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L’apport du physicien et mathématicien Andreï Kolmogorov
samedi 6 mai 2023, par
« Le cerveau humain est incapable de créer quelque chose qui soit réellement complexe. »
« Des créatures finies dans un monde fini peuvent être forcées d’inventer l’infini... Imaginons une créature intelligente vivant dans un monde fini complexe, un monde ne prenant qu’un nombre fini d’entités physiquement distinctes, états évoluant en "temps discret" ... il est possible d’expliquer de manière crédible qu’une telle créature, en raison de sa structure, étant incapable de couvrir toute la complexité du monde qui l’entoure et confronté à des systèmes de plus en plus complexes et constitués d’un très grand nombre d’éléments, créera au cours du processus de son activité, pour des raisons pratiques et raisonnables, le concept d’une séquence infinie de nombres."
A. N. Kolmogorov. Fondements scientifiques des mathématiques scolaires, 1969.
Le point de vue de Kolmogorov les probabilités, la théorie de l’information et le chaos déterministe
Andreï Kolmogorov (1903-1987) est l’un des mathématiciens les plus prolifiques du XX ième siècle. Ses contributions aussi bien en mathématiques pures qu’en physique mathématique sont multiples. On citera par exemples ses apports à la théorie des systèmes dynamiques avec la théorie de la turbulence, la théorie de l’Information, la théorie des probabilités et même la topologie.
Alors que l’entropie de la thermodynamique caractérise le désordre microscopique régnant à l’équilibre dans un système physique, l’entropie de Kolmogorov (1949) sert à préciser le caractère désordonné d’une dynamique et l’incertitude sur l’évolution d’un système.
Des mathématiciens comme Poincaré, Kolmogorov ou Smale ont démontré que, pour un phénomène comprenant au moins trois variables, la non-linéarité implique le chaos déterministe.
Dès le début des années quarante, Kolmogorov s’intéresse en probabiliste à la turbulence. Dans les années cinquante, il passe à l’étude des systèmes dynamiques. Dans son exposé au congrès international de mathématiques d’Amsterdam de 1954, il présente une splendide synthèse des résultats obtenus depuis H. Poincaré. Et Kolmogorov formule la première version du résultat fondamental qui va devenir, quelques années plus tard, le théorème de Kolmogorov, Arnold et Moser (théorème KAM) sur la préservation des mouvements quasi périodiques dans les systèmes hamiltoniens. » Les KAM ont montré que, dans certaines conditions initiales particulières, il peut y avoir stabilité. Il y a alors des mouvements quasi périodiques et des perturbations suffisamment petites ne peuvent éloigner durablement la planète de sa trajectoire.
Ils ont donc fait la démonstration que, si les masses et les inclinaisons des ellipses parcourues restent faibles, ces trajectoires restent contraintes à n’évoluer qu’autour d’une espèce de tuyau refermé sur lui-même et appelé le tore. Cette contrainte entraîne une garantie de stabilité, une espèce de garde fou pour le mouvement. Mais le débat n’était pas achevé pour autant car d’autres physiciens allaient montrer que le théorème KAM s’applique bien à des interactions entre plusieurs corps mais pas au système solaire qui ne satisfait pas aux conditions initiales nécessaires.
Le contenu d’information algorithmique (CIA) a été introduit dans les années 1960 par trois auteurs travaillant indépendamment : le grand mathématicien russe Andrei N. Kolmogorov, un Américain, Gregory Chaitin, âgé de quinze ans seulement à l’époque, et un autre Américain, Ray Solomonoff. Tous trois présupposent un ordinateur universel idéal, considéré essentiellement comme ayant une capacité de stockage infinie (ou bien finie, mais susceptible d’acquérir autant de capacité supplémentaire que nécessaire). L’ordinateur est équipé d’un matériel et d’un logiciel précis. On considère ensuite une chaîne-message particulière, et l’on demande alors quels programmes auront pour effet que l’ordinateur imprime ce message pour cesser de calculer aussitôt après. La longueur du plus court de ces programmes est la CIA de la chaîne.
Voici la liste des domaines que ses travaux ont enrichi et développé : la théorie des séries trigonométriques, la théorie de la mesure, la théorie des ensembles, la théorie de l’intégration, la logique constructive (intuitionnisme), la topologie, la théorie de l’approximation, la théorie des probabilités, théorie des processus aléatoires, théorie de l’information, statistique mathématique, systèmes dynamiques , théorie des automates, théorie des algorithmes , linguistique mathématique , théorie de la turbulence , mécanique céleste, équations différentielles, problème 13 de Hilbert, balistique et applications des mathématiques aux problèmes de biologie, de géologie et de cristallisation des métaux. Dans plus de 300 articles de recherche, manuels et monographies, Kolmogorov a couvert presque tous les domaines des mathématiques, à l’exception de la théorie des nombres. Dans tous ces domaines, même ses courtes contributions ne se sont pas contentées d’étudier une question isolée, mais ont en revanche exposé des idées fondamentales et des relations profondes, et ont ouvert de tout nouveaux champs d’investigation… Les idées de Kolmogorov sur les probabilités et les statistiques ont conduit à de nombreux développements théoriques et à de nombreuses applications dans les sciences physiques actuelles.
Kolmogorov et la turbulence :
https://www.youtube.com/watch?v=KvZxEsBBN1s
La théorie KAM :
https://www.les-sciences.fr/mathematiques/la-theorie-kam/
Qui était le physicien Kolmogorov :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Andre%C3%AF_Kolmogorov
L’héritage de Kolmogorov :
Kolmogorov au sein de l’histoire du chaos déterministe :
https://homepages.cwi.nl/~paulv/papers/chapitre14.pdf
Le point de vue de Kolmogorov en théorie de l’information :
https://www.physinfo.org/Info_Classique/Kolmogorov.pdf
Théorie algorithmique de l’information :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_algorithmique_de_l’information
La contribution de Kolmogorov à la Biologie :
L’entropie de Kolmogorov comme caractérisation du chaos :
Lettre à Turing :
L’héritage de Kolmogorov en mathématiques :
La théorie de la turbulence :
Les contributions de Kolmogorov :
https://www.futura-sciences.com/sciences/personnalites/mathematiques-andrei-kolmogorov-263/