et de ce qu’il y avait avant, est que justement ces grains ou graines élémentaires ou dites particules virtuelles, de charges opposées, ces grains par le biais de la gravitation ont donnés des couples de charges opposées. Puis toujours par le biais de la gravitation ces couples et non ces paires, on fusionnés ou se se sont réunis pour donner naissances à des particules dite réelles. Et naturellement une particule élémentaire est une grande quantité de ces couples, appauvrissant l’entourage en couples, mais ces restes de couples ne fusionnent pas, car la quantité ne permet pas de pouvoir de nouveau rassembler ces couples pour former d’autres particules élémentaires. Ces restes ou résidus non fusionnés stationnent forcément où se trouve les premières particules élémentaires, car c’est la gravitation qui a fait ce travail de rassembler ces graines, ainsi il y a des zones dépourvues de matière, comme de vide quantique dans l’univers, et ces restes de graines non assemblées stationnent autour de ce qui c’est assemblé. Ces nuages de polarisation se trouvent où la matière se trouve, et ces nuages ou ce vide quantique ne rempli pas l’univers. La raison est que ces graines dites élémentaires n’ont pas été distribuées en homogénéité dans l’univers, car mon principe est de dire que le soit disant BIG-BANG n’a pas vraiment existé, car il est remplacé par un MULTI-BIG-BANG, c’est à dire plusieurs départs simultanés dans l’espace, donnant lieux à des rencontres des contenus et formant des filaments de plasmas de ces couples virtuels.
    ▬Après ces assemblages de couples virtuels donnant lieux à des particules dites réelles ne forment pas encore la matière, mais sont regroupés dans certaine zones de l’espace, Après pour créer les premiers atomes c’est encore une autre phase par rapport au temps et la chaleur qui commence à baisser en température. Il y a donc donc des zones dépourvus de matière, comme de particules élémentaire et même et naturellement de graines élémentaires que sont ces particules virtuelles. Le vide quantique n’est pas du tout homogène dans l’univers, car il se trouve et stationne où la matière c’est formée.
    ▬De nos jours en 2023, quand on regarde comment est distribuée la matière en 3D, celle-ci n’est pas du tout homogène mais forme des filaments de galaxies ou de zone de gaz primitif. La distribution de la matière est liée à plusieurs BIG-BANG, et les rencontres des contenus de ces BIG-BANG ont donnés naissance à des plasmas, qui se sont refroidit, mais ces plasmas n’étaient pas encore de la matière, mais des condensés de graines élémentaires. Ce qui veut déjà dire que le vide quantique n’est pas homogène dans l’univers, car il y a des rupture de ce dernier, et essayer de construire une gravitation quantique, à partir de ces graines élémentaires, me semble impossible, car la distribution de ces graines élémentaires n’est pas homogène dans l’univers, et donc il y a des ruptures de gaz cosmologiques, comme rupture de ces graines élémentaitres dite virturelles.
    ▬Si ces particules virtuelles ont deux charges possibles et n’avaient pas de masse, je comprendrais alors que la gravitation n’agirait pas sur ce monde du vide quantique, mais vous avez bien dit que la masse des particules virtuelles est en rapport avec h/2, et donc ces dernières ont une masse moindre que les particules réelles et donc que la gravitation joue sur ces particules éphémères virtuelles. Les débuts de vos articles pour ces particules virtuelles n’avaient pas de masse, mais elles ont acquis une masse depuis quelque années...
    ▬Je pense que vous devez avoir plusieurs interlocuteurs pour répondre, car nos échanges sont incompris, et je dis cela sans la moindre méchanceté, mais redire les mêmes choses, revient à s’adresser à d’autres personnes.
    ▬Amicalement. JFP/Jean-François POULIQUEN

  • ▬JFP 20230221 au soir. Bonsoir Mr Paris et à d’autres..
    ▬Cher Mr Robert Paris vous me faites dire ce que je n’ai jamais dit, ainsi de dire que c’est la particule réelle qui créer autour d’elle une myriades de particules et d’antiparticules virtuelles, ne sont pas du tout mes propos.
    ▬J’ai bien peur que vos dialogues soient relayés par d’autres personnes, car ce n’est pas du tout ce que j’ai dit, et le relais donné à d’autres de me répondre, ne correspond en rien aux dialogues initiaux, et donc incohérents.
    ▬A ce propos de particules virtuelles et de ces anti-particules virtuelles, qu’est-ce que cela veut dire ? Qu’est-ce l’anti par rapport à son opposé et quelle charge à l’anti comme son contraire. Pourquoi prendrait-on une option de charge positive pour la particule virtuelle et une charge négative pour la particule virtuelle portant cette charge et dites anti ? L’anti comme je le comprend est de charge opposée, mais pourquoi utiliser ces notions plutôt que de dire de charges opposée. Il y a deux types de charge élémentaire le Plus et le Moins, mais est-ce que le Moins est l’anti du Plus, ou son contraire ? Quelle charge à le non-anti et son inverse ?
    ▬Je disais simplement qu’avant que des particules dites réelles existent, c’est à dire que les particules élémentaires n’étaient pas encore formées, et de ce qu’il y avait avant, est que justement ces grains ou graines élémentaires ou dites particules virtuelles, de charges opposées, ces grains par le biais de la gravitation ont donnés des couples de charges opposées. Puis toujours par le biais de la gravitation ces couples et non ces paires, on fusionnés ou se se sont réunis pour donner naissances à des particules dite réelles. Et naturellement une particule élémentaire est une grande quantité de ces couples, appauvrissant l’entourage en couples, mais ces restes de couples ne fusionnent pas, car la quantité ne permet pas de pouvoir de nouveau rassembler ces couples pour former d’autres particules élémentaires. Ces restes ou résidus non fusionnés stationnent forcément où se trouve les premières particules élémentaires, car c’est la gravitation qui a fait ce travail de rassembler ces graines, ainsi il y a des zones dépourvues de matière, comme de vide quantique dans l’univers, et ces restes de graines non assemblées stationnent autour de ce qui c’est assemblé. Ces nuages de polarisation se trouvent où la matière se trouve, et ces nuages ou ce vide quantique ne rempli pas l’univers. La raison est que ces graines dites élémentaires n’ont pas été distribuées en homogénéité dans l’univers, car mon principe est de dire que le soit disant BIG-BANG n’a pas vraiment existé, car il est remplacé par un MULTI-BIG-BANG, c’est à dire plusieurs départs simultanés dans l’espace, donnant lieux à des rencontres des contenus et formant des filaments de plasmas de ces couples virtuels.
    ▬Après ces assemblages de couples virtuels donnant lieux à des particules dites réelles ne forment pas encore la matière, mais sont regroupés dans certaine zones de l’espace, Après pour créer les premiers atomes c’est encore une autre phase par rapport au temps et la chaleur qui commence à baisser en température. Il y a donc donc des zones dépourvus de matière, comme de particules élémentaire et même et naturellement de graines élémentaires que sont ces particules virtuelles. Le vide quantique n’est pas du tout homogène dans l’univers, car il se trouve et stationne où la matière c’est formée.
    ▬De nos jours en 2023, quand on regarde comment est distribuée la matière en 3D, celle-ci n’est pas du tout homogène mais forme des filaments de galaxies ou de zone de gaz primitif. La distribution de la matière est liée à plusieurs BIG-BANG, et les rencontres des contenus de ces BIG-BANG ont donnés naissance à des plasmas, qui se sont refroidit, mais ces plasmas n’étaient pas encore de la matière, mais des condensés de graines élémentaires. Ce qui veut déjà dire que le vide quantique n’est pas homogène dans l’univers, car il y a des rupture de ce dernier, et essayer de construire une gravitation quantique, à partir de ces graines élémentaires, me semble impossible, car la distribution de ces graines élémentaires n’est pas homogène dans l’univers, et donc il y a des ruptures de gaz cosmologiques, comme rupture de ces graines élémentaires dite virtuelles.
    ▬Si ces particules virtuelles ont deux charges possibles et n’avaient pas de masse, je comprendrais alors que la gravitation n’agirait pas sur ce monde du vide quantique, mais vous avez bien dit que la masse des particules virtuelles est en rapport avec h/2, et donc ces dernières ont une masse moindre que les particules réelles et donc que la gravitation joue sur ces particules éphémères virtuelles. Les débuts de vos articles pour ces particules virtuelles n’avaient pas de masse, mais elles ont acquis une masse depuis quelque années...
    ▬Je pense que vous devez avoir plusieurs interlocuteurs pour répondre, car nos échanges sont incompris, et je dis cela sans la moindre méchanceté, mais redire les mêmes choses, revient à s’adresser à d’autres personnes.
    ▬Amicalement. JFP/Jean-François POULIQUEN

  • L’antiparticule n’est pas seulement de charge opposée ! Elle circule dans le sens opposé du temps !!!

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